将给定形式与目标直线结构对比。因变量项为$y^2$，自变量项为$x^3$。

定义变换后的变量：$Y=y^2$，$X=x^3$。

代入原方程可得：$Y=5X+2$。

确定数值：斜率$m=5$，截距$c=2$。

对方程两边取常用对数：$\lg y=\lg (A{x}^n)$。

应用对数乘积法则：$\lg y=\lg A+\lg x^n$。

应用对数幂法则：$\lg y=n\lg x+\lg A$。

对应$Y=mX+c$形式：$Y=\lg y$，$X=\lg x$，斜率$m=n$，截距$c=\lg A$。

计算常数：n等于图像的斜率，$A=10^c$，其中c为Y轴截距。

两边取常用对数：$\lg y=\lg (A{b}^x)$。

应用乘积法则：$\lg y=\lg A+\lg b^x$。

应用幂法则：$\lg y=(\lg b)x+\lg A$。

对应$Y=mX+c$形式：$Y=\lg y$，$X=x$，斜率$m=\lg b$，截距$c=\lg A$。

计算常数：$b=10^m$，$A=10^c$。

回顾幂关系的变换形式：$\lg y=n\lg x+\lg A$。

将斜率与n对应：$n=2$。

将截距与$\lg A$对应：$\lg A=0.69897$。

计算A：$A=10^{0.69897}=5$。

最终关系式：$y=5x^2$。

该方程已经是和的形式：块$e^{2y}$等于A乘以块$x^2$再加上常数B。因此将$e^{2y}$作为纵轴、$x^2$作为横轴绘图即可，此处无需取对数。

定义变换变量$Y=e^{2y}$和$X=x^2$，原关系变为$Y=AX+B$，因此斜率为A，截距为B。

根据两个已知点计算斜率：$A=\frac{26-11}{5-2}=\frac{15}{3}=5$。

将点$(2,11)$代入$Y=5X+B$求出B：$11=5(2)+B$，因此$B=11-10=1$。

用第二个点验证：$5(5)+1=26$，与点$(5,26)$吻合，因此$A=5$，$B=1$。

对$y=a{x}^n$两边同时取自然对数：$\ln y=\ln (a{x}^n)$。

运用对数的乘积法则和幂次法则：$\ln y=\ln a+n\ln x$，整理可得$\ln y=n\ln x+\ln a$。

将其与$Y=mX+c$对应，令$Y=\ln y$、$X=\ln x$，可得斜率$m=n$，截距$c=\ln a$。

从斜率直接读出n的值：$n=0.5$。

该直线过点$(0,1.6094)$，因此截距$\ln a=1.6094$。由于使用的是自然对数，可得$a=e^{1.6094}=5.00$（保留三位有效数字）。

因此$n=0.5$，$a=5$，原方程为$y=5x^{0.5}=5\sqrt{x}$。请注意底数规则：使用$\ln$时我们通过$a=e^c$还原常数，而使用$\lg$时则需要用$a=10^c$计算。

(i) 部分：对每个y值取常用对数：$\lg 10=1.00$，$\lg 20=1.30$，$\lg 40=1.60$，$\lg 80=1.90$，$\lg 160=2.20$（均保留两位小数）。

(ii) 部分：对$y=A{b}^x$两边同时取常用对数：$\lg y=\lg A+\lg (b^x)=(\lg b)x+\lg A$。

将其与$Y=mX+c$对比：将$Y=\lg y$作为纵轴，$X=x$作为横轴绘图。此时斜率为$\lg b$，截距为$\lg A$。

(iii) 部分：变换后的点$(x,\lg y)$位于同一条直线上。选取两个间距较大的点，例如$(1,1.00)$和$(5,2.20)$。

斜率等于$\lg b$，因此$\lg b=0.30$，可得$b=10^{0.30}\approx 2.0$。

将点$(1,1.00)$代入$\lg y=0.30x+c$求出截距$c=\lg A$：$1.00=0.30(1)+c$，因此$c=0.70$。

随后可得$A=10^c=10^{0.70}\approx 5.0$。

因此$A\approx 5$，$b\approx 2$，原方程为$y\approx 5(2{)}^x$。代入x=3验证：$5(2{)}^3=5\times 8=40$，与表中数值吻合。

确定作图对象。对 $y=A{x}^n$ 两边取常用对数：$\lg y=n\lg x+\lg A$。与 $Y=mX+c$ 对比，将 $Y=\lg y$ 作为纵轴、$X=\lg x$ 作为横轴作图；斜率为 $n$，纵轴截距为 $\lg A$。

列出变换后的数值表，每个值保留两位小数。$\lg x$：$0.00,0.30,0.48,0.60,0.70$。$\lg y$：$\lg 4.0=0.60,\lg 11.0=1.04,\lg 21.5=1.33,\lg 31.5=1.50,\lg 45.5=1.66$。

描出五个点 $(\lg x,\lg y)$：$(0.00,0.60),(0.30,1.04),(0.48,1.33),(0.60,1.50),(0.70,1.66)$。它们接近一条直线，因此用直尺沿这些点画出一条最佳拟合直线，使直线上下两侧的点数大致相等。

通过读取直线上间距较大的两个点来估计斜率（这两个点位于你所画的直线上，不必是描出的数据点）。例如该直线大约经过 $(0.10,0.75)$ 和 $(0.70,1.65)$。

通过读取直线在 $\lg x=0$ 处与纵轴的交点来估计截距：此处 $c=\lg A\approx 0.60$。

反向还原变换以求出常数：$A=10^c=10^{0.60}\approx 4.0$，$n\approx 1.5$。

写出结果：$y\approx 4x^{1.5}$。用表中 $x=4$ 验证：$4\times 4^{1.5}=4\times 8=32$，与测得的 $31.5$ 接近，说明估计合理。