# 乘积法则与商法则、切线和法线

> CIE IGCSE 附加数学 · 0606 (2025-2027)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u14-product-quotient-rules-tangents-and/

本教程将教你掌握CIE IGCSE附加数学0606要求的乘积与商求导法则，以及如何利用导数计算任意曲线在给定点处的切线和法线方程。

**先修:** 基础求导（幂法则、链式法则、标准函数的导数）; 直线方程（点斜式，y = mx + c）

## 学习目标

- 对两个可导函数的乘积应用乘积法则进行求导
- 对两个可导函数的商应用商法则进行求导
- 结合乘积法则、商法则与链式法则对复杂函数求导
- 计算曲线在某点处的梯度，求解该点的切线方程
- 利用负倒数梯度求解曲线在某点处的法线方程

## 乘积法则

**乘积法则** — 导数由公式$\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$给出，也可写为$f'(x) = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$

*记法:* 如果$y = u \times v$，其中$u$和$v$都是关于$x$的函数

*例:* 对于$y = x^2 \sin x$，取$u=x^2$，$v=\sin x$，可得$\frac{dy}{dx} = x^2 \cos x + 2x \sin x$

当你遇到两个独立函数相乘的形式时就可以使用乘积法则。将两个函数清晰标记为$u$和$v$，避免代入公式时混淆项，如果$u$和$v$是复合函数，要使用链式法则对它们分别求导。

**例题:** 对$y = (3x + 2)(e^x - 4)$关于x求导。

1. 将两个函数标记为$u$和$v$：

   $$u = 3x + 2, v = e^x - 4$$
2. 分别计算$u$和$v$的导数：

   $$\frac{du}{dx} = 3, \frac{dv}{dx} = e^x$$
3. 代入乘积法则公式：

   $$\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} = (3x + 2)e^x + (e^x - 4)(3)$$
4. 化简表达式：

   $$\frac{dy}{dx} = 3x e^x + 2e^x + 3e^x - 12 = e^x(3x + 5) - 12$$

> **考试提示:** 尽可能化简最终的导数结果，0606考试中经常为完全化简的答案设置得分点。

## 商法则

**商法则** — 导数由公式$\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$给出

*记法:* 如果$y = \frac{u}{v}$，其中$u$和$v$都是关于$x$的函数，且$v \neq 0$

*例:* 对于$y = \frac{2x +1}{x^2}$，取$u=2x+1$，$v=x^2$，化简后可得$\frac{dy}{dx} = \frac{-2(x+1)}{x^3}$。

> **warning**
>
> 分子中项的顺序至关重要：永远先写$v \frac{du}{dx}$，再减去$u \frac{dv}{dx}$。颠倒顺序会让整个导数的符号翻转，得到错误结果。

**例题:** 求函数$f(x) = \frac{\ln x}{5x - 3}$在$x=1$处导数的精确值。

1. 将分子标记为$u$，分母标记为$v$：

   $$u = \ln x, v = 5x - 3$$
2. 计算$u$和$v$的导数：

   $$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}, \frac{dv}{dx} = 5$$
3. 代入商法则公式：

   $$f'(x) = \frac{(5x - 3)\left(\frac{1}{x}\right) - (\ln x)(5)}{(5x - 3)^2}$$
4. 代入$x=1$并化简：

   $$f'(1) = \frac{(2)(1) - 0}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

> **考试提示:** 当题目要求计算某点处的导数值时，你可以直接将x值代入未化简的导数公式来节省时间，前提是你清晰展示了代入步骤。

## 曲线的切线方程

曲线在点$P(x_1, y_1)$处的切线与曲线在$P$点处的梯度相等。要求解切线方程，首先通过求导计算曲线在$P$点的梯度，然后使用直线的点斜式：$y - y_1 = m_t(x - x_1)$，其中$m_t$是切线梯度。

**例题:** 求曲线$y = x^2 e^{2x}$在$x=0$处的切线方程，结果以$y = mx + c$的形式给出。

1. 求$x=0$处点的y坐标：

   $$y = 0^2 \times e^0 = 0 \implies P(0, 0)$$
2. 使用乘积法则对$y$求导：

   $$\frac{dy}{dx} = x^2(2e^{2x}) + e^{2x}(2x) = 2x e^{2x}(x + 1)$$
3. 计算$x=0$处的切线梯度：

   $$m_t = 2(0)e^0(0 + 1) = 0$$
4. 代入点斜式并化简：

   $$y - 0 = 0(x - 0) \implies y = 0$$

> **考试提示:** 在写切线方程时，务必反复确认你使用的是曲线在正确x值处的梯度，而不是通用的导函数。

## 曲线的法线方程

曲线在点$P$处的法线与该点的切线垂直，因此它的梯度是切线梯度的负倒数：$m_n = -\frac{1}{m_t}$，前提是$m_t \neq 0$。如果切线是水平线（$m_t=0$），法线就是形如$x = x_1$的竖直线；如果切线是竖直线，法线就是形如$y = y_1$的水平线。

**例题:** 求曲线$y = \frac{x^2 - 1}{x}$在$x=1$处的法线方程，结果以$ax + by + c = 0$的形式给出，其中$a,b,c$均为整数。

1. 求$x=1$处的y坐标：

   $$y = \frac{1 - 1}{1} = 0 \implies P(1, 0)$$
2. 使用商法则求导并化简：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{x(2x) - (x^2 - 1)(1)}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2}$$
3. 计算$x=1$处的切线梯度，再得到法线梯度：

   $$m_t = \frac{1 + 1}{1} = 2, m_n = -\frac{1}{2}$$
4. 代入点斜式并整理：

   $$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies x + 2y - 1 = 0$$

## 常见错误

- **错误做法:** 颠倒商法则分子中项的顺序（先写$u \frac{dv}{dx}$而不是$v \frac{du}{dx}$）
  - 原因: 这会完全翻转导数的符号，导致切线和法线的梯度值全部错误。
  - 正确做法: 永远先写分母乘以分子的导数，再减去分子乘以分母的导数。
- **错误做法:** 对乘积或商中的复合函数（例如$e^{3x}$、$\sin(2x)$）求导时忘记应用链式法则
  - 原因: 这会得到错误的导数，丢失方法分和结果分。
  - 正确做法: 在代入乘积或商法则公式之前，先使用链式法则将$u$和$v$完全求导。
- **错误做法:** 切线和法线使用相同的梯度
  - 原因: 法线与切线垂直，因此它的梯度是负倒数，和切线梯度不相等。
  - 正确做法: 算出$m_t$之后，立刻计算$m_n = -\frac{1}{m_t}$，再写法线方程。
- **错误做法:** 将通用导函数直接用作切线的梯度，而没有代入点的x坐标
  - 原因: 非线性曲线的梯度随x变化，因此通用导数不是常数。
  - 正确做法: 永远将点的x值代入导数，得到该点处的特定梯度。
- **错误做法:** 当你只需要某特定点处的导数值时，将导数完全化简
  - 原因: 这会浪费时间，还会引入不必要的计算错误。
  - 正确做法: 先将x值直接代入未化简的导数，再化简得到的数值表达式。

## 速查表

| 法则/概念 | 公式 | 关键说明 |
| --- | --- | --- |
| 乘积法则 | $\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ | 对于$y = u \times v$，清晰标记$u$和$v$ |
| 商法则 | $\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ | 分子项的顺序很重要，注意负号 |
| 切线梯度 | $m_t = \frac{dy}{dx}$ 在$(x_1, y_1)$处求值 | 等于曲线在该点处的梯度 |
| 法线梯度 | $m_n = -\frac{1}{m_t}$ | 与切线垂直；当$m_t = 0$时无定义 |
| 直线方程 | $y - y_1 = m(x - x_1)$ | 切线用$m_t$，法线用$m_n$ |

## 下一步

在掌握了乘积法则、商法则，并且能够求解切线和法线方程之后，你就可以继续学习CIE IGCSE附加数学0606中更进阶的微积分内容了。接下来你将学习如何使用导数求解曲线的驻点，将它们分类为极大值或极小值，这部分内容在Paper 1和Paper 2中都高频考查。你还会应用这些求导法则解决涉及变化率的实际问题，这类题目通常结合微积分、坐标几何和代数运算。本知识点是你后续学习A-Level数学中所有高阶求导内容的基础，因此请务必多做历年真题，建立解题信心。

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