# 二次函数

> CIE IGCSE 附加数学 · CIE IGCSE 附加数学 0606
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u2-overview/
> 占比: 该高频考点在试卷1和试卷2中均有出现

本单元在二次方程基础技能之上拓展，探究二次函数的核心性质，包括顶点取值、根的分类以及二次不等式求解，这些内容是代数和建模类考试题的核心考点。

**先修:** 基础二次因式分解与一次方程求解能力

## 学习目标

- 将二次表达式改写为配方式，以确定顶点坐标、最大值/最小值以及函数值域
- 使用判别式对二次方程的根进行分类，解决涉及等根、相异实根或无实根的问题
- 使用代数方法和图像解读法求解一次及二次不等式
- 应用二次函数性质解决现实建模类及考试题型问题

## 单元概览

本单元遵循逻辑顺序，将代数运算与二次函数的图像解读关联起来，这是贯穿后续所有教学大纲内容的核心通用技能。你将首先掌握配方法这一基础技巧，它能让你快速求出任意二次函数的最大或最小输出值，以及给定定义域下的完整值域。

之后你将学习判别式法则，无需完整求解二次方程即可判断其根的数量与类型，随后结合代数与图像知识求解二次不等式并给出合法的解区间。

请按顺序学习以下子主题，逐步掌握相关内容：
- [配方法、最值与值域](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u2-completing-the-square-max-min/) — 学习将二次表达式改写为配方式，以确定顶点坐标、最大值/最小值，并计算指定定义域下的函数值域。
- [判别式、根与二次不等式](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u2-discriminant-roots-and-quadratic-inequalities/) — 使用判别式对根的类型进行分类，求解涉及根的条件的相关问题，并通过代数与图像方法求解单侧和双侧二次不等式。

## 常见错误

- **错误做法:** 在二次不等式两边同时乘以/除以负数时忘记翻转不等号方向
  - 原因: 这会颠倒有效解的方向，导致答案范围错误，在考试中失分
  - 正确做法: 当你在不等式两边乘除负数时务必翻转不等号，也可以通过图像解读验证你的解范围
- **错误做法:** 将判别式错算为 $b^2 + 4ac$ 而非 $b^2 - 4ac$
  - 原因: 判别式的符号决定根的类型，该符号错误会完全改变你对根的分类结果
  - 正确做法: 牢记判别式公式为 $Δ = b^2 - 4ac$，在做减法前务必复核 $ac$ 项的符号
- **错误做法:** 默认 $ax^2 + bx + c$ 的顶点始终为最小值点
  - 原因: 系数 $a$ 的符号决定抛物线开口向上（顶点为最小值点）还是向下（顶点为最大值点）
  - 正确做法: 首先检查 $x^2$ 项的系数：正 $a$ 对应最小值顶点，负 $a$ 对应最大值顶点

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 子主题参考 |
| --- | --- | --- |
| 配方式 | $a(x + h)^2 + k$ | 配方法、最值与值域 |
| 顶点坐标 | $(-h, k)$ for $a(x+h)^2 +k$ | 配方法、最值与值域 |
| 判别式 | $Δ = b^2 - 4ac$ | 判别式、根与二次不等式 |
| 等根条件 | $Δ = 0$ | 判别式、根与二次不等式 |
| 相异实根条件 | $Δ > 0$ | 判别式、根与二次不等式 |
| 无实根条件 | $Δ < 0$ | 判别式、根与二次不等式 |

## 下一步

请从本单元第一个子主题配方法开始学习，你将在该部分学习如何整理二次表达式以快速找到其顶点和值域，这一技能在考试的简答题和大题中均高频考察。当你掌握完本二次函数单元的所有内容后，就可以进入下一个单元多项式因式的学习，该单元内容直接基于你在此处练习的代数运算技能展开。

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