多项式方程的根

CIE A-Level 进阶数学· 进阶纯数1 第一单元：多项式· 25 分钟阅读

1. 多项式的韦达定理★★☆☆☆⏱ 8 min

对于任意 $n$ 次多项式，我们无需计算出具体根就能将多项式系数与根的和、积关联起来，这组关系式就是韦达定理。

📘 定义

韦达定理（首一多项式）

P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0

对于根为 $α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}$ 的首一多项式，韦达定理指出根的初等对称和与系数符号交替相关。

\begin{aligned} \text{Degree 2: } &x^2 + ax + b = 0, \quad \alpha+\beta = -a, \quad \alpha\beta = b \\ \text{Degree 3: } &x^3 + ax^2 + bx + c = 0, \quad \sum\alpha = -a, \quad \sum\alpha\beta = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c \\ \text{Degree 4: } &x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad \sum\alpha = -a, \quad \sum\alpha\beta = b, \quad \sum\alpha\beta\gamma = -c, \quad \alpha\beta\gamma\delta = d \end{aligned}

📐 例题

三次方程 $2 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ 的根为 $α, β, γ$ ，求 $α + β + γ$ 、 $α β + α γ + β γ$ 和 $α β γ$ 。

1
首先，将整个多项式除以首项系数2，将其化为首一多项式：
2
$x^3 - 3x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$
3
与首一多项式的一般形式 $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ 对比，可得 $a = - 3$ , $b = 2$ , $c = - \frac{1}{2}$
4
应用韦达定理：
5
$\alpha+\beta+\gamma = -a = 3, \quad \alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = b = 2, \quad \alpha\beta\gamma = -c = \frac{1}{2}$

Exam tip:

答题过程中务必说明你使用了韦达定理，这样才能获得方法分。

2. 根的对称函数计算★★★☆☆⏱ 7 min

多项式根的任意对称函数都可以用韦达定理得到的初等对称和表示，这让我们无需求出根本身就能计算这些函数的值。

📘 定义

对称函数

交换任意两个根后取值不变的多根函数，所有对称函数都可以用韦达定理给出的初等对称和表示。

📐 例题

沿用前一个例子中的三次方程 $2 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ ，求 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ 和 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$ 。我们已知 $α + β + γ = 3$ , $\sum α β = 2$ , $α β γ = \frac{1}{2}$ 。

1
使用平方和的标准恒等式：
2
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)$
3
代入已知值：
4
$= 3^2 - 2(2) = 9 - 4 = 5$
5
对于倒数和，通分合并：
6
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma}{\alpha\beta\gamma} = \frac{2}{1/2} = 4$

3. 构造变换根多项式★★★☆☆⏱ 6 min

本主题最常见的考题是要求你找到一个新多项式，其根是原多项式根的函数。换元法是解决这类问题最快最可靠的方法。

📐 例题

三次方程 $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 的根为 $α, β, γ$ ，求一个整系数三次方程，使其根为 $2 α + 1, 2 β + 1, 2 γ + 1$ 。

1
设 $y$ 为新根，即 $y = 2 x + 1$ ，其中 $x$ 是原根。整理得用 $y$ 表示 $x$ 的式子：
2
$x = \frac{y - 1}{2}$
3
由于 $x$ 满足原多项式，将其代入原方程：
4
$\left(\frac{y - 1}{2}\right)^3 - 4\left(\frac{y - 1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{y - 1}{2}\right) - 2 = 0$
5
两边同乘8消去所有分母：
6
$(y - 1)^3 - 16(y - 1)^2 + 12(y - 1) - 16 = 0$
7
展开并合并同类项：
8
$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 - 16y^2 + 32y - 16 + 12y - 12 - 16 = 0$
9
$y^3 - 19y^2 + 47y - 45 = 0$

Exam tip:

如果题目要求，务必检查最终多项式是否为整系数。

4. 根的高次幂和★★★★☆⏱ 4 min

考题可能会要求你求根的高次幂和，你可以通过低次幂的标准代数恒等式逐步推导得到所需幂次的结果。

📐 例题

二次方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的根为 $α$ 和 $β$ ，求 $α^{4} + β^{4}$ 。

1
首先用韦达定理得到基本对称和：
2
$\alpha + \beta = 5, \quad \alpha\beta = 6$
3
先计算平方和：
4
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 12 = 13$
5
对这个结果平方得到四次幂和：
6
$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = \alpha^4 + 2\alpha^2\beta^2 \implies \alpha^4 + \beta^4 = 13^2 - 2(\alpha\beta)^2 = 169 - 2(36) = 97$

5. 常见陷阱

错误做法:

直接对非首一多项式应用韦达定理，未调整首项系数

原因:

标准韦达定理是针对首一多项式推导的，首项系数不等于1会改变所有对称和的值

正确做法:

应用公式前，始终将多项式所有项除以首项系数，化为首一多项式

错误做法:

混淆奇次多项式乘积项的符号

原因:

符号随根的幂次交替变化，奇次多项式很容易记错最终符号

正确做法:

记住通用规则：根的乘积 = $(- 1)^{n} \times$ 首一多项式的常数项

错误做法:

构造新多项式时换元颠倒，代入了 $x = 2 y + 1$ 而非 $y = 2 x + 1$

原因:

混淆了哪个变量代表原根，哪个代表新变换根

正确做法:

始终定义 $y$ 为新根，设 $y = f (x)$ 后整理得 $x = f^{- 1} (y)$ 再代入

错误做法:

仅用韦达定理计算非对称函数

原因:

非对称函数交换根后取值会改变，因此无法仅用根的对称和表示

正确做法:

非对称表达式需要额外信息（例如一个根是另一个根的两倍）才能求解

6. 速查表

多项式（首一）	韦达定理	常用恒等式
$x^{2} + a x + b = 0$ roots $α, β$	$α + β = - a$ $α β = b$	$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β}$
$x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ roots $α, β, γ$	$\sum α = - a$ $\sum α β = b$ $α β γ = - c$	$\sum α^{2} = (\sum α)^{2} - 2 \sum α β$ $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ} = \frac{\sum α β}{α β γ}$
$x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ roots $α, β, γ, δ$	$\sum α = - a$ $\sum α β = b$ $\sum α β γ = - c$ $α β γ δ = d$	New polynomial with roots $y = k x + c$ : substitute $x = \frac{y - c}{k}$ into original

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
求变换后的三次多项式
2023 · 1
计算根的对称和
2021 · 1
应用韦达定理求解四次多项式根的相关问题

深入阅读

syllabusCIE 9231 进阶数学大纲

下一步

多项式方程的根与韦达定理是CIE 9231大纲中几乎所有多项式进阶内容的基础。本主题直接关联复根、因式定理、高次多项式方程求解等内容，也为微积分和线性代数中的代数运算提供支撑。掌握对称和还能帮助你解决课程后续涉及级数和与坐标几何的问题。你在这里学到的技能也在大学级别数学中被广泛使用。