因式定理、余数定理与三次方程

Q: 备考0606考试时，我必须使用多项式长除法来分解三次多项式吗？

不需要，如果你觉得观察法（系数匹配法）更快捷，可以使用该方法，但对于较复杂的三次多项式，长除法是可靠的备选方案。两种方法在考试中均被完全认可。

Q: 我可以对三次多项式分解得到的二次因式使用二次方程求根公式吗？

可以，如果该二次式无法分解为整数系数的一次因式，你可以使用二次求根公式或配方法求出剩余的实根，包括无理根。

CIE IGCSE 附加数学· 3.1, 3.2, 3.3· 25 分钟阅读

1. 余数定理★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

余数定理

对于任意多项式 $f (x)$ ， $f (x)$ 除以一次式 $(m x + c)$ 所得的余数等于 $f (- \frac{c}{m})$ 。当除式为 $(x - a)$ 时，余数可简化为 $f (a)$ 。

例:

对于 $f (x) = x^{3} + 2 x - 3$ ，除以 $(x - 1)$ 所得的余数为 $f (1) = 1 + 2 - 3 = 0$ 。

余数定理无需使用耗时的多项式长除法，即可快速求得多项式除法运算的余数。该知识点在允许使用计算器和不允许使用计算器的试卷中都频繁考查。

📐 例题

求 $f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 4$ 除以 $(2 x + 1)$ 所得的余数。

1
1. 令除式等于0，求代入值： $2 x + 1 = 0 ⟹ x = - \frac{1}{2}$
2
1. 将 $x = - \frac{1}{2}$ 代入 $f (x)$ ：
3
$f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 5\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 4$
4
1. 化简表达式：
5
$= 2\left(-\frac{1}{8}\right) - 5\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{1}{2} - 4 = -\frac{1}{4} - \frac{5}{4} - \frac{2}{4} - \frac{16}{4} = -6$
6
1. 余数为 $- 6$ 。

Exam tip:

务必反复检查代入值的符号：符号错误是余数定理相关题目中最常见的失分点。

2. 因式定理★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

因式定理

余数定理的特殊情况：若 $f (x)$ 除以 $(x - a)$ 的余数为0，则 $(x - a)$ 是 $f (x)$ 的一个因式。反之亦然：若 $(x - a)$ 是 $f (x)$ 的因式，则 $f (a) = 0$ 。

例:

对于 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ ， $f (2) = 0$ ，因此 $(x - 2)$ 是 $f (x)$ 的一个因式。

对于系数为整数的三次多项式，其所有可能的整数根均为常数项的因数，优先代入这些值测试，可快速找到一次因式。当首项系数 $a \neq = 1$ 时，根可能是分数而非整数：任何有理根都形如 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 是常数项的因数、 $q$ 是首项系数的因数，因此应按 $\frac{p}{q}$ 逐一试根（例如首项为 $36 x^{3}$ 的三次式可能有 $x = - \frac{1}{4}$ 这样的根，因为 $4$ 整除 $36$ ）。实际上，0606 的这类题目通常会直接给出一个因式（例如「已知 $(2 x + 1)$ 是因式」）或给定系数，因此拿到因式后可直接用它做多项式除法，无需自己试根。

📐 例题

证明 $(x + 3)$ 是 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6$ 的因式。

1
1. 令除式等于0，求代入值： $x + 3 = 0 ⟹ x = - 3$
2
1. 将 $x = - 3$ 代入 $f (x)$ ：
3
$f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 -11(-3) -6 = 2(-27) + 3(9) + 33 -6$
4
$= -54 + 27 + 33 - 6 = 0$
5
1. 由于 $f (- 3) = 0$ ，根据因式定理， $(x + 3)$ 是 $f (x)$ 的因式。

3. 三次多项式的因式分解★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

使用因式定理找到三次多项式的一个一次因式后，即可将三次多项式写为 $(一次因式) (二次因式)$ 的形式。你可以通过系数匹配法（观察法）或多项式长除法求出二次因式，之后若二次多项式可继续分解，则将其进一步分解。

📐 例题

将 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ 完全分解为一次因式的乘积。

1
1. 我们已经求得 $(x - 2)$ 是一个因式，因此可写为： $f (x) = (x - 2) (a x^{2} + b x + c)$
2
1. 展开右侧表达式，将各项系数与原三次多项式匹配：
3
$ax^3 + (b - 2a)x^2 + (c - 2b)x - 2c = x^3 - 3x^2 -4x +12$
4
1. 求解系数： $a = 1$ ， $b - 2 = - 3 ⟹ b = - 1$ ， $- 2 c = 12 ⟹ c = - 6$
5
1. 得到二次因式为 $x^{2} - x - 6$ ，可进一步分解为 $(x - 3) (x + 2)$
6
1. 三次多项式的完全分解结果为： $(x - 2) (x - 3) (x + 2)$

有时题目会要求你将多项式表示为 $(m x + c) q (x) + r$ 的形式，其中 $q (x)$ 是商式， $r$ 是余数，即使 $(m x + c)$ 不是该多项式的因式也需满足。这本质上是将多项式除法表示为恒等式：按常规步骤做除法，除法最后剩余的常数项即为余数 $r$ 。

📐 例题

将 $f (x) = 2 x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 11$ 表示为 $(2 x - 5) q (x) + r$ 的形式。

1
1. 将 $2 x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 11$ 除以 $(2 x - 5)$ 。第一项： $2 x^{3} \div 2 x = x^{2}$ ；随后 $x^{2} (2 x - 5) = 2 x^{3} - 5 x^{2}$ ，相减后余 $- 2 x^{2} + 11 x$ 。
2
1. 下一项： $- 2 x^{2} \div 2 x = - x$ ；随后 $- x (2 x - 5) = - 2 x^{2} + 5 x$ ，相减后余 $6 x - 11$ 。
3
1. 最后一项： $6 x \div 2 x = 3$ ；随后 $3 (2 x - 5) = 6 x - 15$ ，相减后得到余数4。
4
1. 因此商式为 $q (x) = x^{2} - x + 3$ ，余数为 $r = 4$ ：
5
$2x^3 - 7x^2 + 11x - 11 = (2x - 5)(x^2 - x + 3) + 4$
6
1. 用余数定理验证： $f (\frac{5}{2})$ 应等于 $r$ ，计算可得 $f (\frac{5}{2}) = 4$ ，结果正确。

Exam tip:

若使用长除法，务必将三次多项式按x的降幂排列，缺失的幂次需补写系数0（例如将 $x^{3} + 2 x + 1$ 写为 $x^{3} + 0 x^{2} + 2 x + 1$ ），避免减法运算出错。

4. 求解三次方程★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

求解三次方程 $f (x) = 0$ 时，首先将 $f (x)$ 完全分解为一次因式的乘积，再令每个因式等于0，求出所有根。根可以是整数、有理数或无理数。

📐 例题

解方程 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 = 0$ 。

1
1. 测试常数项的整数因数： $f (2) = 16 + 12 - 22 - 6 = 0$ ，因此 $(x - 2)$ 是一个因式。
2
1. 将三次多项式除以 $(x - 2)$ ，得到二次因式 $2 x^{2} + 7 x + 3$
3
1. 分解二次多项式： $2 x^{2} + 7 x + 3 = (2 x + 1) (x + 3)$
4
1. 令每个一次因式等于0：
5
$x - 2 = 0 \implies x = 2; \quad 2x +1 =0 \implies x = -\frac{1}{2}; \quad x +3 =0 \implies x = -3$
6
1. 方程的全部解为 $x = - 3, x = - \frac{1}{2}, x = 2$

✓ 快速检测

在0606考试中，求解三次方程的第一步是什么？
- A. 直接使用二次公式
- B. 用因式定理找到一个一次因式
- C. 对三次多项式求导
- D. 直接猜出全部三个根
显示答案
B —
你首先需要通过测试常数项的整数因数找到一个一次因式，再对剩余的二次多项式做因式分解，求出其余的根。

5. 利用因式与余数求解未知系数★★★★☆⏱ 8 min

✓ 计算器

本知识点最常考的题型会给出一个含有两个未知常数的三次多项式 $p (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，同时附带两个条件。通常其中一个条件给出某个线性表达式是该多项式的因式，另一个条件给出多项式除以另一个线性表达式后的余数。每个条件对应一个方程，两个条件即可组成一组联立方程，解出两个未知量。得到完整的三次多项式后，你可以对其做因式分解，或求解 $p (x) = 0$ 。

求解前请先将每个条件转化为对应的方程。根据因式定理，' $(x - r)$ 是 $p (x)$ 的因式' 等价于 $p (r) = 0$ 。根据余数定理，' $p (x)$ 除以 $(x - r)$ 后余数为 $k$ ' 等价于 $p (r) = k$ 。对于形如 $(m x + c)$ 的除数，代入 $x = - \frac{c}{m}$ 计算即可。

📐 例题

已知三次多项式 $p (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x - 12$ 以 $(x - 1)$ 为因式，且除以 $(x + 2)$ 后余数为 6。求 $a$ 和 $b$ 的值，将 $p (x)$ 完全因式分解，并求解方程 $p (x) = 0$ 。

1
1. 因式条件：由于 $(x - 1)$ 是因式，由因式定理可得 $p (1) = 0$ 。
2
$p(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) - 12 = a + b - 10 = 0 \implies a + b = 10$
3
1. 余数条件：多项式除以 $(x + 2)$ 后余数为 6，由余数定理可得 $p (- 2) = 6$ 。
4
$p(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 12 = -16 + 4a - 2b - 12 = 4a - 2b - 28$
5
$4a - 2b - 28 = 6 \implies 4a - 2b = 34 \implies 2a - b = 17$
6
1. 求解联立方程。将 $a + b = 10$ 和 $2 a - b = 17$ 相加消去 $b$ ：
7
$3a = 27 \implies a = 9, \quad b = 10 - a = 1$
8
1. 因此 $p (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ 。已知 $(x - 1)$ 是它的一个因式，用多项式除法除以该因式即可得到二次因式：
9
$2x^3 + 9x^2 + x - 12 = (x - 1)(2x^2 + 11x + 12)$
10
1. 对二次式做因式分解： $2 x^{2} + 11 x + 12 = (2 x + 3) (x + 4)$ ，因此完整因式分解结果为：
11
$p(x) = (x - 1)(2x + 3)(x + 4)$
12
1. 令每个线性因式等于 0，求解 $p (x) = 0$ ：
13
$x - 1 = 0 \implies x = 1; \quad 2x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2}; \quad x + 4 = 0 \implies x = -4$
14
1. 验证根和给定余数： $p (1) = 2 + 9 + 1 - 12 = 0$ ， $p (- 4) = - 128 + 144 - 4 - 12 = 0$ ， $p (- 2) = - 16 + 36 - 2 - 12 = 6$ 。最终解为 $x = - 4, - \frac{3}{2}, 1$ 。

Exam tip:

题目指定的线性表达式已经是三次多项式的一个因式，求出系数后直接用多项式除法除以该因式即可，不需要额外试根找新的因式。

6. 三次多项式仅有一个实根的情况★★★★☆⏱ 6 min

✓ 计算器

并非所有三次多项式都能分解为三个线性因式。用因式定理分离出线性因式后，剩余的二次因式可能无法继续分解。利用该二次式的判别式 $b^{2} - 4 a c$ 即可判断三次多项式的实根数量：如果判别式为负，该二次式没有实根，因此三次多项式仅有一个实根；如果判别式为0，该二次式会给出一个重根。考试题经常要求你'证明该方程仅有一个实根'，上述就是评分标准期望的完整推导逻辑。

📐 例题

证明方程 $x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10 = 0$ 仅有一个实根。

1
1. 测试常数项 $- 10$ 的整数因子： $f (2) = 8 - 16 + 18 - 10 = 0$ ，因此 $(x - 2)$ 是该多项式的因式。
2
1. 做多项式除法得到二次因式：
$x^3 - 4x^2 + 9x - 10 = (x - 2)(x^2 - 2x + 5)$
3
1. 计算二次因式 $x^{2} - 2 x + 5$ 的判别式：
4
$b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$
5
1. 由于判别式为负， $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ 没有实根。三次多项式的唯一实根来自 $(x - 2) = 0$ ，因此 $x = 2$ 是唯一的实根。

Exam tip:

要判断三次多项式的实根数量，先分离出已知的线性因式，再直接计算剩余二次因式的判别式：判别式为负对应1个实根，判别式为0对应1个重根，判别式为正对应3个互不相同的实根。

7. 常见陷阱

错误做法:

对除式 $(x + a)$ 代入 $x = a$ ，而非正确的 $x = - a$

原因:

余数定理要求令除式等于0求解x，因此 $(x + a) = 0$ 的解是 $x = - a$ ，而非 $x = a$

正确做法:

代入 $f (x)$ 之前，务必先整理一次除式，求出对应的x值

错误做法:

长除法过程中，遗漏缺失幂次的0系数

原因:

遗漏项会导致减法步骤出错，最终得到错误的二次因式

正确做法:

做除法前，重写三次多项式，补全所有x的幂次项，例如将 $x^{3} + 2 x + 1$ 改写为 $x^{3} + 0 x^{2} + 2 x + 1$

错误做法:

因式分解仅做到 $(一次因式) (二次因式)$ 就停止，即使该二次式还可以继续分解

原因:

考试题通常要求完全分解形式或所有根，不完整的因式分解会导致失分

正确做法:

务必检查二次因式是否可以进一步分解为一次项，必要时使用二次求根公式求出非整数根

错误做法:

随机代入数值试根，而非优先代入常数项的整数因数

原因:

整系数三次多项式的整数根只能是常数项的整数因数，随机试根会浪费时间

正确做法:

优先代入 $\pm 1, \pm 2, \pm k$ （其中k是常数项的因数），快速找到一次因式

8. 速查表

概念	规则	考试应用场景
余数定理	$f (x) \div (m x + c)$ 的余数 = $f (- c / m)$	无需长除法即可求得余数
因式定理	若 $f (a) = 0$ ，则 $(x - a)$ 是 $f (x)$ 的因式	识别三次多项式的一次因式
三次多项式因式分解	三次式 = (一次因式)(二次式) → 全部分解为一次因式	得到因式分解形式以求解方程
三次方程求解	令每个一次因式等于0，求出根	求解三次方程的所有x值

9. 常见问题

备考0606考试时，我必须使用多项式长除法来分解三次多项式吗？

不需要，如果你觉得观察法（系数匹配法）更快捷，可以使用该方法，但对于较复杂的三次多项式，长除法是可靠的备选方案。两种方法在考试中均被完全认可。

我可以对三次多项式分解得到的二次因式使用二次方程求根公式吗？

可以，如果该二次式无法分解为整数系数的一次因式，你可以使用二次求根公式或配方法求出剩余的实根，包括无理根。

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下一步

在掌握因式定理、余数定理和三次方程相关内容后，你可以将这些基础代数技能应用到CIE 0606考纲中更进阶的主题。三次多项式因式分解广泛用于多项式图像绘制、多项式函数求导，以及涉及位移、速度和加速度的运动学问题求解。定期练习这些技能可以帮助你提升答题速度和准确率，因为几乎每一份0606试卷都会考查这些知识点。