# 微积分

> CIE IGCSE 附加数学 · CIE IGCSE 附加数学 (0606)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u14-overview/
> 占比: 占试卷1和试卷2总评估分值的20-25%

本单元介绍IGCSE附加数学的核心微积分概念，涵盖求导和积分技巧，以及它们在几何、优化和运动学中的实际应用。

**先修:** 代数运算; 函数

## 学习目标

- 使用标准求导法则计算多项式、三角函数、指数函数和对数函数的导数
- 应用求导解决涉及切线、法线、驻点和现实世界优化的问题
- 使用标准积分法则计算不定积分和定积分，掌握定积分是原函数在积分上下限之间取值的定义
- 使用积分计算曲线下方的面积以及相交曲线之间的面积
- 综合应用求导和积分解决直线运动学问题

## 单元概览

本单元遵循逻辑学习顺序：你将首先掌握求导法则及其实际应用，之后学习作为求导逆运算的积分，最后综合运用这两种微积分工具解决运动学问题。

你将把抽象的微积分概念与具体场景关联起来，包括计算曲线的切线方程、最大化容器容积、求解两条曲线围成的面积，以及计算运动物体经过的总路程。

请按照以下列出的顺序学习所有子主题：
- [求导——标准导数与链式法则](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u14-differentiation-standard-derivatives-and-the/) — 学习多项式、三角函数、指数函数与对数函数的标准导数公式，以及适用于复合函数的链式法则。
- [乘积法则与商法则、切线与法线](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u14-product-quotient-rules-tangents-and/) — 通过乘积法则和商法则拓展求导技能，使用导数求解曲线的切线和法线方程。
- [驻点、变化率与优化问题](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u14-stationary-points-rates-of-change/) — 识别极大值与极小值，求解相关变化率问题，并将求导应用于现实世界的优化场景。
- [积分——求导的逆运算与标准积分](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u14-integration-reverse-of-differentiation-and/) — 理解积分是求导的逆运算，学习标准积分公式，并计算带有积分常数的不定积分。
- [定积分与平面面积](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u14-definite-integrals-and-plane-areas/) — 按照$F(b) - F(a)$（即原函数在上下限处的取值之差）计算定积分，求解曲线下方以及两条相交曲线之间的面积。
- [运动学——直线运动](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u14-kinematics-motion-in-a-straight/) — 运用求导和积分解决直线运动物体的位移、速度和加速度相关问题。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算不定积分时忘记添加积分常数 $+c$
  - 原因: 不定积分代表相差一个常数的一族原函数，因此省略$c$会导致答案不完整
  - 正确做法: 除非给出边界条件用于求解$c$，否则在计算完任意不定积分后都要立刻添加$+c$
- **错误做法:** 混淆商法则分子中的项顺序，导致符号错误
  - 原因: 商法则的分子使用减法，颠倒项的顺序会翻转导数的符号
  - 正确做法: 牢记商法则的形式为 $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$，其中 $v\frac{du}{dx}$ 项放在最前面
- **错误做法:** 计算穿过x轴的曲线下方面积时，不拆分区间直接积分
  - 原因: 对于x轴下方的面积，积分结果为负值，因此直接积分会抵消正负面积
  - 正确做法: 在x截距处拆分积分，取每一段积分结果的绝对值，再将数值相加得到总面积

## 速查表

| 公式/法则 | 适用场景 | 子主题参考 |
| --- | --- | --- |
| $\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$ | 对多项式项求导 | 标准导数 |
| 链式法则: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}$ | 对复合函数求导 | 链式法则 |
| 乘积法则: $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ | 对两个函数的乘积求导 | 乘积与商法则 |
| $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, n\neq-1$ | 对多项式项积分 | 标准积分 |
| $\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$ where $F'(x)=f(x)$ | 计算定积分 | 定积分与平面面积 |
| $v=\frac{ds}{dt}$, $a=\frac{dv}{dt}$, $s=\int v dt$ | 求解直线运动学问题 | 运动学 |

## 下一步

从标准导数和链式法则的第一个子主题开始你的微积分学习之旅，你将在此掌握本单元所有后续内容所需的基础求导技能。完成本微积分单元的所有子主题后，你就可以进入教学大纲的最后一个单元，进行全面备考和历年真题练习。

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