# 联立方程

> CIE IGCSE 附加数学 · CIE IGCSE 附加数学 0606
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u5-overview/
> 占比: 占考试总分的5-7%

本单元讲解含两个未知数的联立方程组求解，其中至少一个方程为非线性方程（有时两个均为非线性），这是CIE IGCSE附加数学考试中在纯代数与应用题型中都会明确考察的核心代数技能。

**先修:** 线性方程求解; 二次式展开、因式分解与求解

## 学习目标

- 使用代入法或消元法求解含两个未知数的联立方程组，其中一个或两个方程为非线性方程（二次、有理、圆方程或含$xy$项的方程）
- 将联立方程的解解释为对应直线与曲线图像的交点
- 将联立方程求解方法应用于现实场景与几何情境问题，舍去所有不符合实际的无效解

## 单元概览

本单元采用结构化学习路径，聚焦0606考纲要求的特定联立方程类型。你将首先学习代入法，将多个方程合并为单个可求解的二次方程，之后将该技能应用于情境类问题与图像解读问题。

本单元包含以下核心子主题：
- [联立方程（单方程或双方程为非线性）](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u5-simultaneous-equations/) — 掌握代入法与消元法，求解其中一个或两个方程均为非线性的联立方程，涵盖图像解读与现实情境应用。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记将解出的x/y值代回原线性方程以求出对应的第二个变量
  - 原因: 这会导致解不完整，即使你正确解出了中间步骤的二次方程也会失分
  - 正确做法: 务必将每个二次方程的根代回整理后的线性方程，得到完整的(x,y)解对，随后验证所有解对均满足两个原方程
- **错误做法:** 代入前从线性方程中分离变量时出现整理错误
  - 原因: 整理过程中的微小计算错误会传递到后续所有步骤，导致二次方程的根与最终解全部出错
  - 正确做法: 将整理后的线性表达式代入非线性方程前，务必二次检查整理结果，尽早发现可避免的计算错误

## 速查表

| 核心概念/公式 | 说明 |
| --- | --- |
| 代入步骤 | 整理线性方程，将$x$或$y$表示为因变量，再将该表达式代入非线性方程 |
| 二次形式 | 代入后你将得到形如$ax^2 + bx + c = 0$的二次方程，可通过因式分解、配方法或二次方程求根公式求解 |
| 解对 | 所得二次方程的每一个根都对应原联立方程组的一组(x,y)解 |
| 图像解释 | 解对应坐标平面上直线（线性方程）与曲线（非线性方程）的交点 |
| 情境问题规则 | 即使解满足方程，也要舍去所有在问题情境下不可能成立的解（例如负长度、负时间） |

## 下一步

你可以通过下方的核心子主题开始本单元的学习，其中包含带分步注释的例题以及「一个线性方程+一个非线性方程」类联立方程的考试题型练习。掌握本单元内容后，你将进入下一个代数单元，学习线性与二次不等式。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u5-overview/