# 有理函数与图像

> CIE A-Level 进阶数学 · 进阶纯数1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-rational-functions-and-graphs/

本子主题讲解如何分析和绘制有理函数图像，包括求所有类型的渐近线、截距和关键特征，以绘制出准确符合考试要求的草图。

**先修:** [多项式除法与因式分解](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-polynomials/); [基础坐标几何与曲线绘制](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-a-level-mathematics-coordinate-geometry/)

## 学习目标

- 定义有理函数并识别其关键特征
- 求有理函数的竖直、水平和斜渐近线
- 计算截距以及与渐近线的交点
- 绘制准确、符合考试要求的有理函数草图
- 利用有理函数图像解决简单问题

## 核心定义与截距

**有理函数** — 由两个多项式$P(x)$（分子）和$Q(x)$（分母）之比表示的函数，其中$Q(x)$不是零多项式。定义域排除所有使$Q(x) = 0$的$x$值。

*记法:* f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

*例:* $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$是有理函数；$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$不是。

开始分析任意有理函数时，首先计算截距，即图像与坐标轴交点的关键点。

**例题:** 求$f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{2x - 4}$的所有截距

1. 代入$x = 0$求y截距：
2. $$f(0) = \frac{0 - 0 - 3}{0 - 4} = \frac{3}{4}$$
3. y截距为$(0, \frac{3}{4})$。
4. 令分子等于零求x截距（需检查分母不为零）：
5. $$x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x = 3, x = -1$$
6. $x=3$处分母为$2 \neq 0$，$x=-1$处分母为$-6 \neq 0$，因此x截距为$(3, 0)$和$(-1, 0)$。

> **考试提示:** 务必检查分子分母是否存在公因子：公共根会产生空洞，而非x截距。

## 竖直渐近线与水平渐近线

**渐近线** — 当$x$或$f(x)$趋近于$\pm\infty$时，有理函数图像无限逼近的一条直线。

竖直渐近线出现在（消去可去不连续点后）使分母为零的$x$处。对于水平渐近线，我们比较分子次数（$\deg P$）和分母次数（$\deg Q$）：

- 若$\deg P < \deg Q$：水平渐近线为$y = 0$
- 若$\deg P = \deg Q$：水平渐近线为$y = \frac{a_n}{b_m}$，其中$a_n$ = $P$的首项系数，$b_m$ = $Q$的首项系数
- 若$\deg P > \deg Q$：不存在水平渐近线

**例题:** 求$f(x) = \frac{3x^2 - 3}{2x^2 - 8}$的所有竖直渐近线和水平渐近线

1. 对分子分母因式分解，检查是否存在公因子：
2. $$f(x) = \frac{3(x-1)(x+1)}{2(x-2)(x+2)}$$
3. 没有公因子，因此$x=2$和$x=-2$处分母为零，竖直渐近线为$x=2$和$x=-2$。
4. 比较次数：分子分母均为二次，因此计算水平渐近线：
5. $$y = \frac{\text{Leading coefficient of } P}{\text{Leading coefficient of } Q} = \frac{3}{2}$$
6. 水平渐近线为$y = \frac{3}{2}$。

## 斜（倾斜）渐近线

斜渐近线仅当分子次数比分母次数恰好大1时存在，我们通过多项式除法求其方程。

**斜渐近线** — 当$x \to \pm\infty$时，函数图像无限逼近的非竖直、非水平直线。其方程由多项式除法的商给出（余数可忽略，因为余数趋近于零）。

**例题:** 求$f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 2}$的斜渐近线

1. 确认次数：分子次数为2，分母次数为1，差为1，因此存在斜渐近线。
2. 用分子除以分母：
3. $$2x^2 - 3x + 1 = (x+2)(2x - 7) + 15$$
4. 改写$f(x)$：
5. $$f(x) = 2x - 7 + \frac{15}{x+2}$$
6. 当$x \to \pm\infty$时，$\frac{15}{x+2} \to 0$，因此$f(x)$趋近于$y = 2x - 7$，即斜渐近线。

## 完整绘制流程

遵循这套连贯的分步流程，即可绘制出包含所有要求关键特征、符合考试要求的草图：

1. 对分子分母因式分解，识别所有空洞（可去不连续点）
2. 求所有x截距和y截距
3. 求所有竖直、水平或斜渐近线
4. 检查曲线与非竖直渐近线之间是否存在交点
5. 在竖直渐近线分隔的各个区域内检验$f(x)$的符号，然后绘制图像

**例题:** 列出$f(x) = \frac{x^2 + x}{x - 2}$草图的所有关键特征

1. 因式分解：$f(x) = \frac{x(x+1)}{x-2}$，无公因子，无空洞。
2. 截距：根为$x=0$和$x=-1$，因此截距为$(0,0)$和$(-1, 0)$。
3. 渐近线：竖直渐近线为$x=2$。分子次数比分母大1，因此通过除法求斜渐近线：
4. $$x^2 + x = (x-2)(x+3) + 6 \implies \text{斜渐近线 } y = x+3$$
5. 检查$f(x)$与$y=x+3$是否相交：
6. $$\frac{x^2+x}{x-2} = x+3 \implies x^2 + x = x^2 +x -6 \implies 0 = -6$$
7. 无解，因此曲线永远不会与斜渐近线相交。

> **考试提示:** 当题目要求求一个方程的解的个数时，整理方程得到有理函数等于一条直线，然后在你的草图上数交点个数即可。

## 常见错误

- **错误做法:** 将空洞（可去不连续点）标记为竖直渐近线
  - 原因: 公因子会产生空洞而非渐近线，错误标记渐近线会被扣分
  - 正确做法: 始终先对分子和分母因式分解，约去公因子，仅在分母剩余根的位置标记渐近线
- **错误做法:** 当分子次数大于分母次数时，声称存在水平渐近线
  - 原因: 水平渐近线仅当分子次数小于等于分母次数时存在
  - 正确做法: 先比较次数：如果差为1，则存在斜渐近线而非水平渐近线
- **错误做法:** 将多项式除法的余数用作斜渐近线
  - 原因: 当$x$趋近于无穷时余数趋近于零，因此它不构成渐近线方程
  - 正确做法: 斜渐近线始终是除法得到的一次商项，忽略余数
- **错误做法:** 假设曲线永远不会与水平渐近线相交
  - 原因: 和竖直渐近线不同，曲线可以在有限$x$值处与水平渐近线相交，仅当$x \to \pm\infty$时才逼近它
  - 正确做法: 始终通过令$f(x)$等于渐近线方程来检查是否存在交点，如果存在则求出交点
- **错误做法:** 忘记在草图上标记截距
  - 原因: 阅卷老师要求所有关键特征（截距、渐近线、空洞）都清晰标记才能给满分
  - 正确做法: 绘制曲线前始终先计算并标记x截距和y截距

## 速查表

| 次数比较 | 非竖直渐近线类型 | 求方程的方法 |
| --- | --- | --- |
| $\deg(P) < \deg(Q)$ | 水平 | $y = 0$ |
| $\deg(P) = \deg(Q)$ | 水平 | $y = \frac{\text{leading } P}{\text{leading } Q}$ |
| $\deg(P) = \deg(Q) + 1$ | 斜 | $P \div Q$的商，忽略余数 |
| $\deg(P) > \deg(Q) + 1$ | 无（9231大纲） | CIE 9231不考查 |

## 下一步

掌握有理函数绘图是CIE A-Level进阶数学中多个主题的基础技能，包括解有理不等式、绘制极坐标曲线、求曲线下面积。你在这里学到的多项式除法和图像分析技能也会在你学习参数曲线和倒数图像时提供帮助。对本主题的扎实理解还能帮助你快速回答考试中常见的求方程解的个数的问题，依靠图像解读而非冗长的代数计算。

- [级数求和](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-summation-of-series/)
- [矩阵](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-matrices/)
- [极坐标](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-polar-coordinates/)

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