# 圆的方程、直线、切线与两圆位置关系

> 附加数学 · CIE IGCSE 0606
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u8-circle-equations-lines-tangents-and/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学0606中所有圆的坐标几何内容，包括方程形式、直线与圆的交点、切线以及两圆相关内容，完全匹配2025-2027年教学大纲要求。

**先修:** 二次方程与判别式; 直线坐标几何

## 学习目标

- 推导并在圆的两种标准方程形式之间进行转换
- 使用判别式对直线与圆的交点情况进行分类（弦/切线/无交点）
- 利用半径与切线垂直的规则求圆的切线方程
- 分类两圆之间的位置关系并计算它们的公共弦方程

## 圆的方程的标准形式

**圆心-半径形式** — 对于圆心为$(a,b)$、半径为$r$的圆，其方程由圆上任意一点$(x,y)$到圆心的距离公式推导得出。

*例:* 圆心为$(2,-3)$、半径为4的圆的方程为$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$

**展开通式** — 圆方程的展开形式为$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$，其圆心为$(-g,-f)$，半径$r=\sqrt{g^2+f^2-c}$（根号下的表达式必须为正，才能表示一个实圆）。

*例:* 圆$x^2+y^2-4x+6y-3=0$满足$g=-2, f=3, c=-3$，因此圆心为$(2,-3)$，半径为$\sqrt{4+9+3}=4$

**例题:** 将展开形式的方程$x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$转换为圆心-半径形式，并写出圆心和半径。

1. 1. 将x项和y项分别分组，将常数项移到等号右侧：

   $$(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) = 4$$
2. 2. 对x项配方：$x^2+2x = (x+1)^2 -1$，对y项配方：$y^2-4y = (y-2)^2 -4$
3. 3. 代回原式并化简：

   $$(x+1)^2 -1 + (y-2)^2 -4 = 4 \implies (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$$
4. 4. 得出圆心$(-1, 2)$和半径3。

> **考试提示:** 务必检查由通式计算得到的半径是否为正：如果$g^2 + f^2 - c$的值为负，该方程不代表任何实圆。

## 直线与圆的位置关系

要计算直线与圆的交点，可将直线方程中某一变量的表达式代入圆的方程，得到关于另一变量的二次方程。该二次方程的判别式即可判断二者的相交类型。

**直线-圆相交的判别式规则** — 对于得到的二次方程$Ax^2+Bx+C=0$：1. $\Delta>0$ = 两个不同实根（直线与圆相交，形成弦），2. $\Delta=0$ = 一个重根（直线与圆相切），3. $\Delta<0$ = 无实根（直线与圆无交点）。

**例题:** 判断直线$y=2x+1$与圆$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 5$是相交、相切还是相离。

1. 1. 将$y=2x+1$代入圆的方程：

   $$(x-2)^2 + (2x+1-1)^2 = 5$$
2. 2. 展开并化简，得到关于x的二次方程：

   $$x^2 -4x +4 +4x^2 =5 \implies 5x^2 -4x -1 =0$$
3. 3. 计算判别式：

   $$\Delta = (-4)^2 - 4(5)(-1) = 16 +20 =36$$
4. 4. 由于$\Delta>0$，该直线与圆交于两个不同点，形成一条弦。

> **考试提示:** 如果题目要求求出交点坐标，先解出二次方程的x值，再代回直线方程求出对应的y值即可。

## 圆的切线方程

> **tip**
>
> 对于CIE 0606考试，要求使用几何规则求解：切点处的半径与切线垂直，不需要使用微积分知识。

**例题:** 求圆$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 20$在点$(1,7)$处的切线方程。

1. 1. 确定圆的圆心：$(-1, 3)$。
2. 2. 计算连接圆心与切点的半径的斜率：

   $$m_{radius} = \frac{7-3}{1 - (-1)} = \frac{4}{2}=2$$
3. 3. 切线与半径垂直，因此切线的斜率为负倒数：$m_{tangent} = -\frac{1}{2}$
4. 4. 使用直线的点斜式，代入点$(1,7)$：

   $$y -7 = -\frac{1}{2}(x-1)$$
5. 5. 整理为标准形式：$x + 2y = 15$

> **考试提示:** 计算前务必先将切点代入圆的方程，验证该点确实在圆上，避免因点的坐标错误导致后续计算出错。

## 两圆的位置关系与公共弦

对于圆心分别为$C_1, C_2$、半径分别为$r_1, r_2$的两个圆，圆心距$d = |C_1C_2|$决定了二者的位置关系：

- $d > r_1 + r_2$：两圆外离，无交点
- $d = r_1 + r_2$：两圆外切，有1个公共点
- $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$：两圆交于2点，存在公共弦
- $d = |r_1 - r_2|$：两圆内切，有1个公共点
- $d < |r_1 - r_2|$：一圆完全包含在另一圆内部，无交点

**公共弦方程** — 当两圆交于两点时，将两个圆的展开通式方程相减，消去$x^2$和$y^2$项，得到的线性方程即为两圆公共弦的方程。

**例题:** 求两圆$x^2 + y^2 + 2x - 4y -4 = 0$和$x^2 + y^2 - 2x +6y -10 =0$的公共弦方程。

1. 1. 将两个圆的方程分别标记为方程1和方程2。
2. 2. 用方程1减去方程2，消去二次项：

   $$(x^2 + y^2 +2x -4y -4) - (x^2 + y^2 -2x +6y -10) = 0$$
3. 3. 化简得到的线性方程：

   $$4x -10y +6 =0 \implies 2x -5y +3 =0$$
4. 4. 该结果即为两圆的公共弦方程。

> **考试提示:** 要求两圆的交点时，可将公共弦方程代入任意一个圆的方程，解得到的二次方程即可求出交点坐标。

## 常见错误

- **错误做法:** 使用微积分求圆的切线斜率
  - 原因: 0606教学大纲明确不要求使用微积分；对圆的方程求导需要隐函数求导（超出0606考纲范围），因此使用半径垂直于切线的几何方法是可靠的解题路径。
  - 正确做法: 始终先计算对应半径的斜率，再取其负倒数得到切线的斜率。
- **错误做法:** 将一般形式圆方程$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$的圆心误写为$(g,f)$而非$(-g,-f)$
  - 原因: 从一般形式读取圆心坐标时出现符号错误是本主题最常见的失分点之一。
  - 正确做法: 从方程中明确写出$2g$和$2f$的值，除以2后取相反数得到圆心坐标。
- **错误做法:** 从一般形式计算半径时误用公式$\sqrt{g^2 + f^2 + c}$，正确公式应为$\sqrt{g^2 + f^2 - c}$
  - 原因: 半径公式中的符号错误会导致半径值计算错误，当$c$为负数时甚至会得到无意义的非实数半径。
  - 正确做法: 牢记一般形式下的半径公式，如果不确定可以通过配方自行验证。
- **错误做法:** 将两个圆的方程相加求公共弦，而非相减
  - 原因: 相加无法消去二次项$x^2$和$y^2$，因此你无法得到公共弦对应的线性方程。
  - 正确做法: 始终将两个展开后的圆方程相减，消去二次项得到公共弦的线性方程。
- **错误做法:** 混淆两圆内切和外切的判定条件
  - 原因: 将半径之和与半径之差混用会导致两圆位置关系分类错误。
  - 正确做法: 记住外切使用半径之和，内切使用半径的绝对值之差，如有条件可以快速画草图辅助验证。

## 速查表

| 概念 | 规则/公式 |
| --- | --- |
| 圆心半径式圆方程 | $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, centre $(a,b)$, radius $r$ |
| 圆的一般式方程 | $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$, centre $(-g,-f)$, $r=\sqrt{g^2+f^2-c}$ |
| 直线与圆交点判别式 | $\Delta>0$: chord, $\Delta=0$: tangent, $\Delta<0$: no intersection |
| 切线斜率规则 | $m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}}$ at point of contact |
| 两圆：外切 | $d = r_1 + r_2$, $d$ = distance between centres |
| 两圆：内切 | $d = \|r_1 - r_2\|$ |
| 公共弦方程 | Subtract expanded equations of two intersecting circles |

## 下一步

在掌握CIE IGCSE附加数学0606的圆坐标几何内容后，你已经可以将这些技巧应用到复杂的结构化考题中。本主题经常在长考题中与二次方程、直线几何和三角函数结合考查，因此请定期复习前置知识点以提升解题速度和准确率。多练习本主题的历年真题，熟悉常见的题目表述和评分标准要求，绝大多数题目要求你写出完整的解题步骤，包括判别式计算和切线推导过程。

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