指数、对数、运算法则与方程

Q: 的渐近线是什么？

竖直渐近线出现在对数的自变量等于0的位置：，因此 。该函数在所有 的位置均无定义。

附加数学· Syllabus sections 6.1, 6.2, 6.3· 25 分钟阅读

1. 指数函数 $e^x$ 与 $y = ke^{nx} + a$ 的图像★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

自然指数函数 $e^x$

形式为 $f (x) = e^{x}$ 的函数，其中 $e \approx 2.718$ 是一个无理常数。它在 $y = 0$ 处有水平渐近线，定义域为 $x \in R$ ，值域为 $y > 0$ ，且其导数等于自身。

例:

当 $x = 0$ 时， $e^{0} = 1$ ，因此基准图像经过点 (0, 1)。

形式为 $y = k e^{n x} + a$ （其中 $k, n, a$ 为整数）的图像是基准 $e^{x}$ 图像的变换： $k$ 是纵向拉伸系数， $n$ 对 x 轴进行缩放（ $n$ 为负时图像沿 y 轴反射）， $a$ 使图像纵向平移，将水平渐近线移动到 $y = a$ 。

📐 例题

绘制 $y = 3 e^{2 x} - 1$ 的图像，写出 y 轴截距的坐标以及水平渐近线的方程。

1
1. 确定纵向平移量： $a = - 1$ ，因此水平渐近线为 $y = - 1$ 。
2
1. 代入 $x = 0$ 计算 y 轴截距： $y = 3 e^{0} - 1 = 3 (1) - 1 = 2$ ，因此截距坐标为 (0, 2)。
3
1. 系数 $n = 2$ 为正，因此图像随 x 增大呈指数增长，当 $x \to - \infty$ 时趋近于 $y = - 1$ 。

Exam tip:

绘制草图时务必标注渐近线和截距，即使你的草图比例不完全准确，阅卷者也会为这些要素给出明确分数。

2. 自然对数 $\ln x$ 与 $y = k \ln(ax + b)$ 的图像★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

自然对数 $\ln x$

是 $e^{x}$ 的反函数，因此对所有合法的 $x$ 都满足 $ln (e^{x}) = x$ 且 $e^{l n x} = x$ 。它在 $x = 0$ 处有垂直渐近线，定义域为 $x > 0$ ，值域为 $y \in R$ 。

例:

当 $x = 1$ 时， $ln 1 = 0$ ，因此基准图像经过点 (1, 0)。

系数为整数的 $y = k ln (a x + b)$ 形式的图像是基准 $ln x$ 图像的变换。垂直渐近线出现在对数的自变量等于 0 的位置： $a x + b = 0$ ，即 $x = - \frac{b}{a}$ 。该函数仅在满足 $a x + b > 0$ 的 x 取值下有定义。

📐 例题

写出 $y = 2 ln (3 x - 6)$ 的定义域、垂直渐近线和 x 轴截距。

1
1. 求垂直渐近线：令 $3 x - 6 = 0$ ，得 $x = 2$ 。
2
1. 计算定义域：对数的自变量必须为正，因此 $3 x - 6 > 0$ → $x > 2$ 。
3
1. 令 $y = 0$ 求 x 轴截距： $2 ln (3 x - 6) = 0$ → $ln (3 x - 6) = 0$ → $3 x - 6 = e^{0} = 1$ → $x = \frac{7}{3}$ ，因此截距坐标为 $(\frac{7}{3}, 0)$ 。

3. 对数运算法则与换底公式★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

对数（任意底数）

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$

对数回答了如下问题：底数 $a$ 需要取多少次方才能得到 $b$ ？因此 $lo g_{a} b$ 是满足 $a^{c} = b$ 的指数 $c$ ，这使得取对数成为底数取幂运算的逆运算。该定义要求 $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ 且 $b > 0$ 。

例:

$lo g_{2} 8 = 3$ ，因为 $2^{3} = 8$ ； $lo g_{10} 1000 = 3$ ，因为 $1 0^{3} = 1000$ 。

积法则： $lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$
商法则： $lo g_{b} (\frac{x}{y}) = lo g_{b} x - lo g_{b} y$
幂法则： $lo g_{b} (x^{n}) = n lo g_{b} x$
特殊情况： $lo g_{b} b = 1$ ， $lo g_{b} 1 = 0$
换底公式：对任意满足 $c > 0$ 且 $c \neq = 1$ 的底数， $lo g_{b} a = \frac{l o g _{c} a}{l o g _{c} b}$

📐 例题

化简 $2 lo g_{10} 5 + lo g_{10} 8 - lo g_{10} 2$ ，结果为整数。

1
1. 对第一项应用幂法则： $2 lo g_{10} 5 = lo g_{10} 5^{2} = lo g_{10} 25$
2
1. 用积法则和商法则合并项： $lo g_{10} 25 + lo g_{10} 8 - lo g_{10} 2 = lo g_{10} (\frac{25 \times 8}{2}) = lo g_{10} 100$
3
1. 计算结果： $lo g_{10} 100 = 2$ ，因为 $1 0^{2} = 100$

📐 例题

使用换底公式计算 $lo g_{2} 15$ ，结果保留 3 位有效数字。

1
1. 使用自然对数应用换底公式： $lo g_{2} 15 = \frac{l n 15}{l n 2}$
2
1. 代入近似值： $ln 15 \approx 2.708$ ， $ln 2 \approx 0.6931$
3
1. 做除法： $\frac{2.708}{0.6931} \approx 3.91$ ，即保留 3 位有效数字的结果。

Exam tip:

对于不允许使用计算器的题目，如果数值是 10 的幂，换底时使用以 10 为底的对数可以简化计算，避免算术错误。

4. 求解 $a^x = b$ 形式的指数方程★★★☆☆⏱ 6 min

求解未知数位于指数位置的指数方程时，对等式两边同时取对数，再应用幂法则将指数降为乘数。你可以使用任意合法底数的对数，但自然对数或以 10 为底的对数计算起来最方便。

📐 例题

求解 $5^{3 x - 2} = 20$ ，结果保留 2 位小数。

1
1. 对等式两边同时取自然对数： $ln (5^{3 x - 2}) = ln 20$
2
1. 应用幂法则： $(3 x - 2) ln 5 = ln 20$
3
1. 整理等式分离含 x 的项： $3 x - 2 = \frac{l n 20}{l n 5} \approx \frac{2.9957}{1.6094} \approx 1.861$
4
1. 求解 x： $3 x \approx 3.861$ → $x \approx 1.29$ ，即保留 2 位小数的结果。

在使用对数之前，先检查等式两边是否可以写成同一底数的幂。如果可以，你就能直接令指数相等，这种方法更快捷且不会产生舍入误差：若 $a^{m} = a^{n}$ （其中 $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ），则 $m = n$ 。

📐 例题

求解 $4^{x + 1} = 8^{x}$ 。

1
1. 将两边都写成 2 的幂，因为 $4 = 2^{2}$ ， $8 = 2^{3}$ ： $(2^{2})^{x + 1} = (2^{3})^{x}$ ，因此 $2^{2 (x + 1)} = 2^{3 x}$ 。
2
1. 底数相等，因此令指数相等： $2 (x + 1) = 3 x$ 。
3
1. 求解得 $2 x + 2 = 3 x$ ，即 $x = 2$ 。验证： $4^{3} = 64$ ， $8^{2} = 64$ 。

✓ 快速检测

求解 $7^{x + 1} = 12$ 的第一步是什么？
- 对两边同时取对数
- 两边同时除以7
- 两边同时减1
- 两边同时开平方

5. 将表达式合并为单个对数★★★☆☆⏱ 5 min

6.2 章节中非常常见的一类题型要求你将形如 $3 + 2 l g p - l g q$ 的表达式写为单个对数。除了对数的乘积法则、商法则和幂法则之外，唯一需要额外掌握的要点是：独立的整数常数必须首先转换为对数形式。对于以10为底的常用对数，使用 $n = l g (1 0^{n})$ ，因此 $1 = l g 10$ ， $2 = l g 100$ ， $3 = l g 1000$ ；对于自然对数则使用 $n = ln (e^{n})$ 。

📐 例题

将 $3 + 2 l g p - l g q$ 写为以10为底的单个对数。

1
1. 将常数转换为以10为底的对数：由于 $1 0^{3} = 1000$ ，可得 $3 = l g 1000$ 。
2
1. 对第二项应用幂法则： $2 l g p = l g p^{2}$ 。
3
1. 此时表达式变为 $l g 1000 + l g p^{2} - l g q$ 。使用乘积法则合并两个相加的项： $l g 1000 + l g p^{2} = l g (1000 p^{2})$ 。
4
1. 对减法部分应用商法则： $l g (1000 p^{2}) - l g q = l g (\frac{1000 p ^{2}}{q})$ 。
5
1. 因此 $3 + 2 l g p - l g q = l g (\frac{1000 p ^{2}}{q})$ 。代入 $p = q = 1$ 检验：原式结果为 $3 + 0 - 0 = 3$ ，答案结果为 $l g 1000 = 3$ ，验证结果正确。

Exam tip:

当“写为单个对数”的题目中出现独立整数时，首先将其改写为对应底数的幂的对数（例如 $3 = l g 1000$ ），之后使用常规对数运算法则将所有项合并为一个对数。

6. 求解对数方程★★★☆☆⏱ 6 min

0606 考纲中的大量题目会给出包含两个及以上同底对数的方程。可靠的求解方法分为四个步骤：使用对数运算法则将方程两侧分别合并为单个对数，利用定义 $lo g_{a} N = c ⟺ N = a^{c}$ 将方程改写为指数形式，求解得到的线性或二次方程，最后将所有候选解代回原方程检验，舍去所有使对数真数为零或负数的取值。

📐 例题

求解方程 $lo g_{3} (x + 6) + lo g_{3} (x - 2) = 2$ 。

1
1. 使用乘积法则合并左侧项： $lo g_{3} [(x + 6) (x - 2)] = 2$ 。
2
1. 利用 $lo g_{a} N = c ⟺ N = a^{c}$ 改写为指数形式： $(x + 6) (x - 2) = 3^{2} = 9$ 。
3
1. 展开并整理为二次方程： $x^{2} + 4 x - 12 = 9$ ，即 $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ 。
4
1. 因式分解并求解： $(x + 7) (x - 3) = 0$ ，得到 $x = - 7$ 或 $x = 3$ 。
5
1. 将每个根代回原方程检验。若 $x = - 7$ ，则 $x + 6 = - 1$ 、 $x - 2 = - 9$ 均为负数，对应对数无定义，舍去该根。若 $x = 3$ ，则 $x + 6 = 9 > 0$ 、 $x - 2 = 1 > 0$ ，两个对数均有定义。唯一解为 $x = 3$ 。

Exam tip:

你求出的每一个根都必须代回原方程检验：舍去所有使对数的真数为零或负数的取值，因为这类对数是无定义的。

7. 含变量底数的换底运算★★★★☆⏱ 7 min

换底公式 $lo g_{b} a = \frac{l o g _{c} a}{l o g _{c} b}$ 有一个非常实用的特例：令新底数等于 $a$ ，可得 $lo g_{x} a = \frac{l o g _{a} a}{l o g _{a} x} = \frac{1}{l o g _{a} x}$ 。这个倒数恒等式可以帮助你处理同时包含 $lo g_{a} x$ 和底数为变量的项（例如 $lo g_{3} x + lo g_{x} 3$ ）的方程。代入 $y = lo g_{a} x$ 即可将这类方程转化为二次方程。注意对数的定义域要求 $x > 0$ ，当 $x$ 作为对数底数时还需要满足 $x \neq = 1$ 。

📐 例题

求解方程 $lo g_{3} x + lo g_{x} 3 = \frac{10}{3}$ ，其中 $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 。

1
1. 使用倒数恒等式改写第二项： $lo g_{x} 3 = \frac{1}{l o g _{3} x}$ 。
2
1. 令 $y = lo g_{3} x$ （注意 $y \neq = 0$ ，因为 $x \neq = 1$ ），方程变为 $y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3}$ 。
3
1. 所有项同乘 $3 y$ 消去分母： $3 y^{2} + 3 = 10 y$ ，即 $3 y^{2} - 10 y + 3 = 0$ 。
4
1. 因式分解： $(3 y - 1) (y - 3) = 0$ ，得到 $y = \frac{1}{3}$ 或 $y = 3$ 。
5
1. 利用 $x = 3^{y}$ 转换回原变量： $y = \frac{1}{3} ⟹ x = 3^{1/3} = 33$ ， $y = 3 ⟹ x = 3^{3} = 27$ 。
6
1. $x = 33 \approx 1.44$ 和 $x = 27$ 均满足 $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ ，因此两个解均有效。代入 $x = 27$ 检验： $lo g_{3} 27 + lo g_{27} 3 = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ ，符合方程要求。

Exam tip:

当未知数出现在对数的底数位置时（例如 $lo g_{x} 3$ ），使用倒数恒等式 $lo g_{x} a = \frac{1}{l o g _{a} x}$ 将所有项转换为同一底数，之后代入 $y = lo g_{a} x$ 即可得到关于 $y$ 的二次方程。

8. 有 y 截距的对数图像★★★☆☆⏱ 5 min

关于 $y = k ln (a x + b)$ 的草图题经常要求求 y 截距。y 截距只有在真数 $a x + b$ 于 $x = 0$ 处为正（即 $b > 0$ ）时才存在。代入 $x = 0$ 可得 $y = k ln b$ 。像 $y = 2 ln (3 x - 6)$ 这样的曲线在 $x = 0$ 处真数为负，因此没有 y 截距，而 $y = ln (x + 2)$ 这样的曲线则有 y 截距。

📐 例题

绘制 $y = ln (x + 2)$ 的草图，写出定义域、垂直渐近线、x 截距和 y 截距。

1
1. 定义域：真数必须为正，因此 $x + 2 > 0 ⟹ x > - 2$ 。
2
1. 垂直渐近线：真数在 $x + 2 = 0 ⟹ x = - 2$ 处为零。当 $x \to - 2^{+}$ 时曲线趋向 $- \infty$ 。
3
1. x 截距：令 $y = 0$ ，则 $ln (x + 2) = 0 ⟹ x + 2 = e^{0} = 1 ⟹ x = - 1$ 。x 截距为 $(- 1, 0)$ 。
4
1. y 截距：令 $x = 0$ ，则 $y = ln (0 + 2) = ln 2 \approx 0.69$ 。y 截距为 $(0, ln 2)$ 。
5
1. 大致形状：一条递增曲线，垂直渐近线为 $x = - 2$ ，经过 $(- 1, 0)$ 和 $(0, ln 2)$ ，在 $x$ 较大时缓慢上升。

Exam tip:

对数图像只有在 $x = 0$ 处真数为正时才有 y 截距，即 $y = k ln (a x + b)$ 中 $b > 0$ 的情况。务必代入 $x = 0$ 检验：若真数算出来 $\leq 0$ ，则要说明该图像没有 y 截距。

9. 常见陷阱

错误做法:

对和的形式应用对数法则： $lo g (x + y) = lo g x + lo g y$

原因:

对数仅将乘积转化为和，不能将加法拆分。乘积法则仅适用于 $lo g (x y)$ ，不适用于 $lo g (x + y)$ 。

正确做法:

保留 $lo g (x + y)$ 的原式，若可因式分解则先对自变量做因式分解，再应用对数运算法则。

错误做法:

忽略 $ln x$ 的定义域：接受对数自变量为负或为零的解。

原因:

对数仅对严格大于0的自变量有定义，因此所有使 $a x + b \leq 0$ 的解均无效，必须舍去。

正确做法:

务必检查所得解是否使原方程中所有对数的自变量都严格大于0。

错误做法:

误将 $y = k e^{n x} + a$ 的渐近线识别为 $x = a$ 而非 $y = a$ 。

原因:

指数函数的渐近线是水平的，而对数函数的渐近线是竖直的。

正确做法:

指数函数图像的水平渐近线等于其竖直偏移量 $a$ ，对数函数图像的竖直渐近线出现在其自变量等于0的位置。

错误做法:

误用反函数恒等式： $e^{2 l n x} = 2 x$

原因:

恒等式 $e^{l n f (x)} = f (x)$ 仅在整个指数部分是单个对数项时成立。

正确做法:

先应用幂法则将系数合并到对数中： $e^{2 l n x} = e^{l n x^{2}} = x^{2}$ 。

错误做法:

错误使用换底公式： $lo g_{b} a = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$

原因:

原对数的底数在换底公式的比值中位于分母位置。

正确做法:

使用助记口诀「底数在下」： $lo g_{ba se} (v a l u e) = \frac{l o g ( v a l u e )}{l o g ( ba se )}$ 。

10. 速查表

概念	规则 / 公式	关键考试提示
$e^{x}$ 性质	Domain: $R$ , Range: $y > 0$ , Asymptote: $y = 0$	过点 (0, 1)，是 $ln x$ 的反函数
$ln x$ 性质	Domain: $x > 0$ , Range: $R$ , Asymptote: $x = 0$	过点 (1, 0)，是 $e^{x}$ 的反函数
对数乘积法则	$lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$	仅适用于乘积，不适用于和
对数商法则	$lo g_{b} (\frac{x}{y}) = lo g_{b} x - lo g_{b} y$	仅适用于商，不适用于差
对数幂法则	$lo g_{b} (x^{n}) = n lo g_{b} x$	适用于所有实数幂 $n$
换底公式	$lo g_{b} a = \frac{l o g _{c} a}{l o g _{c} b}$	计算时使用底数为10或 $e$ 的对数
求解 $a^{x} = b$	$x = \frac{l n b}{l n a}$	考试中任意合法的对数底数均可使用

11. 常见问题

求解 $a^{x} = b$ 时，我可以使用自然对数或以10为底的对数吗？

可以，只要正确应用对数运算法则，两种方式都被接受。对于底数为10的幂次的非计算器题目，以10为底的对数通常更简便，而涉及 $e$ 的题目更推荐使用自然对数。

$y = k ln (a x + b)$ 的渐近线是什么？

竖直渐近线出现在对数的自变量等于0的位置： $a x + b = 0$ ，因此 $x = - \frac{b}{a}$ 。该函数在所有 $x \leq - \frac{b}{a}$ 的位置均无定义。

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下一步

在掌握指数与对数函数的基础运算法则、图像和方程求解技巧后，你已经可以应用这些知识点解决CIE IGCSE附加数学0606大纲中的更复杂问题。接下来你将学习指数与对数函数的求导和积分方法，这两类知识点在卷1（非计算器）和卷2（计算器）考试中都高频出现。你还会在求解实际增长与衰减问题（例如人口增长、放射性衰变、复利场景）时用到这些函数。请务必练习一定量的计算器和非计算器混合题目以提升熟练度，同时复习上述常见陷阱，避免不必要的失分。