# 多项式的因式

> CIE IGCSE 附加数学 · CIE IGCSE 附加数学（0606）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u3-overview/
> 占比: 占试卷1和试卷2结构化试题的约5-7%

本单元介绍处理最高3次多项式的核心代数工具，让你能够高效分解表达式并求解高次方程，这是后续微积分和解析几何主题的基础技能。

**先修:** 展开与化简代数表达式; 求解线性方程与二次方程

## 学习目标

- 运用余数定理计算多项式除以线性因式所得的余数
- 使用因式定理识别最高3次多项式的线性因式
- 完全分解三次多项式，并使用代数方法求解三次方程

## 单元概览

多项式是形如$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0$的表达式，掌握其因式的相关处理技巧是整个教学大纲中求解复杂代数问题的核心能力。本单元直接基于你已有的二次式因式分解知识，将技能范围拓展到三次表达式。

本单元的所有内容都包含在一个子主题中，该主题结合了两个核心定理的教学、实用因式分解技巧和方程求解方法，并配有贴合考试要求的示例以巩固理解。

本单元唯一的子主题涵盖多项式因式的所有要求内容：
- [因式定理、余数定理与三次方程](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u3-factor-remainder-theorems-and-cubic/) — 学习余数定理与因式定理，分解三次多项式，并使用代数方法求解三次方程。

## 常见错误

- **错误做法:** 应用除数为$(x + a)$的余数定理时忘记改变符号
  - 原因: 余数是$f(-a)$而非$f(a)$，因此符号错误会导致余数计算结果错误
  - 正确做法: 除以$(x + a)$时始终代入$x = -a$，除以$(x - a)$时代入$x = a$
- **错误做法:** 找到三次多项式的一个因式后就停止分解，没有在可能的情况下将剩余的二次式继续分解
  - 原因: 考试题通常要求给出完全分解形式或者三次方程的所有根
  - 正确做法: 提取出一个线性因式后，如果得到的二次式存在实整数根，要将其完全分解
- **错误做法:** 将多项式除以非线性因式时尝试使用因式/余数定理
  - 原因: 这两个定理仅适用于形如$(ax + b)$的线性除数
  - 正确做法: 对于非线性除数，使用多项式长除法或待定系数法，因式/余数定理仅用于线性除数场景

## 速查表

| 名称 | 公式/规则 | 适用场景 |
| --- | --- | --- |
| 余数定理 | When $f(x)$ is divided by $(ax - b)$, remainder = $f\left(\frac{b}{a}\right)$ | 无需完整长除法即可求得多项式除法的余数 |
| 因式定理 | $(ax - b)$ is a factor of $f(x)$ if and only if $f\left(\frac{b}{a}\right) = 0$ | 识别最高3次多项式的线性因式 |
| 三次多项式因式分解 | $ax^3 + bx^2 + cx + d = (px + q)(rx^2 + sx + t)$ | 将三次式拆解为线性因式与二次因式的乘积 |
| 三次方程求解 | If $(ax - b)(cx^2 + dx + e) = 0$, roots are $x = \frac{b}{a}$ and roots of $cx^2 + dx + e = 0$ | 求出三次方程的所有实根或整数根 |

## 下一步

你现在可以开始学习本单元的唯一子主题，它涵盖了CIE IGCSE附加数学大纲中多项式因式的所有要求内容。掌握这部分内容将为你后续学习解析几何和微积分单元做好准备，在这些单元中多项式因式分解会被频繁用于求解各类问题。

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