# 绘制三次函数图像与求解三次不等式

> CIE IGCSE 附加数学 · 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u4-sketching-cubics-and-cubic-inequalities/

本指南将教你绘制因式分解型三次函数图像、绘制其绝对值图像，并使用草图求解三次不等式，完全符合CIE IGCSE附加数学0606的考试要求。

**先修:** 求解一次和二次不等式; 对一次表达式进行因式分解

## 学习目标

- 绘制以三个线性因式乘积形式给出的三次函数图像，正确标注所有x轴和y轴截距
- 绘制因式分解型三次函数的绝对值函数图像
- 通过分析对应三次函数图像的形状和截距求解三次不等式
- 识别三次函数位于x轴上方或下方的区域，得到不等式的解
- 绘制带有重根的三次函数图像，区分曲线与x轴相切和相交的位置
- 从三次函数绝对值的图像反推原三次函数的一个可能表达式
- 通过移项将右侧非零的三次不等式转化为与0比较的形式求解

## 绘制因式分解型三次函数图像

**因式分解型三次函数** — 其中$k$是首项系数（决定末端行为：$k$为正意味着右端向上、左端向下；$k$为负意味着右端向下、左端向上），$a,b,c$是函数的x轴截距（根）。

*记法:* $y = k(x-a)(x-b)(x-c)$

*例:* 对于$y = 2(x-1)(x+2)(x-3)$，x轴截距为(1, 0)、(-2, 0)、(3, 0)，y轴截距为12，即(0, 12)。

绘制因式分解型三次函数只需遵循3个简单步骤：1. 令每个一次因式等于0，求出所有x轴截距并在x轴上标出。2. 将$x=0$代入函数计算y轴截距，在y轴上标出该点。3. 利用首项系数$k$的符号，画出穿过所有截距的S形三次平滑曲线。

**例题:** 绘制三次函数$y = (x+1)(x-2)(x+3)$的图像，标注所有坐标轴截距。

1. 步骤1：求x轴截距：令每个因式等于0：$x+1=0 \implies x=-1$，$x-2=0 \implies x=2$，$x+3=0 \implies x=-3$。在x轴上标出(-3, 0)、(-1, 0)、(2, 0)。
2. 步骤2：计算y轴截距：代入$x=0$：$y = (0+1)(0-2)(0+3) = (1)(-2)(3) = -6$。在y轴上标出(0, -6)。
3. 步骤3：首项系数为1（正），因此曲线右端向上、左端向下。画出穿过全部4个截距的平滑S形曲线，符合上述末端行为。

> **考试提示:** 你不需要按比例绘制图像，只需确保截距标注正确，且形状与首项系数的符号匹配。本主题中阅卷人仅检查截距和形状是否正确。

## 绘制三次函数的绝对值图像

三次函数的绝对值$|f(x)|$会将原三次图像中所有位于x轴下方（即$f(x) < 0$）的部分沿x轴翻折，因此绝对值图像上所有点的y值都非负。

> **tip**
>
> 原三次函数的x轴截距与绝对值函数的x轴截距完全相同，因为$|0| = 0$，所以这些点在图像翻折时保持不变。

**例题:** 利用上一个例子中绘制的三次函数，绘制$y = |(x+1)(x-2)(x+3)|$的图像，标注所有截距。

1. 步骤1：从上个例子的原三次函数草图开始。该函数在$x < -3$和$-1 < x < 2$时位于x轴下方（例如$f(-4) = -18$和$f(0) = -6$都在轴下方，而$f(-2) = 4$在轴上方）。这两段区域，包括无界的左侧尾部，就是需要沿x轴向上翻折的部分。
2. 步骤2：将曲线所有位于x轴下方的部分沿x轴翻折，使这些区域现在位于x轴上方。
3. 步骤3：标注x轴截距(-3, 0)、(-1, 0)、(2, 0)，此时y轴截距为$|-6| = 6$，即(0,6)。曲线上所有点都满足$y \geq 0$。

## 通过图像法求解三次不等式

求解三次不等式时，首先将其整理为一侧为0的形式，然后绘制对应因式分解型三次函数的图像，在x轴上找出图像满足不等式的区域：$>0$对应x轴上方，$<0$对应x轴下方，$\geq$或$\leq$则包含截距。

**例题:** 利用之前绘制的三次函数图像求解不等式$(x+1)(x-2)(x+3) > 0$。

1. 步骤1：对应的三次函数为$y = (x+1)(x-2)(x+3)$，我们已经绘制过它的图像，x轴截距为x=-3、x=-1、x=2，首项系数为正。
2. 步骤2：我们需要找出$y > 0$的区域，也就是曲线位于x轴上方的部分。
3. 步骤3：观察图像：曲线在x=-3和x=-1之间位于x轴上方，且在$x > 2$时也位于x轴上方。因此解为$-3 < x < -1$或$x > 2$。

**考试命令词**

本主题常见的考试指令术语：

- **Sketch** — 画出图像的大致形状，清晰标注所有要求的点（截距），除非特别说明否则不需要按比例绘制。

- **Solve** — 找出满足给定不等式的所有x值，根据要求用不等式符号或集合符号写出你的解。

- **Label** — 在图像上对应点的旁边写出所有截距的坐标，不要遗漏标注。

## 带有重根的三次函数（与x轴相切）

并非所有三次函数都有三个不同的根。当某个因式是平方形式，例如$y = a(x + b)^2(x + c)$时，$x = -b$就是一个重根（二重根）。在二重根处曲线不会穿过x轴，而是向下接触到坐标轴后，在同侧折返，就像抛物线的顶点一样。在单根$x = -c$处，曲线会像往常一样直接穿过坐标轴。

> **tip**
>
> 快速规则：平方因式$(x + b)^2$对应在$x = -b$处相切（曲线在该点保持在坐标轴的同一侧），普通因式$(x + c)$对应在$x = -c$处相交（曲线穿过坐标轴改变侧）。

**重根（二重根）** — 由平方因式得到的根。因式$(x + b)^2$永远不为负，因此当x经过$x = -b$时，$y$的符号不会改变；因此曲线在$(-b, 0)$处与x轴相切而非穿过它。单因式$(x + c)$仍然会在$(-c, 0)$处产生普通的相交。

*记法:* $y = a(x + b)^2(x + c)$

*例:* $y = (x - 2)^2(x + 1)$在$(2, 0)$处与x轴相切，在$(-1, 0)$处穿过x轴。

**例题:** 绘制$y = (x - 2)^2(x + 1)$的图像，清晰展示曲线在何处与x轴相切、何处与x轴相交，并标注所有坐标轴截距。

1. 步骤1：读出根。平方因式$(x - 2)^2$给出x=2处的二重根，因此曲线在$(2, 0)$处与x轴相切。单因式$(x + 1)$给出x=-1处的单根，因此曲线在$(-1, 0)$处穿过x轴。
2. 步骤2：求y轴截距：代入$x = 0$：$y = (0 - 2)^2(0 + 1) = (4)(1) = 4$，因此y轴截距为$(0, 4)$。
3. 步骤3：首项系数为$+1$（正），因此曲线左端向下、右端向上。从左下角出发，曲线上升并在$(-1, 0)$处穿过坐标轴，上升到局部最大值后回落，刚好在$(2, 0)$处接触坐标轴，随后向右再次上升。检验根之间的点：$f(1) = (1 - 2)^2(1 + 1) = (1)(2) = 2 > 0$，确认曲线在$x = -1$和$x = 2$之间位于坐标轴上方。

> **考试提示:** 平方因式意味着曲线与x轴相切并折返；普通因式意味着曲线直接穿过x轴。请在你的草图中清晰展示这一区别。

## 从绝对值图像反推原三次函数

部分题目会给出$y = |f(x)|$的图像，其中$f(x)$是三次函数，要求你求出$f(x)$的一个可能表达式。你可以反向执行之前的步骤：读出x轴截距得到因式，根据每个截距处的图像形状判断根是单根还是重根，再利用y轴截距确定常数。

> **tip**
>
> 解读绝对值图像：图像与x轴相交处的尖角（尖点）意味着原三次函数在该处穿过坐标轴，因此是单根；平滑的圆角接触意味着原三次函数仅在该处相切，因此是重根（二重根）。

**例题:** 图像展示了$y = |f(x)|$，其中$f(x)$是三次函数。图像在$x = -2$、$x = 1$和$x = 3$处与x轴相交，且在每个交点处都形成尖角（尖点），图像经过点$(0, 12)$。求$f(x)$的一个可能表达式。

1. 步骤1：$|f(x)|$的x轴截距就是$f(x)$的根，因此$f$在$x = -2$、$x = 1$和$x = 3$处有根。每个截距处的尖点说明每个根都是单根（三次函数在该处穿过坐标轴），因此$f(x) = k(x + 2)(x - 1)(x - 3)$。
2. 步骤2：利用y轴截距。绝对值图像上的y轴截距为12，因此$|f(0)| = 12$。计算得$f(0) = k(2)(-1)(-3) = 6k$，因此$|6k| = 12$，即$|k| = 2$。
3. 步骤3：由于$|f(x)| = |-f(x)|$，$k = 2$和$k = -2$都会得到相同的绝对值图像。取最简单的形式，一个可能的表达式是$f(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 3)$。（选择$f(x) = -2(x + 2)(x - 1)(x - 3)$同样有效。）

> **考试提示:** 由于$|f(x)|$和$|-f(x)|$给出完全相同的图像，题目要求你给出一个可能的$f(x)$：除非额外信息确定了符号，否则通常给出最简单的形式（例如首项系数为正）即可。

## 右侧非零的三次不等式

到目前为止我们遇到的不等式都已经是三次函数与0比较的形式。当你遇到类似$f(x) \geq d$且$d \neq 0$的不等式时，不能直接使用$f$的根。首先将所有项移到一侧得到$g(x) = f(x) - d$，这样不等式就变为$g(x) \geq 0$（或对应符号）。随后对$g(x)$因式分解，像之前一样利用它的根分析这个新三次函数的符号。

> **tip**
>
> 常见错误是通过找$f(x) = 0$的点来解$f(x) \geq d$，这些点是错误的边界点。先移项得到$g(x) = f(x) - d$，$g$的根才是正确的边界。

**例题:** 求解$x^3 - 7x \leq -6$。

1. 步骤1：将所有项移到左侧，使一侧为0：$x^3 - 7x + 6 \leq 0$。令$g(x) = x^3 - 7x + 6$。
2. 步骤2：使用因式定理对$g(x)$因式分解。代入$x = 1$检验：$1 - 7 + 6 = 0$，因此$(x - 1)$是因式。做除法得到$g(x) = (x - 1)(x^2 + x - 6) = (x - 1)(x + 3)(x - 2)$，因此根为$x = -3$、$x = 1$和$x = 2$。
3. 步骤3：绘制$g(x)$的图像：三个单根在-3、1、2处，首项系数为正。曲线位于x轴上或下方（即$g(x) \leq 0$）的区域是$x \leq -3$和$1 \leq x \leq 2$。代入$x = 0$检验：$g(0) = 6 > 0$，确认该点不在解的范围内。
4. 步骤4：由于不等式是$\leq$，需要包含边界点。解为$x \leq -3$或$1 \leq x \leq 2$。

> **考试提示:** 解的边界点是$g(x) = f(x) - d$的根，而不是$f(x)$的根。在确定根之前一定要先移项与0比较。

## 常见错误

- **错误做法:** 假设所有三次函数的首项系数都为正，将负$k$对应的末端行为画反。
  - 原因: 负的首项系数会反转三次函数的末端形状，导致你识别出错误的不等式解区域。
  - 正确做法: 绘图前务必检查$k$的符号：正$k$=右端向上、左端向下；负$k$=右端向下、左端向上。
- **错误做法:** 绘制三次函数绝对值图像时忘记将y轴截距取绝对值。
  - 原因: 如果原y轴截距为负，绝对值的y轴截距是它的绝对值而非原值，会导致图像错误。
  - 正确做法: 绘制$|f(x)|$时计算原y轴截距的绝对值，或者将x轴下方的整段图像（包括负的y轴截距）一起翻折。
- **错误做法:** 在不等式解中错误地包含或排除截距（例如不等式是$\geq 0$却使用$<$）。
  - 原因: 带有$\geq$或$\leq$的不等式包含函数等于0的x轴截距，而$<$或$>$则排除它们，边界错误会导致失分。
  - 正确做法: 检查不等式符号：对于非严格不等式使用闭区间或$\leq$/$\geq$，对于严格不等式使用开区间或$<$/$>$。
- **错误做法:** 绘制三次函数草图时尝试计算拐点或反曲点。
  - 原因: 计算拐点超出了0606本主题的大纲范围，在这上面浪费时间会挤占考试中其他题目的作答时间。
  - 正确做法: 只需画出穿过截距、末端行为正确的大致S形三次曲线，不需要计算拐点。
- **错误做法:** 写出重叠或顺序错误的不等式解区域。
  - 原因: 三次不等式通常有两个独立的解区域，边界顺序混乱会得到无效的解。
  - 正确做法: 将根按升序排列在x轴上，然后检验根之间的每个区域，或者利用图像形状识别正确区域，将它们写为互不重叠的独立区间。
- **错误做法:** 在重根（平方因式）处将曲线画成穿过x轴而非仅相切。
  - 原因: 平方因式不会改变$y$的符号，因此曲线必须在该根处接触坐标轴并折返；画成交叉会得到错误的形状和错误的不等式区域。
  - 正确做法: 将平方因式$(x+b)^2$视为在$x=-b$处相切（曲线保持在坐标轴同侧），普通因式视为相交。
- **错误做法:** 不解不等式$f(x) \geq d$（$d \neq 0$）就直接使用$f(x)$的根求解。
  - 原因: 解的边界点是$f(x) = d$的点，也就是$g(x) = f(x) - d$的根，而不是$f(x) = 0$的点。
  - 正确做法: 移项得到$g(x) = f(x) - d$，将其与0比较，对$g$因式分解，利用$g$的根找出符号区域。

## 速查表

| 任务 | 步骤 | 关键提示 |
| --- | --- | --- |
| 绘制因式分解型三次函数 | 1. 标出x轴截距（令因式=0）2. 计算并标出y轴截距（x=0）3. 画出与$k$符号匹配的S形 | 不需要计算拐点 |
| 绘制三次函数的绝对值图像 | 1. 绘制原三次函数 2. 将x轴下方的所有部分沿x轴翻折 | x轴截距保持不变，所有y值都$\geq 0$ |
| 求解三次不等式 | 1. 整理为$f(x)$ [不等式] 0的形式 2. 绘制$f(x)$的图像 3. 识别满足不等式的区域 | 对于$\geq$/$\leq$包含截距，对于$>$/$<$排除截距 |
| 绘制带重根的三次函数 | 平方因式$(x+b)^2$ = 在$x=-b$处相切；普通因式 = 相交。标出y轴截距后画出形状 | 相切点处曲线保持在坐标轴的同一侧 |
| 从$\|f(x)\|$的图像求$f(x)$ | x轴截距给出根；尖点=单根，平滑相切=二重根；y轴截距确定$\|k\|$ | 答案只需是一个可能的$f(x)$：$\|f\| = \|-f\|$，因此$k$的符号不唯一 |
| 求解右侧非零的不等式$f(x)$ [不等式] $d$ | 整理为$g(x)=f(x)-d$ [不等式] 0，因式分解，利用$g$的根确定符号区域 | 边界是$g$的根，不是$f$的根 |

## 下一步

现在你已经掌握了绘制因式分解型三次函数和求解三次不等式的方法，可以继续学习CIE IGCSE附加数学0606大纲中更进阶的图像主题。接下来你将学习绘制其他多项式和有理函数，这些内容建立在你已经练习过的截距识别和形状分析技能之上。这些图像技能对于后续课程中求解涉及变化率的应用问题也至关重要，请确保你可以在不必要的计算之外快速绘制三次函数并识别不等式区域。练习本主题的历年真题，熟悉常见的考试表述和题型。

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