# 级数求和

> CIE A-Level 进阶数学 · 9231 进阶纯数1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-summation-of-series/

本模块涵盖整数幂标准求和公式、望远镜级数的差分法，以及用于有理函数求和的部分分式分解，这些都是CIE FP1的核心考试技巧。

**先修:** [掌握部分分式的相关知识](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-partial-fractions/); 理解代数级数的基础知识

## 学习目标

- 记忆并应用整数幂的标准求和公式
- 使用差分法对望远镜级数求和
- 对有理级数进行部分分式分解以进行求和
- 对不从1开始的级数正确调整求和上下限

## 标准求和公式

**标准幂求和公式** — 前$n$个正整数$r$的幂次和的闭式表达式，可通过数学归纳法证明，用于对$r$的多项式表达式求和。

*记法:* \sum_{r=1}^n r, \sum_{r=1}^n r^2, \sum_{r=1}^n r^3

*例:* 用于通过拆分求和来计算$
\sum_{r=1}^n (2r^2 - 5r + 1)$。

**例题:** 求$
\sum_{r=1}^{20} (r^2 - 3r)$的值

1. 利用线性性质将和拆分为多个独立的标准和：
2. $$\sum_{r=1}^{20} r^2 - 3 \sum_{r=1}^{20} r$$
3. 代入$n=20$的标准公式：
4. $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}
= \frac{20(21)(41)}{6} - 3 \cdot \frac{20(21)}{2}$$
5. 计算每一项并化简：
6. $$2870 - 630 = 2240$$

> **tip**
>
> 如果求和起始于$r=a$且$a>1$，可使用恒等式$
> \sum_{r=a}^n f(r) = \sum_{r=1}^n f(r) - \sum_{r=1}^{a-1} f(r)$调整上下限。

> **考试提示:** 代入公式前，务必检查求和的上下限。

*计算器:* allowed

## 望远镜级数的差分法

**望远镜级数** — 完全展开后中间项相互抵消，仅剩下序列首尾少量项的级数。

*例:* 任何形如$
\sum_{r=1}^n [f(r) - f(r+1)]$的级数都是望远镜级数。

**例题:** 通过将通项写为差的形式，求$
\sum_{r=1}^n \frac{1}{r(r+1)}$。

1. 用部分分式分解通项：
2. $$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}$$
3. 写出前三项和最后三项，观察抵消规律：
4. $$\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ... + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$
5. 所有中间项都抵消，仅剩下第一个表达式的首项和最后一个表达式的末项：
6. $$S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$

> **warning**
>
> 如果项之间的间隔大于1（例如$f(r) - f(r+2)$），首尾会剩余超过一项未抵消。

*计算器:* allowed

## 用部分分式对有理级数求和

大多数$r$的有理函数都可以分解为部分分式，再改写为差的形式得到望远镜级数，这是该考点最常见的考试题型之一。

**例题:** 求$
\sum_{r=1}^n \frac{1}{r(r+2)}$的值

1. 分解为部分分式：
2. $$\frac{1}{r(r+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+2} \right)$$
3. 展开各项，观察抵消：
4. $$\frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + ... + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) \right]$$
5. 抵消中间项，剩下前两个正项和最后两个负项：
6. $$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{3n^2 + 5n}{4(n+1)(n+2)}$$

**概念自测**

使用上述公式，求$
\sum_{r=1}^3 \frac{1}{r(r+2)}$的值是多少？

1. 选择正确的值：

   - \frac{2}{3}
   - \frac{5}{6}
   - \frac{3}{4}
   - \frac{11}{12}

   *答案:* \frac{5}{6}

   *解析:* 正确：代入$n=3$得$
\frac{3(9) + 5(3)}{4(4)(5)} = \frac{42}{80}？不对，等一下：$
\frac{1}{2}(1 + 1/2 - 1/4 - 1/5) = 1/2 ( (10 + 5 - 2.5 - 1)/10 ) = 5/6$，没错。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 当求和起始于$r=a \neq 1$时忘记调整求和范围。
  - 原因: 所有标准公式给出的都是从$r=1$到$n$的和，因此起始点更高时会得到错误结果。
  - 正确做法: 计算前使用$
\sum_{r=a}^n f(r) = \sum_{r=1}^n f(r) - \sum_{r=1}^{a-1} f(r)$调整上下限。
- **错误做法:** 当项的间隔大于1时，抵消了过多项。
  - 原因: 对于$f(r) - f(r+k)$形式的差，前$k$项和后$k$项都不会被抵消。
  - 正确做法: 始终写出前3-4项和后3-4项，明确检查剩余哪些项。
- **错误做法:** 拆分部分分式时出现符号错误。
  - 原因: 符号错误会导致项无法正确抵消，最终得到错误的表达式。
  - 正确做法: 开始求和前，代入一个$r$值（例如$r=1$）检查部分分式分解是否正确。
- **错误做法:** 在有限求和问题中使用无穷级数的结果。
  - 原因: 混淆前$n$项求和与无穷求和，导致最终答案遗漏含$n$的项。
  - 正确做法: 仔细读题，确认题目要求的是前$n$项和还是无穷和。

## 速查表

| 求和类型 | 公式 |
| --- | --- |
| 前$n$个$r$的和 | $\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ |
| 前$n$个$r^2$的和 | $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ |
| 前$n$个$r^3$的和 | $\sum_{r=1}^n r^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ |
| 望远镜级数 $f(r)-f(r+1)$ | $S_n = f(1) - f(n+1)$ |
| 望远镜级数 $f(r)-f(r+k)$ | $S_n = \sum_{i=1}^k f(i) - \sum_{i=n+1}^{n+k} f(i)$ |

## 下一步

级数求和是几乎所有进阶纯数考点的基础技巧。你会在后续学习中再次用到这些方法：用归纳法证明级数结论、求解递推关系，以及在进阶纯数2中研究无穷级数的收敛性。考试中常将本考点与部分分式、数学归纳法结合，出分值较高的长问题。掌握望远镜级数抵消法和标准公式，可以帮你在考试中节省宝贵时间，也有助于你后续学习更复杂的考点。

- [矩阵](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-matrices/)
- [极坐标](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-polar-coordinates/)
- [向量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-vectors/)

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