# 配方法、最大值/最小值与值域

> CIE IGCSE 附加数学 · 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u2-completing-the-square-max-min/

本指南将教你通过配方法或求导法将二次函数改写为顶点式，求出最大值/最小值，并为CIE IGCSE附加数学0606考试题目正确写出值域。

**先修:** 二次表达式的展开与因式分解; 二次函数图像的基础知识

## 学习目标

- 使用配方法将 $ax^2+bx+c$ 改写为顶点式 $a(x+h)^2+k$
- 从顶点式中识别二次函数的顶点、最大值/最小值
- 计算全体实数x或给定定义域下二次函数的值域
- （可选，第14单元介绍）使用求导法交叉核验顶点坐标

## 二次表达式$ax^2 + bx + c$的配方法

**配方法** — 一种代数技巧，通过将二次项和一次项构造成完全平方式三项式，把二次函数重排为顶点形式。

*例:* 对于$2x^2 + 8x + 3$，我们先将二次项和一次项改写为$2(x^2 +4x) +3$，再对括号内的部分配方：$2[(x+2)^2 -4] +3 = 2(x+2)^2 -5$。

**例题:** 将$3x^2 - 12x + 7$改写为$a(x+h)^2 +k$的形式。

1. 从前两项中提取$x^2$的系数：

   $$3(x^2 -4x) +7$$
2. 对括号内的表达式配方：-4的一半是-2，平方为4，因此加4再减4：

   $$3[(x-2)^2 -4] +7$$
3. 展开括号并化简常数项：

   $$3(x-2)^2 -12 +7 = 3(x-2)^2 -5$$
4. 最终形式为$3(x-2)^2 - 5$。与$a(x+h)^2 + k$对比可得$h=-2$、$k=-5$，因此顶点坐标为$(-h,k) = (2, -5)$。

**例题:** 将$2x^2 + 5x + 3$表示为$a(x+h)^2 + k$的形式，给出$a$、$h$、$k$的精确（有理）数值。

1. 从前两项中提取系数2（常数项+3保留在括号外）：

   $$2\left(x^2 + \frac{5}{2}x\right) + 3$$
2. $\frac{5}{2}$的一半是$\frac{5}{4}$，平方后得到$\frac{25}{16}$，在括号内加上再减去该值：

   $$2\left[\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{16}\right] + 3$$
3. 将括号外的2乘到$-\frac{25}{16}$上（得到$-\frac{25}{8}$），再与$+3 = \frac{24}{8}$合并：

   $$2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{8} + 3 = 2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{1}{8}$$
4. 因此$a=2$，$h=\frac{5}{4}$，$k=-\frac{1}{8}$，顶点坐标为$\left(-\frac{5}{4},\, -\frac{1}{8}\right)$。这类题目中出现分数常数是正常情况，请保留精确分数形式，不要舍入为小数。

> **考试提示:** 请务必将顶点形式展开回标准形式，验证其与原二次式完全一致，尤其在不允许使用计算器的试卷中更要注意这一步。

## 通过顶点形式求二次函数的最大值/最小值

**二次函数的顶点** — 抛物线的顶点：若$a>0$，该点为最小值点；若$a<0$，该点为最大值点。当函数写为$a(x+h)^2 +k$形式时，顶点坐标为$(-h,k)$。

$k$的值就是函数的最小或最大输出值。当$a>0$时抛物线开口向上，因此$k$是最小值；当$a<0$时抛物线开口向下，因此$k$是最大值。（后续第14单元你将学习微分，它提供了另一种定位顶点的方法，但本单元你只需要掌握配方法即可。）

> **tip**
>
> 现阶段请优先使用配方法，该方法仅用到本单元的代数知识。后续学习的微分（第14单元）可作为快速独立验证的手段，但本部分不要求使用微分。

**例题:** 求函数$f(x) = -2x^2 + 8x - 3$的最大值。

1. 进行配方，从前两项中提取系数$-2$：

   $$f(x) = -2(x^2 - 4x) - 3$$
2. 对括号内的表达式配方：

   $$f(x) = -2\left[(x-2)^2 - 4\right] - 3 = -2(x-2)^2 + 8 - 3 = -2(x-2)^2 + 5$$
3. 由于$a=-2 < 0$，抛物线开口向下，因此最大值为$k=5$，对应$x=2$。
4. 可选验证方法（第14单元将学习的微分）：$f'(x) = -4x + 8 = 0$解得$x=2$，代入得$f(2) = -2(4) + 16 - 3 = 5$，得到相同的最大值。

## 确定二次函数的值域

二次函数的值域由其开口方向（$a$的符号）和顶点（$k$值）决定。当$x$取全体实数时，值域为$f(x) ≥ k$（若$a>0$）或$f(x) ≤k$（若$a<0$）。如果题目给出受限定义域，你还需要计算定义域端点处的函数输出值，才能得到完整的值域。

**例题:** 求定义域为$0 ≤x ≤5$时，函数$f(x) = x^2 -6x + 4$的值域。

1. 首先通过配方法将函数改写为顶点形式：

   $$f(x) = (x^2 -6x) +4 = (x-3)^2 -9 +4 = (x-3)^2 -5$$
2. $a=1>0$，因此顶点$(3, -5)$是最小值点，且$x=3$位于给定的定义域内。
3. 计算定义域端点$x=0$和$x=5$处的$f(x)$值：

   $$f(0) = 0 -0 +4 =4, f(5)=25 -30 +4 = -1$$
4. 该定义域内的最大输出值为$x=0$处的4，最小值为$x=3$处的-5，因此值域为$-5 ≤ f(x) ≤4$。

> **考试提示:** 请务必确认定义域是全体实数$x$还是受限区间，这会完全改变值域。请在题目中标注出定义域限制条件，避免遗漏。

## 利用顶点形式绘制函数草图

对于CIE 0606考试中要求你绘制二次函数图像的题目，你只需要标注三个关键要素：顶点（转折点）、y轴截距和所有x轴截距（根），不需要使用超出这些要点的高级曲线绘制技巧。

**例题:** 绘制$y = 2x^2 +4x -1$的函数图像，标注所有关键点。

1. 改写为顶点形式：

   $$y = 2(x^2 +2x) -1 = 2(x+1)^2 -2 -1 = 2(x+1)^2 -3$$
2. 顶点坐标为$(-1, -3)$，$a=2>0$，因此抛物线开口向上。
3. y轴截距在$x=0$处：$y=-1$，标注点$(0,-1)$。
4. y=0时得到x轴截距：解方程$2(x+1)^2 -3=0 → (x+1)^2= 3/2 → x = -1 ±√(1.5)$，将这些点标注在x轴上。
5. 绘制一条经过所有标注点的开口向上的平滑抛物线。

## 常见错误

- **错误做法:** 配方法时忘记将括号外提取的系数$a$乘到减去的常数项上。
  - 原因: 当你从前两项中提取公因子$a$后，括号内的所有调整项都会被$a$缩放，如果跳过这一步，得到的$k$值就会出错。
  - 正确做法: 在提取公因子的括号内完成配方后，先将外层系数$a$展开到完全平方项和减去的常数项上，再合并同类项。
- **错误做法:** 从 $a(x+h)^2 + k$ 读取顶点时忘记变号。
  - 原因: 在 $a(x+h)^2 + k$ 中顶点是 $(-h, k)$，因此顶点的$x$坐标是$-h$而不是$h$。将 $(x+2)^2$ 的顶点$x$坐标误读为+2而非-2会直接失分。
  - 正确做法: 写出配方后的形式后，将括号内的数字取反得到顶点的$x$坐标：$(x+2)^2 \Rightarrow$ 顶点$x=-2$；$(x-2)^2 \Rightarrow$ 顶点$x=+2$。
- **错误做法:** 当$a>0$时将$k$判定为最大值，或当$a<0$时将$k$判定为最小值。
  - 原因: 抛物线的开口方向决定了顶点是极大值还是极小值，而开口方向由$a$的符号控制。
  - 正确做法: 始终先检查$a$的符号：$a>0$ = 开口向上 = 顶点处取最小值；$a<0$ = 开口向下 = 顶点处取最大值。
- **错误做法:** 计算值域时忽略受限定义域，仅使用顶点值。
  - 原因: 如果顶点在给定定义域之外，最大值/最小值将出现在定义域的端点处。
  - 正确做法: 对于受限定义域，计算顶点（如果顶点落在定义域内）和两个端点处的函数值，取最小值和最大值作为值域的边界。
- **错误做法:** 用$x$而非$f(x)$或$y$来表示值域。
  - 原因: 值域指的是输出值而非输入值，使用$x$会导致符号错误。
  - 正确做法: 始终使用输出变量书写值域：例如 $f(x) ≥ 3$ 或 $y ≤ 7$，不要写成 $x ≥3$。

## 速查表

| 任务 | 方法 | 结果 |
| --- | --- | --- |
| 将 $ax^2+bx+c$ 改写为顶点式 | 1. 从前两项中提取公因子$a$ 2. 在括号内完成配方 3. 展开并化简 | $a(x+h)^2 + k$ |
| 求顶点坐标 | 直接从配方后的形式读取；求导法（$f'(x)=0$，第14单元）为可选核验方法 | $(-h, k)$ |
| 求最大值/最小值 | 检查$a$的符号：$a>0$ → $k$为最小值，$a<0$ → $k$为最大值 | $k$ |
| 全体实数$x$下的值域 | $a>0$: $f(x) ≥k$；$a<0$: $f(x) ≤k$ | 不等式或区间表示法 |
| 受限定义域下的值域 | 计算顶点（若在定义域内）和端点处的$f(x)$，取最小值/最大值 | 有界不等式 |

## 下一步

在掌握配方法、最大值/最小值和值域相关内容后，你可以将这些技能用于求解二次不等式问题，这类题型在CIE IGCSE附加数学0606试卷中经常和本知识点结合考察。你也可以利用顶点式的知识简化二次方程求解、分析二次函数应用题，例如涉及抛体运动或面积最大化的优化问题。请务必同时练习允许使用计算器和不允许使用计算器的题目，因为本知识点在考试的第1卷和第2卷中均有出现。

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