# 联立方程（线性与非线性）

> CIE IGCSE 附加数学 · 0606 (2025-2027)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u5-simultaneous-equations/

本指南将教你求解含两个未知数、至少一个方程为非线性（有时两个均为非线性）的联立方程组，使用代入法或消元法，符合CIE IGCSE 附加数学0606的考纲要求。你将学习将解解读为图像交点，并规避常见的考试错误。

**先修:** 整理线性方程以分离出单个变量; 通过因式分解、配方法或二次公式求解二次方程

## 学习目标

- 使用代入法或消元法求解含两个未知数、其中一个或两个方程均为非线性的联立方程
- 将解解读为两个图像的交点坐标
- 正确应用该方法解答考试风格的结构化题目
- 在整理和求解所得二次方程时避免常见计算错误

## 混合联立方程的核心代入法

代入法是求解这类方程组的主要方法：将其中一个方程变形，把某个变量单独整理到等式一侧，再代入另一个方程。消元法同样适用——对于部分方程组，尤其是两个方程均为非线性的情况，将两个方程相减或相除可以更快消去一个变量。请选择代数运算量最少的路径，最终得到单变量方程即可。

**混合联立方程** — 包含两个未知量的方程组，其中至少一个方程是非线性的（次数≥2，例如二次方程、圆方程、倒数方程）；另一个方程可以是线性的，也可以是非线性的。方程组的解是同时满足两个方程的$(x,y)$值对。

1. 从更简单的方程中把一个变量整理到等式一侧（如果存在线性方程就优先使用它，否则选择变量最容易分离的方程和对应变量）。
2. 将分离出的变量表达式代入非线性方程。
3. 化简得到的方程，得到形如$ax^2 + bx + c = 0$的单变量二次方程。
4. 求解二次方程，得到第一个变量的两个值（或一个重根，或无实根）。
5. 将得到的每个值代回变形后的线性方程，求出第二个变量对应的取值。

> **tip**
>
> 务必代回线性方程而非非线性方程，避免得到不满足两个方程的增根。

**例题:** 判断方程组$2x - y = 3$和$y = x^2 + 2x - 7$中的线性方程与非线性方程：

1. 步骤1：检查每个方程的次数。第一个方程中$x$和$y$的次数均为1，因此它是线性方程。
2. 步骤2：第二个方程包含$x^2$（次数为2），因此它是非线性方程。
3. 步骤3：从线性方程中分离出$y$用于代入：$y = 2x - 3$

> **考试提示:** 如果题目要求「答案保留3位有效数字」，请使用二次公式求解得到的二次方程，不要使用因式分解法。

## 例题：直线与抛物线

**例题:** 求解联立方程：$y = 2x + 1$和$y = x^2 + 3x - 5$

1. 步骤1：线性方程已经将$y$单独整理在一侧，无需额外变形。
2. 步骤2：将$y = 2x + 1$代入二次方程：

   $$2x + 1 = x^2 + 3x - 5$$
3. 步骤3：整理为标准二次方程形式：

   $$x^2 + x - 6 = 0$$
4. 步骤4：因式分解并求解$x$：

   $$(x + 3)(x - 2) = 0 \implies x = -3 \text{ or } x = 2$$
5. 步骤5：将每个$x$值代回$y = 2x + 1$：
6. $$x = -3: y = 2(-3) + 1 = -5$$
7. $$x = 2: y = 2(2) + 1 = 5$$
8. 最终解对：$(-3, -5)$和$(2, 5)$

**概念自测**

1. 此处我们为什么要代回线性方程，而不是代回二次方程？

   - 二次方程会给出额外的错误解
   - 线性方程计算速度更快
   - 两种方法同样有效

   *答案:* 二次方程会给出额外的错误解

   *解析:* 非线性方程可能产生不满足线性方程的增根，因此必须使用线性方程求解第二个变量。

## 例题：直线与圆

在0606考试中，一类常见的非线性方程是圆的方程，形式为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$。这类方程组同样可以使用上述代入法求解。

**例题:** 求解联立方程：$x + y = 4$和$x^2 + y^2 = 10$

1. 步骤1：变形线性方程，分离出$y$：$y = 4 - x$
2. 步骤2：将$y = 4 - x$代入圆方程：

   $$x^2 + (4 - x)^2 = 10$$
3. 步骤3：展开并化简为标准二次方程形式：

   $$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 10 \implies 2x^2 - 8x + 6 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$$
4. 步骤4：求解二次方程：

   $$(x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1 \text{ or } x = 3$$
5. 步骤5：代回$y = 4 - x$求出$y$的取值：
6. $$x = 1: y = 3; x = 3: y = 1$$
7. 最终解：$(1, 3)$和$(3, 1)$

> **warning**
>
> 不要忘记对代入的整个表达式取平方，例如$(4 - x)^2 = 16 - 8x + x^2$，而不是$16 - x^2$。这是本知识点最常见的错误之一。

*计算器:* allowed

## 将解解释为图形交点

联立方程组的每一组解$(x,y)$都对应两个方程的图像的一个交点。你可以通过这种方式快速验证所得的解是否合理。

**实解的数量** — 混合方程组的实解对数等于线性图像与非线性图像的交点数量。

**小结**

- 2个不同的实根：两个交点，两组解
- 1个实重根：直线与非线性图像相切，一组解
- 无实根：直线与非线性图像没有交点，无实解

**例题:** 一条直线和一条抛物线只有一组解$(2, 5)$，这说明两个图像有什么性质？

1. 步骤1：只有一组解意味着两个图像只有一个交点。
2. 步骤2：这说明该直线是抛物线在点$(2,5)$处的切线。

> **考试提示:** 如果题目要求你「求直线与曲线的交点坐标」，这本质上就是要求你求解对应的联立方程。

## 例题：两个非线性方程

考纲也允许两个方程均为非线性的方程组。代入法仍然适用，但消去一个变量（例如将两个方程相除或相减）的方式通常更快捷。

**例题:** 求解联立方程 $xy = 3$ 和 $xy^2 = 4$。

1. 步骤1：两个方程均为非线性。由于 $xy \neq 0$，将第二个方程除以第一个方程以消去 $x$：

   $$\frac{xy^2}{xy} = \frac{4}{3} \implies y = \frac{4}{3}$$
2. 步骤2：将 $y = \frac{4}{3}$ 代回 $xy = 3$ 求出 $x$：

   $$x \cdot \frac{4}{3} = 3 \implies x = \frac{9}{4}$$
3. 步骤3：代入第二个方程验证：$xy^2 = \frac{9}{4} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{9}{4} \cdot \frac{16}{9} = 4$，符合要求。
4. 最终解：$\left(\frac{9}{4}, \frac{4}{3}\right)$

考试中更难且非常常见的题型是两个非线性方程均包含 $xy$ 交叉项，例如 $ax^2 + bxy + cy^2 = d$ 搭配形如 $xy = k$ 的简单乘积方程。利用乘积方程替换交叉项，将其中一个变量表示为 $y = \frac{k}{x}$，再代入即可得到仅含 $x$ 的方程。这类方程通常会得到关于 $x^2$ 的二次方程，存在多组解。

**例题:** 求解联立方程 $4x^2 + 3xy + y^2 = 22$ 和 $xy = -6$。

1. 步骤1：由 $xy = -6$ 可得交叉项 $3xy = 3(-6) = -18$，且 $y = -\frac{6}{x}$，因此 $y^2 = \frac{36}{x^2}$。
2. 步骤2：代入第一个方程：

   $$4x^2 - 18 + \frac{36}{x^2} = 22 \implies 4x^2 + \frac{36}{x^2} = 40$$
3. 步骤3：两边除以4，再同乘 $x^2$ 消去分母：

   $$x^2 + \frac{9}{x^2} = 10 \implies x^4 - 10x^2 + 9 = 0$$
4. 步骤4：这是关于 $x^2$ 的二次方程，对其因式分解：

   $$(x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0 \implies x^2 = 1 \text{ or } x^2 = 9$$
5. 步骤5：因此 $x = \pm 1$ 或 $x = \pm 3$。通过 $y = -\frac{6}{x}$ 求出对应的每个 $y$ 值：
6. $$x = 1 \Rightarrow y = -6; \quad x = -1 \Rightarrow y = 6; \quad x = 3 \Rightarrow y = -2; \quad x = -3 \Rightarrow y = 2$$
7. 最终的解组为：$(1, -6)$、$(-1, 6)$、$(3, -2)$ 和 $(-3, 2)$。

> **考试提示:** 当两个方程均为非线性时，优先尝试快速消元（相除或相减），之后再使用代入法。

## 例题：两交点之间的精确距离

考试中一类非常常见的应用是：先求解方程组得到两个交点，再求这两点之间的精确距离。得到两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 后，使用距离公式 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，并将根式化简为 $a\sqrt{b}$ 形式，其中 $b$ 不含平方因数。

**例题:** 直线 $y = 2x$ 与曲线 $y = x^2 - 3$ 交于两点 $A$ 和 $B$。求 $AB$ 的精确长度，答案以 $a\sqrt{b}$ 形式给出。

1. 步骤1：令两个 $y$ 的表达式相等，整理为标准二次方程形式：

   $$2x = x^2 - 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$$
2. 步骤2：因式分解并求解 $x$：

   $$(x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = 3 \text{ or } x = -1$$
3. 步骤3：将每个 $x$ 代回直线 $y = 2x$ 求出交点：

   $$x = -1 \Rightarrow y = -2; \quad x = 3 \Rightarrow y = 6$$
4. 因此两个交点为 $A(-1, -2)$ 和 $B(3, 6)$。
5. 步骤4：取 $(x_1, y_1) = (-1, -2)$、$(x_2, y_2) = (3, 6)$，应用距离公式：

   $$AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$$
6. 步骤5：提取最大平方因数化简根式（$80 = 16 \times 5$）：

   $$\sqrt{80} = \sqrt{16}\,\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$$
7. 精确长度为 $AB = 4\sqrt{5}$。

> **tip**
>
> 距离具有对称性，因此哪个点取作 $(x_1, y_1)$ 并不影响结果：平方运算会消除 $(x_2 - x_1)$ 和 $(y_2 - y_1)$ 中的符号差异。

> **考试提示:** 务必将根式完全化简：$\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$，而不是保留 $\sqrt{80}$。「精确形式」得分要求把最大平方因数提到根号外。

## 常见错误

- **错误做法:** 分离系数不为1的变量，整理过程中出现算术错误
  - 原因: 分数会增加后续计算中乘法错误的概率
  - 正确做法: 尽可能优先分离系数为1的变量；如果不存在这样的变量，仔细整理并将代入步骤检查两遍
- **错误做法:** 将分离出的变量代回非线性方程而非线性方程
  - 原因: 非线性方程可能产生满足非线性方程但不满足线性方程的增根
  - 正确做法: 始终将第一个变量的解代回整理后的线性方程，求出第二个变量的值
- **错误做法:** 错误展开平方项，例如将 $(2x + 3)^2$ 写为 $4x^2 + 9$ 而非 $4x^2 + 12x + 9$
  - 原因: 对二项式平方时遗漏交叉项会得到错误的二次方程，导致后续所有运算全部出错
  - 正确做法: 使用FOIL方法展开二项式平方，或牢记公式 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- **错误做法:** 当二次方程有两个不同实根时，只给出一组解对
  - 原因: 题目要求给出所有实数解，遗漏一组解会导致失分
  - 正确做法: 除非题目另有要求（例如只取正值），否则始终将二次方程的两个根分别代回线性方程，得到两组完整的解对
- **错误做法:** 使用二次公式时对中间值取整，导致最终答案不准确
  - 原因: 过早取整会让误差在后续计算中不断累积
  - 正确做法: 所有中间值保留精确形式（或使用计算器的记忆功能存储），仅对最终答案按要求保留指定有效数字位数

## 速查表

| 步骤 | 操作 |
| --- | --- |
| 1 | 从更简单的方程中把某个变量整理为主项（如果存在线性方程则优先使用线性方程） |
| 2 | 将分离出的表达式代入非线性方程 |
| 3 | 整理为标准二次方程形式 $ax^2 + bx + c = 0$ |
| 4 | 求解二次方程（因式分解、二次公式、配方法均可） |
| 5 | 将每个根代回线性方程，求出对应的 $y$/$x$ 值 |
| 6 | 将所有解对以 $(x,y)$ 坐标形式写出 |

## 下一步

现在你已经掌握了一线性一非线性联立方程的求解方法，可以将该技能应用到CIE IGCSE 附加数学0606的其他主题中。该方法可用于求曲线的切线、圆与直线的交点，以及求解运动学和几何形状相关的问题。接下来你应该练习本主题的考试风格题目，之后学习建立在该基础上的更高级代数运算和坐标几何技能。

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