# 积分——微分的逆运算与标准积分

> CIE IGCSE 附加数学 · 0606 (2025-2027)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u14-integration-reverse-of-differentiation-and/

本指南讲解积分作为微分逆运算的相关概念，介绍积分常数，覆盖CIE IGCSE附加数学0606考纲要求的全部标准积分公式，并提供贴合考试的完整例题。

**先修:** x的幂函数、三角函数、指数函数与对数函数的求导方法; 代数与三角表达式的化简

## 学习目标

- 理解积分是微分的逆过程，掌握积分常数c的含义
- 对x的幂次进行积分，包括1/x和线性ax+b形式的1/(ax+b)
- 应用标准积分公式求解(ax+b)ⁿ、sin(ax+b)、cos(ax+b)、sec²(ax+b)和e^(ax+b)
- 求解符合0606考试要求的基础不定积分题目

## 积分作为微分的逆运算

积分是微分的逆运算：如果$F(x)$的导数是$f(x)$，那么$f(x)$的积分就是$F(x) + c$，其中$c$是积分常数。这一关系是0606考纲下所有积分微积分内容的基础。

**不定积分** — 给定被积函数的全体原函数构成的集合，所有结果仅相差一个常数$c$

*例:* 如果$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$，那么$\int 2x \, dx = x^2 + c$

**例题:** 已知$\frac{d}{dx}(3x^4 - 2x + 5) = 12x^3 - 2$，求$\int (12x^3 - 2) \, dx$。

1. 认识到积分是微分的逆运算，因此积分结果就是原函数加上积分常数。
2. 写出最终结果，将所有任意常数合并为单个$c$：
3. $$\int (12x^3 - 2) dx = 3x^4 - 2x + c$$

> **考试提示:** 所有不定积分的答案都必须加上积分常数$c$：在几乎所有0606积分题中，这一步都占1分。

*计算器:* forbidden

## x的幂函数与1/(ax+b)的积分

积分的核心幂法则为$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$，其中$n \neq -1$。当$n=-1$时使用对数法则：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c$。对于内层为线性项$ax+b$的函数，将法则扩展，除以$x$的系数$a$即可：

$$\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + c \quad (n \neq -1)$$

$$\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + c$$

**例题:** 求$\int \left(3x^2 + \frac{1}{2x - 5} + (4x + 1)^3\right) dx$。

1. 分别对每一项积分，之后将所有常数合并为单个$c$。
2. 使用幂法则积分$3x^2$：
3. $$\int 3x^2 dx = 3 \times \frac{x^3}{3} = x^3$$
4. 使用线性对数法则积分$\frac{1}{2x-5}$：
5. $$\int \frac{1}{2x-5} dx = \frac{1}{2} \ln|2x - 5|$$
6. 使用线性幂法则积分$(4x+1)^3$：
7. $$\int (4x+1)^3 dx = \frac{(4x+1)^4}{4 \times 4} = \frac{(4x+1)^4}{16}$$
8. 合并各项并添加$c$得到最终结果：
9. $$x^3 + \frac{1}{2}\ln|2x - 5| + \frac{(4x+1)^4}{16} + c$$

> **考试提示:** 在1/(ax+b)的积分结果中，绝对不要省略$\ln$函数内的绝对值符号：这是0606考试中失分的常见原因。

*计算器:* forbidden

## 指数函数$e^{ax+b}$的积分

由于$\frac{d}{dx}\left(e^{ax+b}\right) = ae^{ax+b}$，对微分过程逆推即可得到内层为线性项的指数函数的积分法则：

$$\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + c$$

**例题:** 计算$\int \left(2e^{3x+2} - e^{1-4x}\right) dx$。

1. 分别对每一个指数项积分，每次都除以指数中x的系数。
2. 积分$2e^{3x+2}$：
3. $$\int 2e^{3x+2} dx = 2 \times \frac{1}{3}e^{3x+2} = \frac{2}{3}e^{3x+2}$$
4. 积分$-e^{1-4x}$，注意x的系数为负数：
5. $$\int -e^{1-4x} dx = - \times \frac{1}{-4}e^{1-4x} = \frac{1}{4}e^{1-4x}$$
6. 合并各项并添加$c$：
7. $$\frac{2}{3}e^{3x+2} + \frac{1}{4}e^{1-4x} + c$$

*计算器:* allowed

## 内层为线性项的三角函数积分

内层为线性项$ax+b$的标准三角积分法则直接由微分法则逆推得到，注意符号的正确性，并且要除以$a$：

$$\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + c$$

$$\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + c$$

$$\int \sec^2(ax+b) dx = \frac{1}{a}\tan(ax+b) + c$$

**例题:** 求$\int \left(3\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 2\sec^2(1 - 4x)\right) dx$。

1. 分别对每一个三角项积分，应用上述法则。
2. 积分$3\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$：
3. $$\int 3\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) dx = 3 \times \frac{1}{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$
4. 积分$2\sec^2(1-4x)$，注意x的系数为负数：
5. $$\int 2\sec^2(1-4x) dx = 2 \times \frac{1}{-4}\tan(1-4x) = -\frac{1}{2}\tan(1-4x)$$
6. 合并各项并添加$c$得到最终结果：
7. $$\frac{3}{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\tan(1-4x) + c$$

> **考试提示:** 积分$\sin(ax+b)$或者a为负数的函数时，务必反复检查结果的符号：符号错误是本知识点最常见的失分原因。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 不定积分答案忘记添加积分常数$c$
  - 原因: 阅卷老师在几乎所有积分题中都会为$c$单独设置1分，省略它会白白丢失分数
  - 正确做法: 所有不定积分题的最终答案都要加上$c$
- **错误做法:** 对$n=-1$的情况误用幂法则，写出$\int 1/x dx = x^0/0 + c$
  - 原因: 幂法则仅适用于$n \neq -1$，除以零是无定义的
  - 正确做法: n=-1时使用对数法则：$\int 1/x dx = \ln|x| + c$，且$\int 1/(ax+b) dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + c$
- **错误做法:** 1/(ax+b)的积分结果中省略对数后的绝对值符号
  - 原因: 实数范围内负数没有对数，因此绝对值是必须的
  - 正确做法: 这类积分的$\ln$函数内始终要写$|ax+b|$
- **错误做法:** 积分内层为线性项$ax+b$的函数时，忘记除以x的系数$a$
  - 原因: 微分的链式法则会乘以$a$，因此积分时必须除以$a$才能逆推还原
  - 正确做法: 所有标准积分中，内层线性项的x的系数都要作为除数，例如$\int \sin(3x) dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + c$
- **错误做法:** $\sin(ax+b)$的积分符号错误，写出$\int \sin(ax+b) dx = \frac{1}{a}\cos(ax+b) + c$
  - 原因: $\cos(ax+b)$的导数是$-a\sin(ax+b)$，因此逆运算会引入负号
  - 正确做法: 使用法则$\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + c$

## 速查表

| 被积函数 | 积分结果 | 要点说明 |
| --- | --- | --- |
| $x^n$ ($n \neq -1$) | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ | 基础幂法则 |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln\|x\| + c$ | n=-1时的对数法则 |
| $(ax+b)^n$ ($n \neq -1$) | $\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + c$ | 内层为线性项的幂法则 |
| $\frac{1}{ax+b}$ | $\frac{1}{a}\ln\|ax+b\| + c$ | 内层为线性项的对数法则 |
| $e^{ax+b}$ | $\frac{1}{a}e^{ax+b} + c$ | 指数积分法则 |
| $\sin(ax+b)$ | $-\frac{1}{a}\cos(ax+b) + c$ | 正弦积分法则 |
| $\cos(ax+b)$ | $\frac{1}{a}\sin(ax+b) + c$ | 余弦积分法则 |
| $\sec^2(ax+b)$ | $\frac{1}{a}\tan(ax+b) + c$ | 正割平方积分法则 |

## 下一步

在掌握CIE IGCSE附加数学0606要求的全部标准积分法则后，你就可以进阶学习更深入的积分主题了。接下来你将学习如何计算定积分、使用积分求解曲线下的面积，以及求解基础一阶微分方程，这些内容在0606考试的卷1（非计算器）和卷2（计算器）中都占很高分值。练习标准积分的历年真题可以帮助你避免常见的符号错误，养成添加积分常数的习惯，确保在这个高频考点上拿到所有分数。

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