单元总览

圆的坐标几何

CIE IGCSE 附加数学· 5 分钟阅读 📊 占试卷1和试卷2总分的8-10%

1. 单元概览

本单元将你已掌握的直线坐标几何和二次方程知识与圆形关联起来。你将从已知圆心和半径推导圆的方程开始，逐步解决涉及切线和相交圆的复杂多步问题，这类题型在试卷1和试卷2中都高频出现。

本单元的所有内容都包含在以下单个子主题中：

涵盖圆的标准/一般方程、直线与圆的关系、切线性质，以及两圆相交或相切的相关问题。

★★★⏱ 20 min

错误做法:

在根据圆的一般方程 $x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ 求圆心时，忘记将x和y的系数除以2

原因:

一般式整理后为 $(x + g)^{2} + (y + f)^{2} = g^{2} + f^{2} - c$ ，因此圆心坐标为 $(- g, - f)$ ，而非 $(- 2 g, - 2 f)$

正确做法:

务必先将一次项系数除以2，再取相反数得到圆的圆心坐标

错误做法:

在未验证恰好只有一个交点的情况下，就假设所有与圆接触的直线都是切线

原因:

从代数角度看，有些看似接近圆的直线可能存在两个或零个交点

正确做法:

将直线方程代入圆的方程，验证所得二次方程的判别式等于零，即可证明该直线是切线

错误做法:

求解两圆交点时忽略圆的位置背景

原因:

代数求解可能得到不在题目坐标系内两个圆上的增根

正确做法:

将所有计算得到的交点代回原圆方程进行交叉验证，如有题目提供的示意图也可对照检查

你现在可以开始学习本单元唯一的子主题，通过讲解引导、示例演示和习题练习掌握圆的坐标几何的全部学习目标。完成本单元后，你将进入CIE 0606教学大纲下一模块的核心三角函数主题学习。