联立方程（线性与非线性）

CIE IGCSE 附加数学· Section 5.1· 15 分钟阅读

1. 混合联立方程的核心代入法★★☆☆☆⏱ 4 min

代入法是求解这类方程组的主要方法：将其中一个方程变形，把某个变量单独整理到等式一侧，再代入另一个方程。消元法同样适用——对于部分方程组，尤其是两个方程均为非线性的情况，将两个方程相减或相除可以更快消去一个变量。请选择代数运算量最少的路径，最终得到单变量方程即可。

📘 定义

混合联立方程

包含两个未知量的方程组，其中至少一个方程是非线性的（次数≥2，例如二次方程、圆方程、倒数方程）；另一个方程可以是线性的，也可以是非线性的。方程组的解是同时满足两个方程的 $(x, y)$ 值对。

从更简单的方程中把一个变量整理到等式一侧（如果存在线性方程就优先使用它，否则选择变量最容易分离的方程和对应变量）。
将分离出的变量表达式代入非线性方程。
化简得到的方程，得到形如 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的单变量二次方程。
求解二次方程，得到第一个变量的两个值（或一个重根，或无实根）。
将得到的每个值代回变形后的线性方程，求出第二个变量对应的取值。

📐 例题

判断方程组 $2 x - y = 3$ 和 $y = x^{2} + 2 x - 7$ 中的线性方程与非线性方程：

1
步骤1：检查每个方程的次数。第一个方程中 $x$ 和 $y$ 的次数均为1，因此它是线性方程。
2
步骤2：第二个方程包含 $x^{2}$ （次数为2），因此它是非线性方程。
3
步骤3：从线性方程中分离出 $y$ 用于代入： $y = 2 x - 3$

Exam tip:

如果题目要求「答案保留3位有效数字」，请使用二次公式求解得到的二次方程，不要使用因式分解法。

2. 例题：直线与抛物线★★★☆☆⏱ 4 min

📐 例题

求解联立方程： $y = 2 x + 1$ 和 $y = x^{2} + 3 x - 5$

1
步骤1：线性方程已经将 $y$ 单独整理在一侧，无需额外变形。
2
步骤2：将 $y = 2 x + 1$ 代入二次方程：
$2x + 1 = x^2 + 3x - 5$
3
步骤3：整理为标准二次方程形式：
$x^2 + x - 6 = 0$
4
步骤4：因式分解并求解 $x$ ：
$(x + 3)(x - 2) = 0 \implies x = -3 \text{ or } x = 2$
5
步骤5：将每个 $x$ 值代回 $y = 2 x + 1$ ：
6
$x = -3: y = 2(-3) + 1 = -5$
7
$x = 2: y = 2(2) + 1 = 5$
8
最终解对： $(- 3, - 5)$ 和 $(2, 5)$

✓ 快速检测

此处我们为什么要代回线性方程，而不是代回二次方程？
- 二次方程会给出额外的错误解
- 线性方程计算速度更快
- 两种方法同样有效

3. 例题：直线与圆★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

在0606考试中，一类常见的非线性方程是圆的方程，形式为 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 。这类方程组同样可以使用上述代入法求解。

📐 例题

求解联立方程： $x + y = 4$ 和 $x^{2} + y^{2} = 10$

1
步骤1：变形线性方程，分离出 $y$ ： $y = 4 - x$
2
步骤2：将 $y = 4 - x$ 代入圆方程：
$x^2 + (4 - x)^2 = 10$
3
步骤3：展开并化简为标准二次方程形式：
$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 10 \implies 2x^2 - 8x + 6 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$
4
步骤4：求解二次方程：
$(x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1 \text{ or } x = 3$
5
步骤5：代回 $y = 4 - x$ 求出 $y$ 的取值：
6
$x = 1: y = 3; x = 3: y = 1$
7
最终解： $(1, 3)$ 和 $(3, 1)$

4. 将解解释为图形交点★★☆☆☆⏱ 3 min

联立方程组的每一组解 $(x, y)$ 都对应两个方程的图像的一个交点。你可以通过这种方式快速验证所得的解是否合理。

📘 定义

实解的数量

混合方程组的实解对数等于线性图像与非线性图像的交点数量。

📐 例题

一条直线和一条抛物线只有一组解 $(2, 5)$ ，这说明两个图像有什么性质？

1
步骤1：只有一组解意味着两个图像只有一个交点。
2
步骤2：这说明该直线是抛物线在点 $(2, 5)$ 处的切线。

Exam tip:

如果题目要求你「求直线与曲线的交点坐标」，这本质上就是要求你求解对应的联立方程。

5. 例题：两个非线性方程★★★☆☆⏱ 3 min

考纲也允许两个方程均为非线性的方程组。代入法仍然适用，但消去一个变量（例如将两个方程相除或相减）的方式通常更快捷。

📐 例题

求解联立方程 $x y = 3$ 和 $x y^{2} = 4$ 。

1
步骤1：两个方程均为非线性。由于 $x y \neq = 0$ ，将第二个方程除以第一个方程以消去 $x$ ：
$\frac{xy^2}{xy} = \frac{4}{3} \implies y = \frac{4}{3}$
2
步骤2：将 $y = \frac{4}{3}$ 代回 $x y = 3$ 求出 $x$ ：
$x \cdot \frac{4}{3} = 3 \implies x = \frac{9}{4}$
3
步骤3：代入第二个方程验证： $x y^{2} = \frac{9}{4} \cdot (\frac{4}{3})^{2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{16}{9} = 4$ ，符合要求。
4
最终解： $(\frac{9}{4}, \frac{4}{3})$

考试中更难且非常常见的题型是两个非线性方程均包含 $x y$ 交叉项，例如 $a x^{2} + b x y + c y^{2} = d$ 搭配形如 $x y = k$ 的简单乘积方程。利用乘积方程替换交叉项，将其中一个变量表示为 $y = \frac{k}{x}$ ，再代入即可得到仅含 $x$ 的方程。这类方程通常会得到关于 $x^{2}$ 的二次方程，存在多组解。

📐 例题

求解联立方程 $4 x^{2} + 3 x y + y^{2} = 22$ 和 $x y = - 6$ 。

1
步骤1：由 $x y = - 6$ 可得交叉项 $3 x y = 3 (- 6) = - 18$ ，且 $y = - \frac{6}{x}$ ，因此 $y^{2} = \frac{36}{x ^{2}}$ 。
2
步骤2：代入第一个方程：
$4x^2 - 18 + \frac{36}{x^2} = 22 \implies 4x^2 + \frac{36}{x^2} = 40$
3
步骤3：两边除以4，再同乘 $x^{2}$ 消去分母：
$x^2 + \frac{9}{x^2} = 10 \implies x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
4
步骤4：这是关于 $x^{2}$ 的二次方程，对其因式分解：
$(x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0 \implies x^2 = 1 \text{ or } x^2 = 9$
5
步骤5：因此 $x = \pm 1$ 或 $x = \pm 3$ 。通过 $y = - \frac{6}{x}$ 求出对应的每个 $y$ 值：
6
$x = 1 \Rightarrow y = -6; \quad x = -1 \Rightarrow y = 6; \quad x = 3 \Rightarrow y = -2; \quad x = -3 \Rightarrow y = 2$
7
最终的解组为： $(1, - 6)$ 、 $(- 1, 6)$ 、 $(3, - 2)$ 和 $(- 3, 2)$ 。

Exam tip:

当两个方程均为非线性时，优先尝试快速消元（相除或相减），之后再使用代入法。

6. 例题：两交点之间的精确距离★★★★☆⏱ 4 min

考试中一类非常常见的应用是：先求解方程组得到两个交点，再求这两点之间的精确距离。得到两点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 后，使用距离公式 $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ ，并将根式化简为 $a b$ 形式，其中 $b$ 不含平方因数。

📐 例题

直线 $y = 2 x$ 与曲线 $y = x^{2} - 3$ 交于两点 $A$ 和 $B$ 。求 $A B$ 的精确长度，答案以 $a b$ 形式给出。

1
步骤1：令两个 $y$ 的表达式相等，整理为标准二次方程形式：
$2x = x^2 - 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$
2
步骤2：因式分解并求解 $x$ ：
$(x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = 3 \text{ or } x = -1$
3
步骤3：将每个 $x$ 代回直线 $y = 2 x$ 求出交点：
$x = -1 \Rightarrow y = -2; \quad x = 3 \Rightarrow y = 6$
4
因此两个交点为 $A (- 1, - 2)$ 和 $B (3, 6)$ 。
5
步骤4：取 $(x_{1}, y_{1}) = (- 1, - 2)$ 、 $(x_{2}, y_{2}) = (3, 6)$ ，应用距离公式：
$AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$
6
步骤5：提取最大平方因数化简根式（ $80 = 16 \times 5$ ）：
$\sqrt{80} = \sqrt{16}\,\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$
7
精确长度为 $A B = 45$ 。

Exam tip:

务必将根式完全化简： $80 = 45$ ，而不是保留 $80$ 。「精确形式」得分要求把最大平方因数提到根号外。

7. 常见陷阱

错误做法:

分离系数不为1的变量，整理过程中出现算术错误

原因:

分数会增加后续计算中乘法错误的概率

正确做法:

尽可能优先分离系数为1的变量；如果不存在这样的变量，仔细整理并将代入步骤检查两遍

错误做法:

将分离出的变量代回非线性方程而非线性方程

原因:

非线性方程可能产生满足非线性方程但不满足线性方程的增根

正确做法:

始终将第一个变量的解代回整理后的线性方程，求出第二个变量的值

错误做法:

错误展开平方项，例如将 $(2 x + 3)^{2}$ 写为 $4 x^{2} + 9$ 而非 $4 x^{2} + 12 x + 9$

原因:

对二项式平方时遗漏交叉项会得到错误的二次方程，导致后续所有运算全部出错

正确做法:

使用FOIL方法展开二项式平方，或牢记公式 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

错误做法:

当二次方程有两个不同实根时，只给出一组解对

原因:

题目要求给出所有实数解，遗漏一组解会导致失分

正确做法:

除非题目另有要求（例如只取正值），否则始终将二次方程的两个根分别代回线性方程，得到两组完整的解对

错误做法:

使用二次公式时对中间值取整，导致最终答案不准确

原因:

过早取整会让误差在后续计算中不断累积

正确做法:

所有中间值保留精确形式（或使用计算器的记忆功能存储），仅对最终答案按要求保留指定有效数字位数

8. 速查表

步骤	操作
1	从更简单的方程中把某个变量整理为主项（如果存在线性方程则优先使用线性方程）
2	将分离出的表达式代入非线性方程
3	整理为标准二次方程形式 $a x^{2} + b x + c = 0$
4	求解二次方程（因式分解、二次公式、配方法均可）
5	将每个根代回线性方程，求出对应的 $y$ / $x$ 值
6	将所有解对以 $(x, y)$ 坐标形式写出

9. 常见问题

考试中这类题目我需要写出全部运算过程吗？

是的！你必须展示完整的代入和二次方程求解步骤，才能拿到所有方法分，即便最终答案错误也能得分。只要整理步骤正确，哪怕后续出现算术错误也能获得部分分数。

如果得到的二次方程没有实根该怎么办？

如果所得二次方程的判别式为负，说明该直线与非线性图像没有交点，因此不存在实数解对。

深入阅读

syllabusCIE 0606 2025-2027 官方考纲参考第5.1节获取官方主题指导。

下一步

现在你已经掌握了一线性一非线性联立方程的求解方法，可以将该技能应用到CIE IGCSE 附加数学0606的其他主题中。该方法可用于求曲线的切线、圆与直线的交点，以及求解运动学和几何形状相关的问题。接下来你应该练习本主题的考试风格题目，之后学习建立在该基础上的更高级代数运算和坐标几何技能。