# 驻点、变化率与最优化

> CIE IGCSE 附加数学 · 0606 (2025-2027)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u14-stationary-points-rates-of-change/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学0606要求的所有求导应用内容：识别与分类驻点、求解关联变化率问题、小增量近似计算以及现实场景的最优化问题。

**先修:** 一阶与二阶导数的计算规则; 链式法则在复合函数求导中的应用

## 学习目标

- 求解多项式、指数函数与三角函数的驻点位置
- 使用一阶或二阶导数检验法将驻点分类为极大值点或极小值点
- 应用链式法则求解关联变化率问题
- 使用小增量公式进行近似计算
- 建立并求解实际场景下的最大值/最小值最优化问题

## 识别驻点

**驻点** — 曲线上梯度等于零的点，即 $\frac{dy}{dx} = 0$。

*例:* 抛物线 $y = x^2$ 的顶点是位于 $x=0$ 处的驻点。

要找到驻点，首先计算函数关于 $x$ 的一阶导数。令导数等于零，求解得到的方程得到 $x$ 的值。将该 $x$ 值代回**原函数**，即可得到对应点的 $y$ 坐标。

**例题:** 求函数 $y = 2x^2 - 8x + 3$ 的驻点。

1. 计算 $y$ 关于 $x$ 的一阶导数

   $$\frac{dy}{dx} = 4x - 8$$
2. 令导数等于零并求解 $x$

   $$4x - 8 = 0 \implies x = 2$$
3. 将 $x=2$ 代入原函数求 $y$

   $$y = 2(2)^2 - 8(2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5$$
4. 写出驻点的坐标

   $$(2, -5)$$

> **tip**
>
> 务必将求得的 $x$ 值代入原函数而非导数来计算驻点的 $y$ 坐标。导数在这些点上的取值恒为0，得到的结果是错误的。

## 驻点分类（极大值/极小值）

**二阶导数判别法** — 一种快速分类驻点的方法：若在该点处 $\frac{d^2y}{dx^2} < 0$，则该点为极大值点；若 $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$，则该点为极小值点。若 $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$，则改用一阶导数判别法。

*记法:* $\frac{d^2y}{dx^2}$ 是 $y$ 关于 $x$ 的二阶导数

一阶导数判别法是另一种分类方法：检查驻点紧邻左右两侧的 $\frac{dy}{dx}$ 符号。若符号从正变为负，则该点为极大值点；若符号从负变为正，则该点为极小值点。

**例题:** 对上一个例题中求得的函数 $y = 2x^2 - 8x + 3$ 的驻点进行分类。

1. 计算 $y$ 关于 $x$ 的二阶导数

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = 4$$
2. 在 $x=2$ 处计算二阶导数的取值

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = 4 > 0$$
3. 结论：该驻点为极小值点

## 相关变化率

相关变化率使用链式法则将一个物理量的变化率与另一个物理量的变化率关联起来，两个量满足已知的关系式（例如面积、体积公式）。通用形式为 $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}$，其中 $t$ 通常代表时间。

**例题:** 圆形涟漪的半径 $r$ 以恒定速率 2 cm/s 增大。求当 $r = 5$ cm 时，涟漪的面积 $A$ 的增大速率。

1. 写出圆的面积公式

   $$A = \pi r^2$$
2. 将 $A$ 对 $r$ 求导

   $$\frac{dA}{dr} = 2\pi r$$
3. 已知 $\frac{dr}{dt} = 2$ cm/s，应用链式法则求 $\frac{dA}{dt}$

   $$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt} = 2\pi r \times 2 = 4\pi r$$
4. 代入 $r = 5$ cm 并补充单位

   $$\frac{dA}{dt} = 20\pi \text{ cm}^2/\text{s}$$

> **exam_tip**
>
> 变化率类题目的答案中，正确的单位会获得明确的得分点，因此请务必在最终结果中写明单位。

*计算器:* allowed

## 小增量近似

当 $x$ 的变化量 $\delta x$ 非常小时，对应的 $y$ 的变化量 $\delta y$ 可以用公式 $\delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \delta x$ 近似计算。该方法成立的原因是，在极小的区间内，曲线的梯度近似为常数。

**例题:** 使用小增量公式近似计算当 $x$ 从 2 增大到 2.01 时，$y = x^3$ 的变化量。

1. 计算 $y$ 关于 $x$ 的一阶导数

   $$\frac{dy}{dx} = 3x^2$$
2. 在初始值 $x=2$ 处计算导数值

   $$\frac{dy}{dx} = 3(2)^2 = 12$$
3. 计算 $x$ 的小变化量

   $$\delta x = 2.01 - 2 = 0.01$$
4. 计算 $y$ 的近似变化量

   $$\delta y \approx 12 \times 0.01 = 0.12$$

## 实际优化问题

优化问题要求你在给定约束条件下，求解某个实际物理量（例如面积、体积、成本）的最大值或最小值。请遵循以下步骤：1）明确定义所有变量，2）写出待优化量的表达式，3）利用约束条件将表达式化简为单变量形式，4）求导并找出所有驻点，5）对驻点进行分类，6）使用合适的单位给出题目的最终答案。

**例题:** 一个矩形花园的三面用围栏围成，第四面依托房屋的墙体。若现有围栏总长度为 20 m，求花园的最大可能面积。

1. 定义变量：令 $x$ = 垂直于墙体的宽度，$y$ = 平行于墙体的长度。围栏约束条件：$2x + y = 20 \implies y = 20 - 2x$
2. 写出面积 $A$ 的表达式并化简为单变量形式

   $$A = xy = x(20 - 2x) = 20x - 2x^2$$
3. 将 $A$ 对 $x$ 求导并令导数等于零，求解驻点

   $$\frac{dA}{dx} = 20 - 4x = 0 \implies x = 5 \text{ m}$$
4. 使用二阶导数判别法对驻点进行分类

   $$\frac{d^2A}{dx^2} = -4 < 0 \implies \text{在 } x=5 \text{ 处取最大值}$$
5. 计算最大面积并补充单位

   $$A = 20(5) - 2(5)^2 = 50 \text{ m}^2$$

## 常见错误

- **错误做法:** 使用导数而非原函数来求解驻点的$y$坐标
  - 原因: 所有驻点处的导数值均为0，这样做会错误得到$y=0$的结果，而非实际的坐标值。
  - 正确做法: 始终将驻点的$x$值代入原函数，计算对应的$y$值。
- **错误做法:** 将$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$的驻点直接判定为拐点
  - 原因: 拐点相关内容已被明确排除在0606大纲之外，你仅需将点分类为极大值点或极小值点即可。
  - 正确做法: 使用一阶导数检验法检查驻点两侧$\frac{dy}{dx}$的符号变化，将其分类为极大值点或极小值点。
- **错误做法:** 在变化率或最优化问题的答案中遗漏单位
  - 原因: 考试中单位是明确的得分点，遗漏单位会丢失本可以轻松拿到的分数。
  - 正确做法: 检查所有已知量的单位，在最终答案中附上对应的正确单位。
- **错误做法:** 在关联变化率的链式法则中颠倒项的顺序
  - 原因: 顺序错误会导致最终计算出的变化率单位无效，数值结果也会出错。
  - 正确做法: 使用量纲分析验证最终变化率的单位是否正确（例如面积变化率的单位应为平方单位每时间单位）。
- **错误做法:** 在最优化问题中不对求得的驻点进行分类
  - 原因: 只有证明你找到的点是题目要求的最大值点或最小值点，而非任意驻点，才能拿到全部分数。
  - 正确做法: 在给出最终答案前，使用一阶或二阶导数检验法对求得的驻点进行分类。

## 速查表

| 概念 | 公式/方法 | 要点提示 |
| --- | --- | --- |
| 识别驻点 | 令$\frac{dy}{dx}=0$，求解$x$，代入原函数得到$y$ | 使用原函数计算$y$值 |
| 二阶导数检验法 | $\frac{d^2y}{dx^2}<0$为极大值点，$\frac{d^2y}{dx^2}>0$为极小值点 | 若$\frac{d^2y}{dx^2}=0$，请使用一阶导数检验法 |
| 关联变化率 | $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}$ | 最终答案必须附上单位 |
| 小增量近似 | $\delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \delta x$ | 仅对非常小的$\delta x$有效 |
| 最优化 | 定义变量→写出目标函数→求导→分类驻点 | 先将目标函数化简为单变量形式 |

## 下一步

在掌握驻点、变化率与最优化相关内容后，你就可以继续学习CIE IGCSE附加数学0606的后续微积分主题了。接下来你将学习积分基础，包括多项式、指数函数与三角函数的积分方法，以及应用积分求解曲线下与曲线间面积的技巧。这些内容在Paper 1（非计算器卷）和Paper 2（计算器卷）中均有大量考察。请多练习求导应用相关的历年真题，巩固所学内容，在考前排查所有知识漏洞。

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