# 判别式、根与二次不等式

> CIE IGCSE 附加数学 · 0606 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u2-discriminant-roots-and-quadratic-inequalities/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学0606的核心二次函数技能，包括判别式根分类、直线与曲线相交规则，以及使用正确解集符号求解二次不等式。

**先修:** 能够整理代数方程并求解线性不等式; 掌握二次因式分解和二次公式的相关知识

## 学习目标

- 使用判别式对二次方程的实根个数进行分类
- 将判别式条件应用于直线与二次曲线相交问题
- 使用因式分解或二次公式求解二次不等式
- 使用标准符号正确表示二次不等式的解集

## 1. 判别式与实根分类

**判别式** — 对于形式为$ax^2 + bx + c = 0$且$a \neq 0$的二次方程，判别式是用于确定方程实根数量的数值。

*记法:* \Delta = b^2 - 4ac

*例:* 对于$2x^2 + 5x + 2 = 0$，$\Delta = 5^2 - 4(2)(2) = 9$

判别式对应实根的三种可能情况（0606大纲不考察复根）：
- $\Delta > 0$：两个不同的实根
- $\Delta = 0$：一个重（相等）实根
- $\Delta < 0$：没有实根

**例题:** 求使二次方程$3x^2 + kx + 12 = 0$有相等实根的$k$的取值。

1. 识别系数：$a = 3$, $b = k$, $c = 12$
2. 对于相等实根，判别式$\Delta = 0$
3. $$k^2 - 4(3)(12) = 0$$
4. $$k^2 - 144 = 0 \implies k = \pm 12$$

> **tip**
>
> 计算判别式前务必确认$a \neq 0$，因为该公式仅适用于二次方程。

## 2. 判别式应用：直线与曲线相交

分析直线与二次抛物线是否相交时，将直线方程代入曲线方程，得到单变量的二次方程。该结果方程的判别式可以告诉你交点的数量：
- $\Delta > 0$：两个不同的交点
- $\Delta = 0$：一个交点（直线与曲线相切）
- $\Delta < 0$：没有交点

**例题:** 求使直线$y = mx + 3$与曲线$y = 2x^2 + 5x + 4$相切的$m$的值。

1. 令两个$y$的表达式相等：
2. $$mx + 3 = 2x^2 + 5x + 4$$
3. 整理为标准二次形式：
4. $$2x^2 + (5 - m)x + 1 = 0$$
5. 相切条件要求$\Delta = 0$：
6. $$(5 - m)^2 - 4(2)(1) = 0$$
7. $$m^2 - 10m + 17 = 0$$
8. 使用二次公式求解：
9. $$m = 5 \pm 2\sqrt{2}$$

> **考试提示:** 这是分值为3-4分的高频考题：务必遵循代入→整理→应用判别式规则的步骤。

## 3. 求解二次不等式

二次不等式的形式为$ax^2 + bx + c > 0$、$ax^2 + bx + c < 0$、$ax^2 + bx + c \geq 0$或$ax^2 + bx + c \leq 0$。求解时遵循以下步骤：
1. 整理不等式，使所有项移到一侧，且$x^2$的系数为正。
2. 求解对应的二次方程，得到根。
3. 快速画出开口向上、穿过根的抛物线，识别满足不等式的区域。
4. 使用正确符号写出解集。

**例题:** 求解不等式$2x^2 - 5x - 3 < 0$。

1. 当前$x^2$的系数已经为正，无需改变符号。
2. 通过因式分解求解对应的二次方程：
3. $$(2x + 1)(x - 3) = 0 \implies \text{根为 } x = -0.5, x = 3$$
4. 画出开口向上、与x轴交于$-0.5$和$3$的抛物线。抛物线位于x轴下方（满足$<0$）的区域在两个根之间。
5. 解集：$-0.5 < x < 3$

> **warning**
>
> 如果不等式两边同时乘以或除以负数，必须反转不等号方向。求解前务必保证$x^2$的系数为正，避免符号错误。

## 4. 二次不等式解的正确表示法

对于$x^2$系数为正的二次不等式，有两类解集：
1. 对于$< 0$或$\leq 0$：解是两个根之间的单个区间，写作$a < x < b$。
2. 对于$> 0$或$\geq 0$：解是两个独立区间，写作$x < a$或$x > b$。
永远不要将$>0$不等式的两个区间写作$a > x > b$，这意味着$x$同时小于$a$且大于$b$，是不可能成立的。

**概念自测**

1. 不等式$(x - 2)(x + 4) > 0$的解集是什么？

   - $-4 < x < 2$
   - $x < -4$ 或 $x > 2$
   - $x < -2$ 或 $x > 4$

   *解析:* 首项系数为正且不等式为$>0$时，取值在根$x=-4$和$x=2$的外侧。

2. 不等式$x^2 - 6x + 9 \leq 0$的解集是什么？

   *解析:* 该二次式因式分解为$(x-3)^2 = 0$，在$x=3$处有重根，因此只有$x=3$满足不等式。

## 常见错误

- **错误做法:** 求解二次不等式前忘记将$x^2$的系数调整为正
  - 原因: 这会翻转抛物线的开口方向，导致选择错误的解集区域
  - 正确做法: 不等式两边同时乘以-1并反转不等号，在求根前保证$x^2$的系数为正
- **错误做法:** 将$>0$不等式的解集写作$a < x < b$
  - 原因: 这会错误选择根之间的区域，对于首项系数为正的二次式，该区域是二次式$<0$的区域
  - 正确做法: 首项系数为正且不等式为$>0$时，选择两个根外侧的区域，写作$x < a$或$x > b$
- **错误做法:** 对$a = 0$的非二次方程使用判别式
  - 原因: 判别式公式仅适用于形式为$ax^2 + bx + c = 0$且$a \neq 0$的方程
  - 正确做法: 应用判别式规则前先确认$x^2$的系数不为零
- **错误做法:** 求解直线与曲线相交问题时过早对判别式值取整
  - 原因: 这会导致根的取值错误，丢失精度分数
  - 正确做法: 除非题目另有要求，否则在最终步骤前都将数值保留为精确根式形式

## 速查表

| 概念 | 条件 | 结果 |
| --- | --- | --- |
| 二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式 | $\Delta > 0$ | 两个不同的实根 |
|  | $\Delta = 0$ | 一个重实根 |
|  | $\Delta < 0$ | 没有实根 |
| 直线与曲线相交 | $\Delta > 0$ | 两个交点 |
|  | $\Delta = 0$ | 直线与曲线相切 |
|  | $\Delta < 0$ | 没有交点 |
| 二次不等式（$a>0$） | $ax^2+bx+c < 0$ | 解在两根之间（$a < x < b$） |
|  | $ax^2+bx+c > 0$ | 解在两根之外（$x < a$ 或 $x > b$） |

## 下一步

掌握判别式分析和二次不等式后，你就可以将这些技能应用到CIE IGCSE附加数学0606更进阶的二次函数主题中。这些概念是后续单元的基础，包括二次函数图像绘制、最值问题以及使用二次运动方程的运动学应用。你还会在求解含一个线性方程和一个二次方程的联立方程时再次用到判别式规则，这类题是分值5-6分的高频考题。定期使用往年真题练习这些技能，提升解题速度，避免常见的符号错误，尤其是整理不等式和应用判别式条件时的错误。

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