# 模方程与模不等式

> CIE IGCSE 附加数学 · 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u4-modulus-equations-and-inequalities/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学（0606）中线性模方程和模不等式的求解。你将学习代数法和图像法，以及如何识别和剔除增根。

**先修:** 求解线性方程和线性不等式; 绘制直线图像

## 学习目标

- 求解形如$|ax + b| = c$、$|ax + b| = g(x)$和$|ax^2 + bx + c| = d$的模方程
- 识别并剔除对模方程两边平方后产生的增根
- 绘制带有正确尖点的模函数图像，并利用图像求解方程和不等式
- 使用代数法和图像法求解$|ax + b|$型和$|ax^2 + bx + c|$型的模不等式

## 代数法求解绝对值方程

**绝对值方程** — 包含绝对值表达式的方程，例如 $|ax + b| = k$ 或 $|ax^2 + bx + c| = d$，其中右侧为非负常数或变量表达式。若右侧为负常数，则不存在实根。

*例:* $|3x - 4| = 8$ 或 $|x^2 - 5| = 4$

求解绝对值方程有两种可行的代数方法：根据绝对值内部表达式的符号分两种情况讨论，或将方程两边同时平方。若使用平方法，你**必须**将所有解代回原方程检验，剔除增根。

**例题:** 求解 |3x - 4| = 8

1. 方法1：分两种情况讨论

   $$3x - 4 = 8 \text{  (case 1: inner expression non-negative)}$$
2. $$3x = 12 \\ x = 4$$
3. $$-(3x - 4) = 8 \text{  (case 2: inner expression negative)}$$
4. $$-3x + 4 = 8 \\ -3x = 4 \\ x = -\frac{4}{3}$$
5. 将两个解代回原方程验证：两个解均成立，因此最终解为 $x = 4$ 和 $x = -\frac{4}{3}$

很多时候绝对值项无法单独位于等号一侧。当你遇到形如 $a|x + b| + c = d$ 的方程时，首先要分离绝对值项（将 $|x + b|$ 单独留在一侧），之后再分情况讨论。切勿在绝对值项还附着其他项的时候直接拆分。

**例题:** 求解 $2|x - 3| + 1 = 9$

1. 绝对值项未被单独分离，因此首先移项：两边同时减1，再除以2。

   $$2|x - 3| = 8 \\ |x - 3| = 4$$
2. 现在绝对值项等于一个非负常数，因此可以分两种情况讨论。

   $$x - 3 = 4 \quad \text{or} \quad x - 3 = -4$$
3. $$x = 7 \quad \text{or} \quad x = -1$$
4. 代回原方程检验：$2|7 - 3| + 1 = 2(4) + 1 = 9$，且 $2|{-1} - 3| + 1 = 2(4) + 1 = 9$。两个解均成立，因此 $x = 7$ 或 $x = -1$。

**例题:** 使用平方法求解 |x + 2| = 3x - 1

1. 将方程两边同时平方

   $$(x + 2)^2 = (3x - 1)^2$$
2. $$x^2 + 4x + 4 = 9x^2 - 6x + 1 \\ 8x^2 - 10x - 3 = 0$$
3. 求解该二次方程

   $$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{16} = \frac{10 \pm 14}{16}$$
4. $$x = 1.5 \text{  or  } x = -0.25$$
5. 将解代回原方程检验：$x=1.5$ 成立，$x=-0.25$ 代入后左侧=1.75，右侧=-1.75，不成立，因此舍去 $x=-0.25$。最终解为：$x=1.5$

> **考试提示:** 请始终标注你所使用的方法，以便阅卷人清晰看到你的解题过程。

## 绘制绝对值函数图像

函数 $y = |ax + b|$ 的图像为V形，在绝对值内部表达式等于零的位置存在一个尖点。由于绝对值的输出始终非负，图像上所有点都位于x轴上或x轴上方。

**绝对值图像的尖点** — 函数 $y=|ax + b|$ 的尖锐转折点，坐标为 $\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$

*例:* 函数 $y=|2x - 4|$ 的图像尖点位于 $(2, 0)$

**例题:** 绘制 $y = |2x + 1|$ 的图像，标注尖点和y轴截距

1. 求尖点：令 $2x + 1 = 0$，得 $x = -0.5$，尖点坐标为 $(-0.5, 0)$
2. 求y轴截距：代入 $x=0$，得 $y = |1| = 1$，因此y轴截距为 $(0, 1)$
3. 绘制两条直线：当 $x \geq -0.5$ 时，绘制 $y=2x+1$；当 $x < -0.5$ 时，绘制 $y = -2x -1$，构成开口向上的尖锐V形

> **tip**
>
> 方程 $|ax + b| = g(x)$ 的解就是图像上 $y=|ax + b|$ 和 $y=g(x)$ 交点的x坐标。

## 求解绝对值不等式

绝对值不等式可以通过代数分情况讨论求解，也可以通过绘制图像、识别满足不等式的区间来求解。两种方法在考试中均被认可，只要你的解题过程清晰即可。

**例题:** 求解 $|3x + 2| \leq 7$

1. 将绝对值不等式改写为有界的双向不等式

   $$-7 \leq 3x + 2 \leq 7$$
2. $$Subtract 2 from all parts: -9 \leq 3x \leq 5$$
3. $$Divide all parts by 3: -3 \leq x \leq \frac{5}{3}$$
4. 用图像验证：在 $x=-3$ 到 $x=\frac{5}{3}$ 区间内，$y=|3x+2|$ 位于 $y=7$ 下方，因此解是正确的。

> **tip**
>
> 对于 '>' 型绝对值不等式 $|f(x)| > g(x)$，任何使右侧为负的x值都自动是解，因为 $|f(x)| \geq 0$ 恒大于负数。仅当 $g(x) \geq 0$ 时你才需要分情况讨论求解。（该捷径不适用于'='、'<' 或 '$\leq$' 类问题，这类问题若右侧为负则代表无解。）

**例题:** 求解 $|x - 3| > 2x + 1$

1. 情况1：$x \geq 3$，因此 $|x-3| = x - 3$

   $$x - 3 > 2x + 1 \\ x < -4$$
2. 该区间内无解，因为 $x \geq 3$ 和 $x < -4$ 不可能同时成立
3. 情况2：$x < 3$，因此 $|x-3| = -(x - 3) = -x + 3$

   $$-x + 3 > 2x + 1 \\ 2 > 3x \\ x < \frac{2}{3}$$
4. 该区间满足 $x < 3$ 的前提，因此最终解为 $x < \frac{2}{3}$

> **考试提示:** 对于等号右侧带有变量的不等式，图像法通常更可靠，可以避免遗漏无效区间。

*计算器:* allowed

## 识别增根

当你对方程两边同时平方时会出现增根，因为平方会将负值转为正值，消除了绝对值带来的符号约束。如果你没有舍去这些无效解，将会被扣分。

**概念自测**

1. 你使用平方法求解 $|x + 1| = 2x - 3$，得到解 $x=4$ 和 $x=\frac{2}{3}$。哪个解是增根？

   *解析:* 将 $x=\frac{2}{3}$ 代回原方程：左侧=$|\frac{5}{3}| = \frac{5}{3}$，右侧=$2(\frac{2}{3}) - 3 = -\frac{5}{3}$。两个值不相等，因此 $x=\frac{2}{3}$ 是无效解。

## 二次函数的绝对值

绝对值也可以作用于二次函数。要绘制 $y = |ax^2 + bx + c|$ 的图像，先画出普通抛物线 $y = ax^2 + bx + c$，再将所有位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，最终整个图像都处于x轴上或x轴上方。求解对应的方程或不等式时，需要分别处理绝对值的两个分支。

**二次函数的绝对值** — 函数 $y = |ax^2 + bx + c|$ 的图像是将抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 所有位于x轴下方的部分向上翻折得到的，所有y值均为非负，二次函数的x轴截距（即原二次方程的根）保持不变。

*例:* 对于 $y = |x^2 - 5|$，抛物线 $y = x^2 - 5$ 的最低点为 $(0, -5)$，位于 $x = -\sqrt{5}$ 和 $x = \sqrt{5}$ 之间的部分被向上翻折，在 $x=0$ 处形成高度为5的中央峰值。

求解 $|ax^2 + bx + c| = d$（其中 $d \geq 0$）时，将其拆分为两个二次方程 $ax^2 + bx + c = d$ 和 $ax^2 + bx + c = -d$，分别求解后保留所有实根（其中一个分支可能不存在实根）。对于不等式，将 $|ax^2 + bx + c| \leq d$ 改写为双重不等式 $-d \leq ax^2 + bx + c \leq d$，将 $|ax^2 + bx + c| > d$ 改写为 $ax^2 + bx + c > d$ 或 $ax^2 + bx + c < -d$，再求解得到的二次不等式即可。

**例题:** 求解 $|x^2 - 5| = 4$

1. 等式右侧为 $4 \geq 0$，因此拆分为两种情况。

   $$x^2 - 5 = 4 \quad \text{or} \quad x^2 - 5 = -4$$
2. 第一种情况：

   $$x^2 - 5 = 4 \\ x^2 = 9 \\ x = \pm 3$$
3. 第二种情况：

   $$x^2 - 5 = -4 \\ x^2 = 1 \\ x = \pm 1$$
4. 两种情况均得到实根，因此四个解为 $x = -3, -1, 1, 3$。从图像上看，这些解对应直线 $y = 4$ 与 $y = |x^2 - 5|$ 的交点：两个交点位于外侧臂上，另外两个交点位于向上翻折的中央峰值区域（峰值高度为5）。

> **tip**
>
> 如果某一情况例如 $x^2 - 5 = -6$ 推导出 $x^2 = -1$，说明该情况无实根，直接舍去该分支即可。这种情况通常发生在d大于向上翻折得到的中央峰值高度时。

> **考试提示:** 将两种情况各自视为独立的二次方程，若某一情况无实根（出现需要开平方的负数）则直接舍去该情况。

## 两侧均含绝对值的不等式

考试中非常常见的一类题型是比较两个绝对值表达式，例如 $k|ax + b| \leq |cx + d|$（比如 $|5x + 4| \leq |2x - 3|$ 或 $2|x - 1| \leq |x + 4|$）。由于所有绝对值的结果都是非负的，不等式两侧均非负，因此可以**对两侧同时平方**，且不会改变不等号方向，直接将问题转化为普通的二次不等式。你也可以通过图像法求解：在同一坐标系中画出两个V形绝对值函数的图像，直接读出其中一个图像位于另一个图像下方的区间。

**双侧绝对值不等式** — 形如 $k|ax + b| \leq |cx + d|$（或使用 $\geq$ 符号）的不等式。由于 $k|ax + b| \geq 0$ 且 $|cx + d| \geq 0$，对两侧同时平方是合法操作，得到 $k^2(ax + b)^2 \leq (cx + d)^2$。

*例:* $2|x - 1| \leq |x + 4|$ 平方后得到 $4(x - 1)^2 \leq (x + 4)^2$。

**例题:** 分别使用(a)图像法和(b)代数法求解 $2|x - 1| \leq |x + 4|$。

1. (a) 图像法：在同一坐标系中绘制两个函数的图像。$y = 2|x - 1|$ 是顶点在 $(1, 0)$、斜率为 $\pm 2$ 的窄V形图；$y = |x + 4|$ 是顶点在 $(-4, 0)$、斜率为 $\pm 1$ 的宽V形图。
2. 令对应区间的直线段相等，求解图像交点。左侧交点（此时 $x < 1$，因此 $2|x-1| = 2(1 - x)$，且 $x > -4$，因此 $|x+4| = x + 4$）：

   $$2(1 - x) = x + 4 \\ 2 - 2x = x + 4 \\ -2 = 3x \\ x = -\frac{2}{3}$$
3. 右侧交点（此时 $x > 1$，因此 $2|x-1| = 2(x - 1)$，且 $x > -4$，因此 $|x+4| = x + 4$）：

   $$2(x - 1) = x + 4 \\ 2x - 2 = x + 4 \\ x = 6$$
4. 从草图可以看出，窄V形图 $y = 2|x - 1|$ 在两个交点之间的区域位于宽V形图 $y = |x + 4|$ 的下方或重合，因此解为 $-\frac{2}{3} \leq x \leq 6$。
5. (b) 代数法：两侧均非负，因此对两侧同时平方。

   $$(2|x - 1|)^2 \leq |x + 4|^2 \\ 4(x - 1)^2 \leq (x + 4)^2$$
6. $$4(x^2 - 2x + 1) \leq x^2 + 8x + 16 \\ 4x^2 - 8x + 4 \leq x^2 + 8x + 16$$
7. 将所有项移到同侧得到二次不等式，再进行因式分解。

   $$3x^2 - 16x - 12 \leq 0 \\ (3x + 2)(x - 6) \leq 0$$
8. 抛物线 $y = (3x + 2)(x - 6)$ 开口向上，在两个根 $x = -\frac{2}{3}$ 和 $x = 6$ 之间的区间内函数值 $\leq 0$，因此解为 $-\frac{2}{3} \leq x \leq 6$，与图像法得到的结果一致。
9. 代入区间内的值校验，取 $x = 0$：左侧 $= 2|{-1}| = 2$，右侧 $= |4| = 4$，$2 \leq 4$ 成立。代入区间外的值校验，取 $x = 7$：左侧 $= 2|6| = 12$，右侧 $= |11| = 11$，$12 \leq 11$ 不成立。最终确认解为 $-\frac{2}{3} \leq x \leq 6$。

**例题:** 分别使用(a)双情况法和(b)平方法求解 $|2x - 1| = |x + 4|$。

1. (a) 双情况法：当两侧均为绝对值时，去掉绝对值符号，先令左侧内部表达式等于右侧内部表达式，再令左侧内部表达式等于右侧内部表达式的相反数。

   $$2x - 1 = x + 4 \quad \text{or} \quad 2x - 1 = -(x + 4)$$
2. 求解第一个方程。

   $$2x - 1 = x + 4 \\ x = 5$$
3. 求解第二个方程。

   $$2x - 1 = -x - 4 \\ 3x = -3 \\ x = -1$$
4. (b) 平方法：两侧均非负，因此该方法安全且无需校验增根：$(2x - 1)^2 = (x + 4)^2$。

   $$4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 8x + 16 \\ 3x^2 - 12x - 15 = 0 \\ x^2 - 4x - 5 = 0 \\ (x - 5)(x + 1) = 0$$
5. 两种方法得到的结果一致，解为 $x = 5$ 和 $x = -1$。校验 $x = 5$：$|2(5) - 1| = 9 = |5 + 4|$。校验 $x = -1$：$|2(-1) - 1| = 3 = |-1 + 4|$，两个解均有效。

> **tip**
>
> 对应的方程 $|ax + b| = |cx + d|$ 也可以用相同方法求解：要么对两侧同时平方，要么写出 $ax + b = cx + d$ 或 $ax + b = -(cx + d)$。方程的解恰好是两个V形图像交点的x坐标，也就是不等式解区间的端点。例如 $2|x - 1| = |x + 4|$ 的解为 $x = -\frac{2}{3}$ 和 $x = 6$。

> **考试提示:** 当不等式两侧均为绝对值（或绝对值的正倍数）时，由于两侧均非负，直接平方是安全的，不会引入增根，也不需要像单侧含绝对值那样进行符号校验。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 假设当$c < 0$时$|ax + b| = c$仍然有解
  - 原因: 模函数的输出始终为非负值，因此如果右侧常数为负，方程不存在实数解。
  - 正确做法: 首先检查右侧常数是否非负；如果为负，直接说明不存在实数解。
- **错误做法:** 对模方程两边平方后不检验解
  - 原因: 平方操作移除了模的符号约束，因此可能产生不满足原方程的解。
  - 正确做法: 将平方后得到的所有解代回原方程，剔除所有不成立的解。
- **错误做法:** 将模函数图像的最小值处画为平滑曲线，而非尖锐尖点
  - 原因: 模函数图像在内部表达式取值为0的位置方向会突然改变，因此此处是尖角而非平滑曲线。
  - 正确做法: 首先标记尖点位置，再绘制两条在尖点处相交的直线，形成V形。
- **错误做法:** 求解模不等式时错误地反转不等号方向
  - 原因: $|ax + b| < c$对应一个有界区间，而$|ax + b| > c$对应两个独立的无界区间。
  - 正确做法: 对于$|f(x)| < c$，写出$-c < f(x) < c$；对于$|f(x)| > c$，写出$f(x) < -c$或$f(x) > c$。
- **错误做法:** 当模方程的右侧包含x项时，忘记检查右侧是否可能为负
  - 原因: 模的输出始终非负，因此任何使得右侧表达式为负的解都自动无效。
  - 正确做法: 要么使用带符号校验的双情况法求解，要么使用图像识别有效解的区域。

## 速查表

| 题型 | 方法 | 关键校验 |
| --- | --- | --- |
| $\|ax + b\| = c$ ($c \geq 0$ 常数) | 拆分为$ax+b=c$和$ax+b=-c$分别求解 | 当常数$c \geq 0$时无需额外校验 |
| $\|ax + b\| = g(x)$ (右侧含变量) | 两边平方后求解二次方程 | 将所有解代回原方程检验，剔除增根 |
| $\|ax + b\| < c$ ($c > 0$ 常数) | 改写为$-c < ax + b < c$后求解 | 乘除操作时保持不等号方向不变 |
| $\|ax + b\| > c$ ($c > 0$ 常数) | 改写为$ax+b < -c$或$ax+b > c$后求解 | 不要合并两个独立的解区间 |
| 绘制$y=\|ax + b\|$图像 | 在$x=-\frac{b}{a}$处标记尖点，绘制两条直线 | 确保尖点尖锐，最小值处无平滑曲线 |

## 下一步

在掌握模方程和模不等式之后，你可以将这些技能应用到CIE IGCSE附加数学0606的更复杂主题中，包括求解含模的方程组，以及分析模函数图像与二次或三次函数的交点。这些知识也将用于涉及距离计算的坐标几何问题，以及含绝对值函数的微积分主题。本知识点在第1卷（非计算器）和第2卷（计算器）中都经常考查，因此请同时练习代数法和图像法以尽可能拿到高分。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u4-modulus-equations-and-inequalities/