# 弧长与扇形面积（弧度制）

> CIE IGCSE 附加数学 · 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u9-arc-length-and-sector-area/

本讲义面向CIE IGCSE附加数学0606课程，讲解弧度制下弧长、扇形面积与弓形面积的核心公式，配套完整例题与应试技巧，帮助你在弧度制测量类题目中拿到满分。

**先修:** 角度与弧度的单位转换; 使用 $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ 计算三角形面积

## 学习目标

- 牢记并应用弧度制下的弧长公式 $s = r\theta$
- 使用公式 $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ 计算弧度制下的扇形面积
- 通过扇形面积与三角形面积的差值求解弓形面积
- 解决由弧和扇形组成的复合图形相关问题
- 解题时按需完成角度制与弧度制的单位转换

## 弧度制下的弧长计算

一弧度是圆心处由「长度等于半径的弧」所张开的圆心角。由此，长度为 $s$ 的弧在圆心处所张的角为 $\theta = \frac{s}{r}$ 弧度，将这一第一性原理整理即得弧长公式 $s = r\theta$。

圆的弧长与该弧对应的圆心角 $\theta$（弧度制）以及圆的半径 $r$ 成正比。该公式**不会在考试中提供**，你必须牢记。

**弧长** — 圆的扇形弯曲部分的长度，其中 $r$ 为半径，$\theta$ 为弧度制下的圆心角。

*记法:* $s = r\theta$

*例:* 半径为5 cm的圆，圆心角为1.4 rad时，弧长 $s = 5 \times 1.4 = 7$ cm。

**例题:** 计算半径为12 cm、圆心角为 $\frac{3\pi}{4}$ 弧度的扇形的弧长。

1. 确定已知值：$r = 12$ cm，$\theta = \frac{3\pi}{4}$ rad
2. $$s = r\theta = 12 \times \frac{3\pi}{4}$$
3. 化简表达式：$12 \div 4 = 3$，因此 $s = 3 \times 3\pi = 9\pi$ cm，如果要求数值结果，保留3位有效数字约为28.3 cm。

> **考试提示:** 如果题目要求精确值，请将答案保留为含 $\pi$ 的形式；其余数值答案按照CIE考试规范保留3位有效数字。

## 弧度制下的扇形面积计算

扇形是由两条半径和一段弧围成的「披萨切片」形状，其面积可以用公式 $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ 计算，其中 $\theta$ 是弧度制下的圆心角。该公式同样不会在考试中提供，必须牢记。

**扇形面积** — 圆的两条半径和它们之间的弧围成的总面积，其中 $\theta$ 以弧度为单位。

*记法:* $A = \frac{1}{2}r^2\theta$

*例:* 半径为6 m、圆心角为0.5 rad时，面积 = $0.5 \times 6^2 \times 0.5 = 9$ m²。

**例题:** 已知扇形面积为48 cm²，半径为8 cm，求圆心角 $\theta$ 的弧度值。

1. 对扇形面积公式变形，求解 $\theta$
2. $$A = \frac{1}{2}r^2\theta \implies \theta = \frac{2A}{r^2}$$
3. 代入已知值：$A = 48$ cm²，$r = 8$ cm
4. $$\theta = \frac{2 \times 48}{8^2} = \frac{96}{64} = 1.5 \text{ rad}$$

## 弓形的面积

弓形是由圆的一段弧和一条弦围成的区域。要计算它的面积，只需从包含该弓形的扇形面积中减去两条半径与弦围成的三角形的面积即可。

> **info**
>
> 你不需要单独背诵弓形面积公式：考试时如果忘记，可以快速通过「扇形面积减三角形面积」推导出来。

**例题:** 计算半径为10 cm、圆心角为1.2弧度的圆的小弓形面积，已知 $\sin(1.2) \approx 0.9320$。

1. 首先计算扇形的面积
2. $$A_{\text{sector}} = \frac{1}{2}r^2\theta = 0.5 \times 10^2 \times 1.2 = 60 \text{ cm}^2$$
3. 接下来使用 $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ 计算两条半径与弦围成的等腰三角形的面积
4. $$A_{\text{triangle}} = 0.5 \times 10 \times 10 \times \sin(1.2) \approx 50 \times 0.9320 = 46.6 \text{ cm}^2$$
5. 用扇形面积减去三角形面积，得到弓形面积
6. $$A_{\text{segment}} = 60 - 46.6 = 13.4 \text{ cm}^2 \text{ （3位有效数字）}$$

> **考试提示:** 一定要注意题目要求的是小弓形（较小部分）还是大弓形（较大部分）；如果是大弓形，用圆的总面积减去小弓形面积即可。

## 包含弧与扇形的复合图形

考试题目经常将弧、扇形和其他二维图形（矩形、三角形、半圆）结合，要求计算总周长或总面积。你可以将这类问题拆分为多个独立部分，分别计算每一部分的数值，再根据要求相加或相减即可。

**例题:** 某花园形状为长15 m、宽10 m的矩形，其中一条10 m的边上接有一个半圆形花坛。计算花园的总周长，花坛与矩形相连的那条边不计入周长。

1. 首先确定周长的组成部分：矩形的两条长边、矩形的一条短边，以及半圆的弧形边
2. 半圆的直径为10 m，因此半径 $r = 5$ m。半圆的圆心角为 $\pi$ 弧度。
3. 计算半圆弧长：$s = r\theta = 5 \times \pi = 5\pi$ m
4. 将直边部分相加：$15 + 15 + 10 = 40$ m
5. 总周长 = $40 + 5\pi \approx 55.7$ m（3位有效数字）

> **考试提示:** 计算复合图形的周长时，务必反复检查，不要把不属于图形外边界的内部边计入总长度。

## 阴影区域的周长与面积

弧度制测量类考试最常见的题型就是求阴影区域的**周长**和**面积**。这类区域几乎都由扇形和三角形组成，核心解题技巧是拆分：先确定该区域由哪些扇形和三角形构成，再对它们的面积做加减运算。要计算周长还需要找出所有直边，这几乎意味着你需要先算出**弦长**或**切线长**。

**弦长** — 连接弧两端点的弦的长度，其中 $r$ 是半径，$\theta$（弧度制）是圆心角。该公式的推导思路是将两条半径构成的等腰三角形切分为两个直角三角形，每个三角形在圆心处的角度为 $\frac{\theta}{2}$。

*记法:* $c = 2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

*例:* 当 $r = 10$ cm、$\theta = 1.2$ rad 时，弦长 $c = 2 \times 10 \times \sin(0.6) = 20 \times 0.5646 = 11.3$ cm（3位有效数字）。

> **info**
>
> 你也可以用余弦定理计算弦长：$c^2 = r^2 + r^2 - 2r^2\cos\theta = 2r^2(1-\cos\theta)$，得到的结果和 $2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ 完全一致，你可以任选自己记得的公式使用。

**弓形**是最常见的阴影区域：它的面积等于扇形减三角形，即 $\frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2\sin\theta$，它的周长等于弧长加弦长，即 $r\theta + 2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$。其他阴影区域的组合形式包括：不同半径的两条弧之间的区域等于大扇形减小扇形，由两条切线和两条半径围成的「风筝形」区域的面积等于风筝形面积减去扇形面积。无论图形是什么形状，都要仔细描出它的外边界，确保周长包含正确的弧、弦、切线和半径，不要计入任何内部边。

**例题:** 半径为6 cm的圆中，弦 $AB$ 在圆心 $O$ 处对应的圆心角为2弧度。求(i) 弦 $AB$ 截出的小弓形的周长，(ii) 该小弓形的面积。

1. 画出小弓形，它的边界是小弧 $AB$ 加上弦 $AB$，因此周长等于弧长加弦长。
2. 用 $s = r\theta$ 计算弧长
3. $$s = r\theta = 6 \times 2 = 12 \text{ cm}$$
4. 用 $c = 2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ 计算弦长
5. $$c = 2 \times 6 \times \sin(1) = 12 \times 0.84147 = 10.098 \text{ cm}$$
6. 将两段边界长度相加得到周长
7. $$P = 12 + 10.098 = 22.1 \text{ cm （3位有效数字）}$$
8. 计算面积时，先求扇形面积，再减去三角形面积
9. $$A_{\text{sector}} = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2} \times 6^2 \times 2 = 36 \text{ cm}^2$$
10. $$A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2}r^2\sin\theta = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \sin(2) = 18 \times 0.90930 = 16.367 \text{ cm}^2$$
11. $$A_{\text{segment}} = 36 - 16.367 = 19.6 \text{ cm}^2 \text{ （3位有效数字）}$$

**例题:** 某阴影区域由两条弧和两条直边围成，两条弧的圆心均为 $O$，半径分别为4 cm和10 cm，各自在 $O$ 处对应的圆心角为1.2弧度，两条直边连接两条弧的对应端点。求(i) 阴影区域的周长，(ii) 阴影区域的面积。

1. 该区域是从半径10 cm的大扇形中挖去半径4 cm的小扇形得到的，它的边界是外弧、内弧和两条直边，每条直边的长度为 $10 - 4 = 6$ cm。
2. 用 $s = r\theta$ 计算外弧长度
3. $$s_{\text{outer}} = 10 \times 1.2 = 12 \text{ cm}$$
4. 计算内弧长度
5. $$s_{\text{inner}} = 4 \times 1.2 = 4.8 \text{ cm}$$
6. 将两条弧和两条直边相加得到周长
7. $$P = 12 + 4.8 + 2 \times 6 = 28.8 \text{ cm}$$
8. 计算面积时，用大扇形面积减去小扇形面积
9. $$A = \frac{1}{2}(10)^2(1.2) - \frac{1}{2}(4)^2(1.2) = 60 - 9.6 = 50.4 \text{ cm}^2$$

弦长公式 $2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ 适用于两个端点都在圆上、因而到圆心距离都等于 $r$ 的情形。但有时一条直边连接的是到圆心距离不相等的两个点——例如半径上的一点 $C$，此时 $OC \neq OA$。这种情形下等腰三角形的简便公式不再适用，需用一般的余弦定理 $AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2\cdot OA\cdot OC\cos\theta$ 求这条边，其中 $\theta$ 是圆心处 $OA$ 与 $OC$ 之间的夹角。

**例题:** 扇形 $OAB$ 的圆心为 $O$，半径 $OA = OB = 8$ cm，角 $AOB = 1.5$ 弧度。点 $C$ 在半径 $OB$ 上，且 $OC = 3$ cm。阴影区域由弧 $AB$、沿 $OB$ 的直线段 $BC$ 以及直线 $CA$ 围成。求阴影区域的周长。

1. 描出边界：弧 $AB$，再沿半径 $OB$ 从 $B$ 回到 $C$（即 $BC$），最后是直线 $CA$。由于 $C$ 到 $O$ 只有 3 cm，而 $A$ 到 $O$ 有 8 cm，边 $CA$ 既不是半径也不是弦，必须用余弦定理求出。
2. 用 $s = r\theta$ 求弧长：
3. $$s_{AB} = 8 \times 1.5 = 12 \text{ cm}$$
4. 线段 $BC$ 在半径 $OB$ 上，所以 $BC = OB - OC = 8 - 3 = 5$ cm。
5. 在三角形 $OAC$ 中应用余弦定理，取 $OA = 8$、$OC = 3$，夹角 $AOC = 1.5$ 弧度（因为 $C$ 在 $OB$ 上，所以它等于角 $AOB$）：
6. $$CA^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos 1.5 = 8^2 + 3^2 - 2(8)(3)\cos 1.5$$
7. $$CA^2 = 64 + 9 - 48\cos 1.5 = 73 - 48(0.070737) = 69.605$$
8. $$CA = \sqrt{69.605} = 8.343 \text{ cm}$$
9. 将三段边界相加得周长：
10. $$P = s_{AB} + BC + CA = 12 + 5 + 8.343 = 25.3 \text{ cm (3 s.f.)}$$

> **考试提示:** 代入数值之前，先画出区域并标注它的每一段边界，将每段边标记为弧（用 $r\theta$ 计算）、弦（用 $2r\sin\frac{\theta}{2}$ 计算）、切线或半径，这样你就能明确知道需要计算并相加的所有长度。

## 常见错误

- **错误做法:** 直接将角度值代入 $s = r\theta$ 或 $A = \frac{1}{2}r^2\theta$
  - 原因: 这些公式仅在角度以弧度为单位时有效，使用角度值会得到完全错误的结果。
  - 正确做法: 代入公式前，先将所有给出的角度值乘以 $\frac{\pi}{180}$ 转换为弧度。
- **错误做法:** 扇形面积公式中忘记乘以 $\frac{1}{2}$
  - 原因: 扇形面积公式是从圆总面积的占比推导而来，遗漏1/2会让你的结果比正确值小一半。
  - 正确做法: 每次代入数值前都先完整写出公式，避免漏掉1/2这个因子。
- **错误做法:** 计算复合图形周长时计入内部边
  - 原因: 内部边不属于图形的外边界，将它们相加会让计算出的周长大于实际值。
  - 正确做法: 用手指沿着图形的外边界描一遍，逐个列出需要计入的边，确保只统计外边界。
- **错误做法:** 题目要求大弓形时却算出了小弓形的面积
  - 原因: 大弓形是圆中面积更大的部分，使用小的圆心角计算会得到错误的结果。
  - 正确做法: 如果要求大弓形，要么在扇形面积公式中使用优角作为 $\theta$，要么用圆的总面积减去小弓形的面积。
- **错误做法:** 多步计算中过早对中间结果取近似
  - 原因: 过早取整会让最终结果产生累积误差，可能超出评分允许的误差范围导致失分。
  - 正确做法: 所有中间计算过程至少保留4位有效数字，仅对最终答案取3位有效数字。

## 速查表

| 公式 | 用途 | 适用条件 | 是否必须牢记？ |
| --- | --- | --- | --- |
| $s = r\theta$ | 计算弧长 | $\theta$ 以弧度为单位 | 是 |
| $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ | 计算扇形面积 | $\theta$ 以弧度为单位 | 是 |
| $A_{\text{segment}} = A_{\text{sector}} - A_{\text{triangle}}$ | 计算弓形面积 | $\theta$ 以弧度为单位 | 否（可从已记公式推导） |
| $A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2}r^2\sin\theta$ | 计算扇形内部的三角形面积 | $\theta$ 可以是弧度或角度 | 是 |

## 下一步

掌握弧度制下的弧长和扇形面积之后，你已经可以应对CIE IGCSE附加数学0606考试中高频出现的复杂弧度制问题。你在这里学到的技能也会为后续A-Level数学的学习打下基础，这些公式会在相关变化率、积分等微积分应用场景中用到。接下来你可以练习往年真题，提升解题速度和准确率，注意避开本讲义列出的常见误区，尤其要重视复合图形类题目，这类题通常占4-6分，是区分高分考生的典型题型。

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