# 矩阵

> CIE A-Level 进阶数学 · 进阶纯数学1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-matrices/

本子主题涵盖CIE A-Level进阶数学FP1的核心矩阵运算，包括行列式计算、逆矩阵求解、矩阵秩计算、线性方程组求解，以及特征值与特征向量求解，是所有后续线性代数主题的基础。

**先修:** [A-Level数学中的基础矩阵运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-p1-matrices/)

## 学习目标

- 使用余子式展开计算3×3矩阵的行列式
- 求非奇异2×2和3×3矩阵的逆矩阵
- 计算3×3矩阵的秩并识别奇异矩阵
- 判断三元线性方程组的相容性并求解
- 求2×2和3×3方阵的特征值与特征向量

## 3×3矩阵的行列式

**行列式** — 由方阵计算得到的标量值。非零行列式说明矩阵可逆，行列式为零说明矩阵奇异（不可逆）。

*记法:* \det(A) \text{ or } |A|

*例:* 对于2×2矩阵$A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$，$\det(A) = ad - bc$。

计算3×3矩阵的行列式时，我们使用余子式展开。对于任意元素$a_{ij}$，其余子式为$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$（子式）是删除第i行和第j列后得到的2×2子矩阵的行列式。我们可以沿任意行或列展开。

**例题:** 求$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$的$\det(A)$

1. 沿第一行展开（该行有一个零，可减少计算量）：
2. $$\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \\
C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 1(3 - 0) = 3 \\
C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = -1(9 - 2) = -7 \\
C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 + 2) = 2$$
3. 回代得到最终行列式：
4. $$\det(A) = (1)(3) + (2)(-7) + (0)(2) = 3 - 14 = -11$$

> **考试提示:** 始终沿零最多的行或列展开，减少计算量，节省答题时间。

*计算器:* forbidden

## 逆矩阵与矩阵的秩

**矩阵的秩** — A中线性无关行（或列）的最大数量。对于3×3矩阵：若$\det(A)≠0$，秩为3；若$\det(A)=0$但至少存在一个非零2×2子式，秩为2；若所有2×2子式都为零，秩为1。

*记法:* \text{rank}(A)

*例:* 3×3奇异矩阵的秩小于3。

求3×3矩阵的逆矩阵我们使用伴随矩阵法：$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$，其中$\text{adj}(A)$（伴随矩阵）是A的余子式矩阵的转置。

**例题:** 求$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$的逆矩阵$A^{-1}$

1. 我们已经知道$\det(A) = -11 ≠ 0$，因此逆矩阵存在。首先构造完整的余子式矩阵C：
2. $$C = \begin{pmatrix} 3 & -7 & 2 \\ -6 & 3 & -4 \\ -2 & 1 & -5 \end{pmatrix}$$
3. 伴随矩阵是C的转置：
4. $$\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -7 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & -5 \end{pmatrix}$$
5. 除以$\det(A)$得到逆矩阵：
6. $$A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{pmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -7 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{11} & \frac{6}{11} & \frac{2}{11} \\ \frac{7}{11} & -\frac{3}{11} & -\frac{1}{11} \\ -\frac{2}{11} & \frac{4}{11} & \frac{5}{11} \end{pmatrix}$$
7. 可以通过计算$AA^{-1}$验证是否得到单位矩阵，及时发现错误。

> **考试提示:** 切记转置余子式矩阵才能得到伴随矩阵，这是逆矩阵计算中最常见的错误之一。

*计算器:* forbidden

## 求解线性方程组

任意三元线性方程组都可以写成$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$的形式，其中A是系数矩阵，$\mathbf{x}$是未知量向量，$\mathbf{b}$是常数向量。解的个数取决于A和增广矩阵$(A | \mathbf{b})$的行列式与秩。

1. 若$\det(A) ≠ 0$：秩(A) = 3，存在唯一解$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
2. 若$\det(A) = 0$：要么无解（不相容，秩(A) < 增广矩阵的秩），要么有无穷多解（秩(A) = 增广矩阵的秩 < 3）

**例题:** 求方程组的解：$x + 2y = 5$, $3x + y - z = 0$, $-2x + 3z = -11$

1. 将方程组写成矩阵形式$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，其中A是之前例题中的矩阵，$\mathbf{b} = \begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ -11\end{pmatrix}$。
2. 我们知道$\det(A) = -11 ≠ 0$，因此存在唯一解，使用$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$计算：
3. $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{11} & \frac{6}{11} & \frac{2}{11} \\ \frac{7}{11} & -\frac{3}{11} & -\frac{1}{11} \\ -\frac{2}{11} & \frac{4}{11} & \frac{5}{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ -11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{37}{11} \\ \frac{46}{11} \\ -\frac{65}{11} \end{pmatrix}$$
4. 唯一解为$x = -\frac{37}{11}$, $y = \frac{46}{11}$, $z = -\frac{65}{11}$。

> **考试提示:** 若题目要求证明方程组不相容，消元后寻找$0 = k$（$k≠0$）形式的矛盾即可。

*计算器:* forbidden

## 特征值与特征向量

**特征值与特征向量** — 对于方阵A，若存在标量$\lambda$使得非零向量$\mathbf{v}$满足$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$，则$\mathbf{v}$是A的特征向量，$\lambda$是对应的特征值。求特征值需要解特征方程$\det(A - \lambda I) = 0$。

*记法:* $\lambda$ (eigenvalue), $\mathbf{v}$ (eigenvector)

**例题:** 求$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$的特征值与特征向量

1. 构造特征方程：
2. $$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$$
3. 因式分解二次多项式得到特征值：
4. $$(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0 \implies \lambda = 1 \text{ and } \lambda = 3$$
5. 通过求解$(A - I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$得到$\lambda=1$对应的特征向量：
6. $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies y = -x$$
7. $\lambda=1$的所有特征向量都是$\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$的非零标量倍。对$\lambda=3$重复该过程：
8. $$(A - 3I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \implies y = x \implies \text{eigenvectors} = k\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}, k≠0$$

> **考试提示:** 永远不要将零向量作为特征向量，答题时务必说明标量倍必须非零。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 计算余子式时忘记乘以$(-1)^{i+j}$符号
  - 原因: 符号错误是行列式和逆矩阵计算中最常见的错误
  - 正确做法: 在草稿旁写出余子式符号矩阵$\begin{pmatrix}+ & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}$，逐一检查每个元素的符号
- **错误做法:** 忘记转置余子式矩阵得到伴随矩阵
  - 原因: 很多学生直接将余子式矩阵当作伴随矩阵，导致逆矩阵错误
  - 正确做法: 除以行列式得到$A^{-1}$前，始终先对余子式矩阵进行转置
- **错误做法:** 认为$\det(A) = 0$意味着方程组无解
  - 原因: 行列式为零仅说明不存在唯一解，并非说明没有解
  - 正确做法: 检查增广矩阵的秩：若秩(A) < 增广矩阵的秩，则无解；若秩相等，则有无穷多解
- **错误做法:** 将零向量作为特征向量
  - 原因: 特征向量的定义要求其非零，而零向量对任意$\lambda$都满足$A\mathbf{0} = \lambda \mathbf{0}$
  - 正确做法: 始终说明特征向量是基向量的非零标量倍
- **错误做法:** 沿没有零的行展开3×3行列式
  - 原因: 这会增加计算量，提高算术错误的概率，还会浪费时间
  - 正确做法: 始终选择零最多的行或列展开行列式

## 速查表

| 概念 | 核心规则/公式 |
| --- | --- |
| 3×3行列式 | 沿零最多的行/列展开：$\det(A) = \sum a_{ij}C_{ij}$ |
| 逆矩阵 | $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$, $\text{adj}(A) = C^T$ |
| 奇异矩阵 | $\det(A) = 0$，不存在逆矩阵 |
| 线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ | $\det(A)≠0 ⇒$ 唯一解$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$；$\det(A)=0 ⇒$ 检查秩判断无解/无穷多解 |
| 特征方程 | $\det(A - \lambda I) = 0$，求解得到特征值 |
| 特征向量 | 求解$(A - \lambda I)\mathbf{v} = 0$，且$\mathbf{v} ≠ \mathbf{0}$ |

## 下一步

矩阵是CIE A-Level进阶数学中所有线性代数主题的基础构件。你在这里掌握的技能——行列式计算、逆矩阵求解、线性方程组求解、特征值运算——会在所有进阶纯数学单元的高级主题中反复使用。理解矩阵的核心性质对于在后续课程的线性变换、矩阵对角化和微分方程组题目中拿到满分至关重要。现在熟练掌握矩阵运算，会降低未来单元中更复杂主题的学习难度。

- [极坐标](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-polar-coordinates/)
- [向量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-vectors/)
- [进阶纯数学 2](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-matrices/