# 换元法构造二次方程

> CIE IGCSE 附加数学 · 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u4-substitution-to-form-a-quadratic/

本指南将教你使用代数换元法将隐式二次方程（对数、指数、幂指形式）转化为标准$ax^2+bx+c=0$形式求解，完全适配CIE IGCSE附加数学0606大纲4.3节要求。

**先修:** 通过因式分解、配方法或二次方程求根公式求解二次方程; 对数表达式的运算变形; 指数和幂指表达式的运算变形

## 学习目标

- 识别对数、指数和幂指形式的隐式二次方程
- 选择合适的换元将隐式二次方程转化为标准$ax^2+bx+c=0$形式
- 求解得到的二次方程，回代换元以得到原变量的有效解
- 验证解并舍去无效值（例如对数的负自变量）

## 识别隐藏二次方程与选择代换方法

隐藏二次方程指某一重复出现的表达式同时以平方项、一次项形式存在，外加一个常数项的方程。代换的目标是将该重复表达式替换为单个变量（通常为$y$或$u$），将原方程改写为标准二次方程$ay^2 + by + c = 0$的形式。要选择正确的代换方式，只需定位方程中平方项的底数即可。

**合适代换** — 原方程中构成平方项底数的重复表达式，将其替换为新变量后即可得到标准二次方程。

*例:* 对于$2(\ln 5x)^2 + \ln 5x - 6 = 0$，重复底数为$\ln 5x$，因此使用代换$y = \ln 5x$。

**例题:** 为方程$3(2^x)^2 + 2^x - 10 = 0$找出合适的代换方式

1. 步骤1：定位方程中的平方项
2. $$(2^x)^2$$
3. 步骤2：识别平方项的底数，也就是在方程其他位置重复出现的表达式
4. $$2^x$$
5. 步骤3：将该表达式赋值给一个新变量。合适的代换为：
6. $$y = 2^x$$

> **考试提示:** 如果题目已经给出指定代换，即便你认为其他代换更简便，也必须严格使用题目给出的代换，避免丢失步骤分。

## 对数方程的代换方法

对数型隐藏二次方程包含同时以平方项和一次项形式出现的对数表达式。完成代换后先求解二次方程，再回代代换变量求解$x$，注意$\ln k$仅在$k > 0$时有定义，因此需要舍去所有使对数的真数为负或零的解。

**例题:** 求解方程$2(\ln 5x)^2 + \ln 5x - 6 = 0$，结果按要求保留3位有效数字。

1. 步骤1：为重复出现的对数表达式选择代换
2. $$y = \ln 5x$$
3. 步骤2：代入原方程得到二次方程
4. $$2y^2 + y - 6 = 0$$
5. 步骤3：因式分解并求解二次方程
6. $$(2y - 3)(y + 2) = 0 \implies y = \frac{3}{2} \text{ or } y = -2$$
7. 步骤4：对每个解执行回代代换
8. 第一个解：$\ln 5x = 1.5 \implies 5x = e^{1.5} \implies x = \frac{e^{1.5}}{5} \approx 0.896$
9. 第二个解：$\ln 5x = -2 \implies 5x = e^{-2} \implies x = \frac{e^{-2}}{5} \approx 0.0271$
10. 步骤5：验证两个解都能使$\ln 5x$的真数为正，因此两个解均有效。

> **warning**
>
> 务必检查你得到的$x$解不会使对数的真数为负或零，这类值是无效解，如果写入最终答案会被扣分。

*计算器:* allowed

## 指数方程的代换方法

指数型隐藏二次方程通常包含$e^x$和$e^{-x}$项，或者同一底数的$x$次幂和$2x$次幂项。对于含有$e^{-x}$的方程，代换前先将所有项乘以$e^x$以消去负指数，由于对所有实数$x$都有$e^x > 0$，因此该操作不会改变等式的成立性。

**例题:** 求解方程$3e^x = 12 - 5e^{-x}$，结果保留2位小数。

1. 步骤1：将所有项乘以$e^x$以消去负指数
2. $$3e^{2x} = 12e^x - 5$$
3. 步骤2：整理为标准二次方程形式
4. $$3e^{2x} -12e^x +5 =0$$
5. 步骤3：代入代换$y = e^x$
6. $$3y^2 -12y +5 =0$$
7. 步骤4：使用二次方程求根公式$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求解，其中$a=3, b=-12, c=5$
8. $$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 60}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{84}}{6} \approx 3.5275 \text{ or } 0.4725$$
9. 步骤5：回代代换，由于$e^x > 0$，舍去负的$y$值（此处两个解均为正）
10. $$e^x = 3.5275 \implies x = \ln(3.5275) \approx 1.26$$
11. $$e^x = 0.4725 \implies x = \ln(0.4725) \approx -0.75$$

> **考试提示**
>
> 对于含有负指数幂的指数方程，代换前先将所有项乘以正指数幂，得到标准平方项。这是考试中的高频考点步骤。

*计算器:* allowed

## 指数幂方程的代换方法

指数幂方程使用整数底数的幂次项，例如$2^x$、$3^{2x}$等。记住$a^{2x} = (a^x)^2$，这就是你代换时要使用的平方项，即便它以其他底数形式写出也适用（例如$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$）。

**例题:** 求解方程$4^x - 6(2^x) + 8 = 0$

1. 步骤1：将$4^x$改写为以2为底的幂，得到相同底数
2. $$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$$
3. 步骤2：重写原方程
4. $$(2^x)^2 -6(2^x) +8 =0$$
5. 步骤3：代入代换$y=2^x$
6. $$y^2 -6y +8 =0$$
7. 步骤4：因式分解并求解二次方程
8. $$(y-2)(y-4)=0 \implies y=2 \text{ or } y=4$$
9. 步骤5：回代代换
10. $$2^x = 2 \implies x=1$$
11. $$2^x=4 \implies x=2$$

**概念自测**

1. 方程$9^x - 4(3^x) +3=0$的正确代换方式是什么？

   - $y=x$
   - $y=3^x$
   - $y=9^x$
   - $y=x^2$

   *解析:* 正确！$9^x=(3^x)^2$，因此令$y=3^x$即可得到二次方程$y^2 -4y +3=0$。

*计算器:* forbidden

## 根式与分数次幂方程的代换法

隐式二次方程也会出现在根式和分数次幂的场景中，例如 $\sqrt{x}$（即 $x^{1/2}$）或 $x^{1/3}$。核心思路是高次项恰好是低次项的平方：$x = (\sqrt{x})^2$，且 $x^{2/3} = (x^{1/3})^2$，因此我们可以对低次项做代换。**定义域校验至关重要：** $\sqrt{x}$ 仅在 $x \geq 0$ 时有定义，且结果本身恒不为负，因此代换后得到的 $y = \sqrt{x}$ 的任何负值都必须舍去。与之相对，立方根 $x^{1/3}$ 对所有实数 $x$ 都有定义，且结果可以为负，因此 $y = x^{1/3}$ 的负值是合法的，可以保留。

**根式/分数次幂代换法** — 对于形如 $ax + b\sqrt{x} + c = 0$ 的方程，使用代换 $y = \sqrt{x}$（要求 $y \geq 0$）；对于形如 $ax^{2/3} + bx^{1/3} + c = 0$ 的方程，使用代换 $y = x^{1/3}$（$y$ 可以是任意实数）。

*例:* 方程 $2x - 11\sqrt{x} + 12 = 0$ 代入 $y = \sqrt{x}$ 后可转化为 $2y^2 - 11y + 12 = 0$。

**例题:** 求解方程 $2x - 11\sqrt{x} + 12 = 0$。

1. 步骤1：代入代换 $y = \sqrt{x}$，因此 $x = y^2$，同时需满足约束条件 $y \geq 0$。

   $$2y^2 - 11y + 12 = 0$$
2. 步骤2：对二次式做因式分解并求解。

   $$(2y - 3)(y - 4) = 0 \implies y = \frac{3}{2} \text{ or } y = 4$$
3. 步骤3：两个根都满足 $y \geq 0$，因此都不需要舍去。（如果得到的根为负，则必须舍去，因为 $\sqrt{x}$ 不可能为负。）
4. 步骤4：通过 $x = y^2$ 反向代换得到原变量的解。

   $$y = \frac{3}{2} \implies x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \\ y = 4 \implies x = 4^2 = 16$$
5. 步骤5：代入原方程校验。当 $x = \frac{9}{4}$ 时：$2 \cdot \frac{9}{4} - 11 \cdot \frac{3}{2} + 12 = \frac{9}{2} - \frac{33}{2} + 12 = -12 + 12 = 0$。当 $x = 16$ 时：$2(16) - 11(4) + 12 = 32 - 44 + 12 = 0$。两个解都合法，因此最终解为 $x = \frac{9}{4}$ 或 $x = 16$。

**例题:** 求解方程 $x^{2/3} - 5x^{1/3} + 6 = 0$。

1. 步骤1：注意到 $x^{2/3} = (x^{1/3})^2$，因此代入代换 $y = x^{1/3}$。

   $$y^2 - 5y + 6 = 0$$
2. 步骤2：对二次式做因式分解并求解。

   $$(y - 2)(y - 3) = 0 \implies y = 2 \text{ or } y = 3$$
3. 步骤3：$y = x^{1/3}$ 是立方根，对所有实数 $x$ 都有定义，且结果可以为负，因此不需要基于定义域舍去任何根（本例中两个根恰好都为正）。
4. 步骤4：通过三次方运算反向代换，因为 $x = y^3$。

   $$y = 2 \implies x = 2^3 = 8 \\ y = 3 \implies x = 3^3 = 27$$
5. 步骤5：代入原方程校验。当 $x = 8$ 时：$8^{2/3} - 5 \cdot 8^{1/3} + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$。当 $x = 27$ 时：$27^{2/3} - 5 \cdot 27^{1/3} + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$。两个解都合法，因此最终解为 $x = 8$ 或 $x = 27$。

> **warning**
>
> 不要将 $\sqrt{x}$ 和 $x^{1/3}$ 的处理方式混为一谈。由于 $\sqrt{x} \geq 0$，代换后得到的 $y = \sqrt{x}$ 为负值时不存在对应解，必须舍去。但立方根的结果可以为负，因此 $y = x^{1/3}$ 的负值是合法的，会对应得到一个负的 $x$ 值。

> **考试提示:** 将代换变量设为幂次更低的项，这样更高次的项就会成为它的平方：对于 $\sqrt{x}$ 设 $y = \sqrt{x}$（此时 $x = y^2$）；对于 $x^{1/3}$ 设 $y = x^{1/3}$（此时 $x^{2/3} = y^2$）。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 求解完二次方程后忘记回代换元，直接将$y$的值作为最终答案。
  - 原因: 题目要求得到的是原方程以$x$为变量的解，而非换元后的变量$y$的解。
  - 正确做法: 求解完二次方程后务必回代到原变量，解出$x$。
- **错误做法:** 保留了对数自变量为零或负数的无效解。
  - 原因: 对数仅对正自变量有定义，因此这些值不是合法实根。
  - 正确做法: 解出$x$后，将其代回原对数表达式验证自变量为正，舍去所有无效解。
- **错误做法:** 换元前没有消去指数方程中的负指数。
  - 原因: 这会导致构造出错误的二次方程，通常带有无法按标准二次方程求解的负幂次。
  - 正确做法: 换元前将所有项乘以对应指数项的正幂次形式，消去负指数。
- **错误做法:** 选择平方项本身作为换元变量（例如选$y = (\ln x)^2$而非$y = \ln x$）。
  - 原因: 这会得到关于$y$的一次方程而非二次方程，导致你无法正确求解。
  - 正确做法: 选择平方项的底数作为换元变量，而非平方项本身。
- **错误做法:** 舍去了取值小于1的正指数解。
  - 原因: $e^x$和$a>1$时的$a^x$恒为正，因此取值在0到1之间的解是合法的。
  - 正确做法: 对于指数/幂指方程，仅需舍去$y$为负的解，这类解不存在对应的实数$x$。

## 速查表

| 方程类型 | 换元方式 | 核心校验点 |
| --- | --- | --- |
| 对数型：$a(\ln f(x))^2 + b(\ln f(x)) + c =0$ | $y = \ln f(x)$ | 有效解需满足$f(x) > 0$ |
| 指数型：$a e^{2x} + b e^x + c =0$ | $y = e^x$ | 舍去$y < 0$的解 |
| 幂指型：$a k^{2x} + b k^x + c =0$ | $y = k^x$ | 当$k>0$时舍去$y < 0$的解 |
| 带负幂次的指数型：$a e^x + b + c e^{-x}=0$ | 先乘以$e^x$，再令$y=e^x$ | 无除零风险（$e^x$恒不为零） |
| 根式/分数次幂型：$ax + b\sqrt{x} + c =0$ 或 $ax^{2/3} + bx^{1/3} + c =0$ | 令$y=\sqrt{x}$（则$x=y^2$）或$y=x^{1/3}$（则$x=y^3$） | 对于$\sqrt{x}$舍去$y<0$的解；立方根对应的$y$可以为负 |

## 下一步

掌握换元法构造和求解隐式二次方程后，你就可以将该技巧应用到CIE IGCSE附加数学0606大纲中更复杂的方程类型中。该技巧经常与图像绘制（用于判断解的个数）、微积分（用于求解含隐式二次结构函数的驻点）等其他知识点结合考察。熟练掌握换元法也将帮助你学习后续单元的三角方程等更高阶知识点，这类内容同样使用该方法将三角表达式转化为二次方程求解。

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