# 动量与冲量（仅拓展内容要求）

> 物理 · CIE IGCSE
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0625-u1-momentum-and-impulse/

本仅面向拓展内容的指南涵盖CIE IGCSE物理0625第一单元的动量、冲量与动量守恒知识点，配有贴合考试要求的完整例题和需要规避的常见误区。

**先修:** [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0625-u1-newtons-laws/); [物理量、单位换算与矢量方向规则](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0625-u1-physical-quantities/)

## 学习目标

- 使用公式$p = mv$计算动量，并理解其矢量属性
- 将冲量定义为动量的变化量，使用公式$Ft = mv - mu$计算冲量
- 将动量守恒定律应用于孤立系统中的碰撞和爆炸场景
- 将冲量知识联系到包括汽车安全配置在内的现实应用场景

## 1. 动量：定义与计算

**动量** — 是一个矢量，等于物体的质量与速度的乘积，方向与物体的运动速度方向一致。

*记法:* $p$

*例:* 一个质量为2kg的小球以3m/s的速度向右运动，其动量为6 kg·m/s，方向向右。

动量的标准单位是千克·米每秒（kg·m/s）。作为矢量，动量的正负由运动方向决定：例如如果指定向右为正方向，向左运动的物体速度为负，动量也为负。

**例题:** 取向北为正方向，计算以下两个物体的动量：(a) 一辆质量为1200kg、以15 m/s速度向北行驶的汽车，(b) 一颗质量为0.05kg、以400 m/s速度向南飞行的子弹。

1. 使用动量公式：

   $$p = m \times v$$
2. 计算汽车的动量（向北为正速度）：

   $$p_{car} = 1200 \times 15 = 18000 \text{ kg m/s (向北)}$$
3. 计算子弹的动量（向南为负速度，即v=-400 m/s）：

   $$p_{bullet} = 0.05 \times (-400) = -20 \text{ kg m/s (向南)}$$

> **考试提示:** 在解答每一道动量相关题目时，都要先为速度指定一个正方向，避免反向运动带来的符号错误。

## 2. 冲量与力-动量关系

**冲量** — 物体的动量变化量，等于作用在物体上的平均力与力的作用时间的乘积。

*记法:* $\Delta p$

*例:* 大小为10N的力作用2s，产生的冲量为20 N·s，对应20 kg·m/s的动量变化量。

冲量的单位可以是牛顿·秒（N·s）或者kg·m/s，这两个单位是等价的。冲量有两个等价的计算公式：

$$\Delta p = F \times t = m(v - u)$$

**例题:** 一个质量为0.4kg的足球从静止状态被踢出，与脚接触0.02s后速度达到15 m/s。计算(a) 踢球的冲量，以及(b) 作用在足球上的平均力。

1. 将冲量作为动量变化量计算，其中初速度$u=0$：

   $$\Delta p = m(v - u) = 0.4(15 - 0) = 6 \text{ Ns}$$
2. 对冲量公式变形，求解平均力：

   $$F = \frac{\Delta p}{t} = \frac{6}{0.02} = 300 \text{ N}$$

> **考试提示:** 冲量相关题目经常涉及汽车安全配置：碰撞缓冲区和安全气囊会延长碰撞作用时间，在动量变化量相同的情况下减小作用在乘客身上的力。

## 3. 碰撞过程的动量守恒

**动量守恒定律** — 对于不受外力作用的孤立系统，碰撞或爆炸事件发生前的总动量等于事件发生后的总动量。

*例:* 两个小车在无摩擦轨道上发生碰撞，构成一个孤立系统，因此它们碰撞前的总动量等于碰撞后的总动量。

$$m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$$

**例题:** 在无摩擦轨道上，一个质量为2kg、以3 m/s速度向右运动的小车与一个静止的质量为1kg的小车发生碰撞。碰撞后，1kg的小车以3.5 m/s的速度向右运动。取向右为正方向，计算碰撞后2kg小车的速度。

1. 应用动量守恒定律：碰撞前总动量 = 碰撞后总动量

   $$(2 \times 3) + (1 \times 0) = (2 \times v_1) + (1 \times 3.5)$$
2. 化简并整理方程，求解$v_1$：

   $$6 = 2v_1 + 3.5$$
3. $$2v_1 = 2.5 \implies v_1 = 1.25 \text{ m/s (向右)}$$

> **考试提示:** 如果两个物体碰撞后粘在一起，它们的末速度相同，因此计算碰撞后的总动量时需要将两者的质量相加。

## 4. 爆炸过程的动量守恒

爆炸是碰撞的逆过程：爆炸前所有物体都处于静止状态，因此总初动量为0。爆炸后的总动量也必须等于0，意味着各个物体将沿相反方向运动，且动量大小相等。

**例题:** 一门质量为4kg的静止大炮水平发射一颗质量为0.1kg、速度为120 m/s的炮弹，计算大炮的反冲速度。

1. 总初动量 = 0，因此总末动量也 = 0

   $$m_cv_c + m_bv_b = 0$$
2. 代入数值（取炮弹的运动方向为正方向）：

   $$4v_c + (0.1 \times 120) = 0$$
3. 整理方程，求解反冲速度：

   $$4v_c = -12 \implies v_c = -3 \text{ m/s (与炮弹运动方向相反)}$$

**小结**

- 动量是矢量，所有计算都需要考虑方向对应的正负号
- 冲量既等于动量的变化量，也等于平均力与作用时间的乘积
- 动量守恒定律仅适用于不受外力作用的孤立系统

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记动量是矢量，忽略速度的方向/正负号
  - 原因: 会导致反向运动物体的总动量计算结果错误
  - 正确做法: 在每道题的开头先指定正方向，将反向运动的速度取为负值
- **错误做法:** 在冲量公式$Ft$中使用瞬时力而非平均作用力
  - 原因: 碰撞过程中力是变化的，因此只有使用平均作用力才能得到正确的冲量值
  - 正确做法: 始终使用题目给出的平均作用力，如果没有给出平均作用力则通过动量变化量计算冲量
- **错误做法:** 在系统受到外力（摩擦力、重力）作用时使用动量守恒定律
  - 原因: 外力会改变系统的总动量，因此动量守恒定律不再成立
  - 正确做法: 只有当题目明确说明不存在外力作用，或者指定系统为孤立系统时，才可以使用动量守恒定律
- **错误做法:** 动量计算时使用以克为单位的质量，而非千克
  - 原因: 动量的标准单位是千克·米/秒，因此质量必须使用千克为单位才能得到正确结果
  - 正确做法: 在代入任何动量或冲量公式前，先将所有质量换算为千克

## 速查表

| 概念 | 公式 | 单位 | 要点提示 |
| --- | --- | --- | --- |
| 动量 | $p = m \times v$ | 千克·米/秒 | 矢量，方向与速度一致 |
| 冲量 | $\Delta p = Ft = m(v-u)$ | 牛·秒 或 千克·米/秒 | 等于动量变化量 |
| 动量守恒定律 | Total $p_{before}$ = Total $p_{after}$ | 千克·米/秒 | 仅适用于不受外力作用的孤立系统 |

## 下一步

在掌握CIE IGCSE物理0625拓展内容的动量与冲量知识点后，你可以运用这些概念解决复杂的力与运动问题，包括在第4卷拓展理论考试中高频出现的汽车安全配置相关题目。后续课程中学习放射性衰变的动量变化时，你也会用到这些规则。接下来请进入功、功率与能量的学习，完成第一单元（运动、力与能量）的全部备考内容，同时练习拓展部分的历年真题，巩固动量守恒的正负号约定与系统边界相关知识点。

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