# 多项式方程的根

> CIE A-Level 进阶数学 · 进阶纯数1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-roots-of-polynomial-equations/

本子主题涵盖最高4次多项式的韦达定理、根的对称函数计算方法，以及变换根新多项式的构造方法，这是进阶纯数问题的核心技能。

**先修:** [多项式基础与代数变形](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u0-polynomial-basics/); [二次方程及其根](https://www.owlsprep.com/zh/study/alevel-maths-quadratic-equations/)

## 学习目标

- 记忆并应用2次、3次和4次多项式的韦达定理
- 用基本对称和表示根的对称函数
- 构造根为原根变换形式的新多项式
- 无需因式分解即可解决涉及多项式根的常见考题

## 多项式的韦达定理

对于任意$n$次多项式，我们无需计算出具体根就能将多项式系数与根的和、积关联起来，这组关系式就是**韦达定理**。

**韦达定理（首一多项式）** — 对于根为$\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$的首一多项式，韦达定理指出根的初等对称和与系数符号交替相关。

*记法:* P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0

$$\begin{aligned} \text{Degree 2: } &x^2 + ax + b = 0, \quad \alpha+\beta = -a, \quad \alpha\beta = b \\ \text{Degree 3: } &x^3 + ax^2 + bx + c = 0, \quad \sum\alpha = -a, \quad \sum\alpha\beta = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c \\ \text{Degree 4: } &x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad \sum\alpha = -a, \quad \sum\alpha\beta = b, \quad \sum\alpha\beta\gamma = -c, \quad \alpha\beta\gamma\delta = d \end{aligned}$$

**例题:** 三次方程$2x^3 - 6x^2 + 4x - 1 = 0$的根为$\alpha, \beta, \gamma$，求$\alpha+\beta+\gamma$、$\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma$和$\alpha\beta\gamma$。

1. 首先，将整个多项式除以首项系数2，将其化为首一多项式：
2. $$x^3 - 3x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$$
3. 与首一多项式的一般形式$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$对比，可得$a=-3$, $b=2$, $c=-\frac{1}{2}$
4. 应用韦达定理：
5. $$\alpha+\beta+\gamma = -a = 3, \quad \alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = b = 2, \quad \alpha\beta\gamma = -c = \frac{1}{2}$$

> **tip**
>
> 应用标准公式前，务必检查多项式是否为首一多项式。未对不等于1的首项系数做调整是本主题最常见的错误。

> **考试提示:** 答题过程中务必说明你使用了韦达定理，这样才能获得方法分。

## 根的对称函数计算

多项式根的任意对称函数都可以用韦达定理得到的初等对称和表示，这让我们无需求出根本身就能计算这些函数的值。

**对称函数** — 交换任意两个根后取值不变的多根函数，所有对称函数都可以用韦达定理给出的初等对称和表示。

**例题:** 沿用前一个例子中的三次方程$2x^3 - 6x^2 + 4x - 1 = 0$，求$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$和$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$。我们已知$\alpha+\beta+\gamma=3$, $\sum \alpha\beta=2$, $\alpha\beta\gamma=\frac{1}{2}$。

1. 使用平方和的标准恒等式：
2. $$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)$$
3. 代入已知值：
4. $$= 3^2 - 2(2) = 9 - 4 = 5$$
5. 对于倒数和，通分合并：
6. $$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma}{\alpha\beta\gamma} = \frac{2}{1/2} = 4$$

## 构造变换根多项式

本主题最常见的考题是要求你找到一个新多项式，其根是原多项式根的函数。换元法是解决这类问题最快最可靠的方法。

**例题:** 三次方程$x^3 - 4x^2 + 3x - 2 = 0$的根为$\alpha, \beta, \gamma$，求一个整系数三次方程，使其根为$2\alpha+1, 2\beta+1, 2\gamma+1$。

1. 设$y$为新根，即$y = 2x + 1$，其中$x$是原根。整理得用$y$表示$x$的式子：
2. $$x = \frac{y - 1}{2}$$
3. 由于$x$满足原多项式，将其代入原方程：
4. $$\left(\frac{y - 1}{2}\right)^3 - 4\left(\frac{y - 1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{y - 1}{2}\right) - 2 = 0$$
5. 两边同乘8消去所有分母：
6. $$(y - 1)^3 - 16(y - 1)^2 + 12(y - 1) - 16 = 0$$
7. 展开并合并同类项：
8. $$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 - 16y^2 + 32y - 16 + 12y - 12 - 16 = 0$$
9. $$y^3 - 19y^2 + 47y - 45 = 0$$

> **tip**
>
> 对于根的线性变换，换元法比单独计算新多项式的每个对称和更快。

> **考试提示:** 如果题目要求，务必检查最终多项式是否为整系数。

## 根的高次幂和

考题可能会要求你求根的高次幂和，你可以通过低次幂的标准代数恒等式逐步推导得到所需幂次的结果。

**例题:** 二次方程$x^2 - 5x + 6 = 0$的根为$\alpha$和$\beta$，求$\alpha^4 + \beta^4$。

1. 首先用韦达定理得到基本对称和：
2. $$\alpha + \beta = 5, \quad \alpha\beta = 6$$
3. 先计算平方和：
4. $$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 12 = 13$$
5. 对这个结果平方得到四次幂和：
6. $$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = \alpha^4 + 2\alpha^2\beta^2 \implies \alpha^4 + \beta^4 = 13^2 - 2(\alpha\beta)^2 = 169 - 2(36) = 97$$

## 常见错误

- **错误做法:** 直接对非首一多项式应用韦达定理，未调整首项系数
  - 原因: 标准韦达定理是针对首一多项式推导的，首项系数不等于1会改变所有对称和的值
  - 正确做法: 应用公式前，始终将多项式所有项除以首项系数，化为首一多项式
- **错误做法:** 混淆奇次多项式乘积项的符号
  - 原因: 符号随根的幂次交替变化，奇次多项式很容易记错最终符号
  - 正确做法: 记住通用规则：根的乘积 = $(-1)^n \times$ 首一多项式的常数项
- **错误做法:** 构造新多项式时换元颠倒，代入了$x = 2y + 1$而非$y = 2x + 1$
  - 原因: 混淆了哪个变量代表原根，哪个代表新变换根
  - 正确做法: 始终定义$y$为新根，设$y = f(x)$后整理得$x = f^{-1}(y)$再代入
- **错误做法:** 仅用韦达定理计算非对称函数
  - 原因: 非对称函数交换根后取值会改变，因此无法仅用根的对称和表示
  - 正确做法: 非对称表达式需要额外信息（例如一个根是另一个根的两倍）才能求解

## 速查表

| 多项式（首一） | 韦达定理 | 常用恒等式 |
| --- | --- | --- |
| $x^2 + ax + b = 0$<br>roots $\alpha, \beta$ | $\alpha+\beta = -a$<br>$\alpha\beta = b$ | $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$<br>$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ |
| $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$<br>roots $\alpha, \beta, \gamma$ | $\sum\alpha = -a$<br>$\sum\alpha\beta = b$<br>$\alpha\beta\gamma = -c$ | $\sum\alpha^2 = (\sum\alpha)^2 - 2\sum\alpha\beta$<br>$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\sum\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$ |
| $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$<br>roots $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ | $\sum\alpha = -a$<br>$\sum\alpha\beta = b$<br>$\sum\alpha\beta\gamma = -c$<br>$\alpha\beta\gamma\delta = d$ | New polynomial with roots $y = kx + c$: substitute $x = \frac{y-c}{k}$ into original |

## 下一步

多项式方程的根与韦达定理是CIE 9231大纲中几乎所有多项式进阶内容的基础。本主题直接关联复根、因式定理、高次多项式方程求解等内容，也为微积分和线性代数中的代数运算提供支撑。掌握对称和还能帮助你解决课程后续涉及级数和与坐标几何的问题。你在这里学到的技能也在大学级别数学中被广泛使用。

- [有理函数与图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-rational-functions-and-graphs/)
- [级数求和](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-summation-of-series/)
- [矩阵](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-matrices/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-roots-of-polynomial-equations/