# 微分 — 标准导数与链式法则

> 附加数学 · CIE IGCSE 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u14-differentiation-standard-derivatives-and-the/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学0606（2025–2027大纲）要求的全部标准导数与链式法则内容，包括规范记号以及卷1、卷2通用的符合考试要求的解题步骤。

**先修:** 掌握复合函数、弧度制以及基础指数/对数函数的相关知识; 熟悉曲线在某一点处的斜率的概念

## 学习目标

- 牢记幂函数、三角函数、指数函数与对数函数的标准导数
- 应用链式法则对所有允许类型的复合函数求导
- 使用正确的微分记号，包括$f'(x)$、$\frac{dy}{dx}$以及二阶导数
- 完成符合考试风格的微分题目，涵盖可使用计算器和不可使用计算器的试卷

## 标准导数与记号

**一阶导数** — 给出原函数$f(x)$在任意合法点$x$处的斜率的函数。

*记法:* $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$

以下所有标准导数都必须熟记，它们不会出现在0606考试的公式手册中。所有三角函数的导数仅在角度以弧度为单位时成立。

| 函数 $f(x)$ | 导数 $f'(x)$ |
| --- | --- |
| $x^n$, $n$ 为有理数 | $n x^{n-1}$ |
| $\text{sin }x$ | $\text{cos }x$ |
| $\text{cos }x$ | $-\text{sin }x$ |
| $\text{tan }x$ | $\text{sec}^2 x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\text{ln }x$ | $\frac{1}{x}$ |

**例题:** 求$y = 4x^3 + 2\text{ln }x - 3\text{cos }x$的一阶导数

1. 使用标准导数表分别对每一项求导。
2. $$\frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \times 3x^{2} = 12x^2$$
3. $$\frac{d}{dx}(2\text{ln }x) = 2 \times \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$$
4. $$\frac{d}{dx}(-3\text{cos }x) = -3 \times (-\text{sin }x) = 3\text{sin }x$$
5. 合并所有项得到最终导数。
6. $$\frac{dy}{dx} = 12x^2 + \frac{2}{x} + 3\text{sin }x$$

> **考试提示:** 务必确认你在计算$\boldsymbol{\frac{d}{dx}(\text{cos }x) = -\text{sin }x}$的导数时没有遗漏负号——这是卷1中最常见的失分点之一。

*计算器:* forbidden

## 链式法则入门

**链式法则** — 用于对复合函数求导的法则，将外层函数的导数（保持内层函数不变）乘以内层函数的导数即可得到结果。

*记法:* $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$，其中$u = g(x)$是$y = f(g(x))$的内层函数

> **mnemonic**
>
> 先外后内：先对外层函数求导（内层函数保持不变）→ 再乘以内层函数的导数。

**例题:** 使用链式法则求$y = (2x + 5)^7$的$\frac{dy}{dx}$。

1. 区分内层与外层函数：令$u = 2x + 5$，因此$y = u^7$。
2. $$\frac{dy}{du} = 7u^6$$
3. $$\frac{du}{dx} = 2$$
4. 应用链式法则公式，再代回$u = 2x +5$。
5. $$\frac{dy}{dx} = 7u^6 \times 2 = 14(2x +5)^6$$

**概念自测**

1. $(3x - 1)^4$的导数是什么？

   - $4(3x -1)^3$
   - $12(3x -1)^3$
   - $12(3x -1)^4$
   - $3(3x -1)^3$

   *答案:* $12(3x -1)^3$

   *解析:* 正确：外层函数的导数是$4(3x-1)^3$，内层函数的导数是3，相乘得到$12(3x-1)^3$。

*计算器:* forbidden

## 复合标准函数的链式法则应用

将链式法则与所有标准导数（三角函数、指数函数、对数函数）结合，就可以对0606大纲允许的任意复合函数求导。

**例题:** 对$y = e^{\text{sin }x}$关于$x$求导。

1. 令内层函数$u = \text{sin }x$，因此$y = e^u$。
2. $$\frac{dy}{du} = e^u = e^{\text{sin }x}, \frac{du}{dx} = \text{cos }x$$
3. $$\frac{dy}{dx} = e^{\text{sin }x} \times \text{cos }x = \text{cos }x e^{\text{sin }x}$$

**例题:** 若$f(x) = \text{ln}(\text{tan }x)$且$0 < x < \frac{\pi}{2}$，求$f'(x)$。

1. 令内层函数$u = \text{tan }x$，因此$f(u) = \text{ln }u$。
2. $$f'(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\text{tan }x}, u' = \text{sec}^2 x$$
3. $$f'(x) = \frac{1}{\text{tan }x} \times \text{sec}^2 x = \frac{1}{\text{sin }x \text{ cos }x}$$

> **考试提示:** 除非题目明确要求，否则你不需要进一步化简三角函数的导数，不过化简可能有助于后续子问题的求解。

*计算器:* allowed

## 复合函数的二阶导数

**二阶导数** — 函数一阶导数的导数，用于判断驻点的性质以及计算斜率的变化率。

*记法:* $f''(x)$, $\frac{d^2y}{dx^2}$

**例题:** 求$y = \text{cos}(3x)$的$\frac{d^2y}{dx^2}$。

1. 首先使用链式法则计算一阶导数。
2. $$\frac{dy}{dx} = -\text{sin}(3x) \times 3 = -3\text{sin}(3x)$$
3. 再次对一阶导数求导得到二阶导数，第二次应用链式法则。
4. $$\frac{d^2y}{dx^2} = -3 \times \text{cos}(3x) \times 3 = -9\text{cos}(3x)$$

> **note**
>
> 二阶导数经常在后续问题中用于区分极大值点和极小值点，相关内容会在微分的应用单元中讲解。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对$\text{cos }x$求导时遗漏负号
  - 原因: $\text{cos }x$的导数是$-\text{sin }x$而非$\text{sin }x$，遗漏负号每出现一次就会扣1分。
  - 正确做法: 明确熟记三角函数导数的对应关系：$\text{sin }x \to +\text{cos }x$, $\text{cos }x \to -\text{sin }x$, $\text{tan }x \to +\text{sec}^2 x$。
- **错误做法:** 应用链式法则时忘记乘以内层函数的导数
  - 原因: 链式法则要求两个因子（外层导数 × 内层导数），遗漏内层导数会得到错误结果。
  - 正确做法: 使用「先外后内」的记忆口诀，确保你对每一个复合函数求导时都包含两个因子。
- **错误做法:** 三角函数求导时使用角度制而非弧度制
  - 原因: 标准三角函数导数仅在角度以弧度为单位时成立，弧度制是所有0606微积分题目的默认要求。
  - 正确做法: 对三角函数求导前，务必将所有以角度为单位的角度值转换为弧度。
- **错误做法:** 将$\text{ln }x$的导数错写为$\text{ln}(\frac{1}{x})$或$x$，而非$\frac{1}{x}$
  - 原因: $\text{ln }x$的导数是倒数函数，不是对数函数或线性函数。
  - 正确做法: 将$\text{ln }x \to \frac{1}{x}$这组关系加入你要熟记的标准导数列表，定期自测。
- **错误做法:** 在求导前先展开高次复合函数（例如$(2x+7)^9$）
  - 原因: 展开这类函数非常耗时，且容易出现计算错误，浪费宝贵的考试时间。
  - 正确做法: 无论指数多高，对幂型复合函数求导时都要使用链式法则。

## 速查表

| 规则/函数 | 导数结果 |
| --- | --- |
| $x^n$ (n 为有理数) | $n x^{n-1}$ |
| $\text{sin }x$ | $\text{cos }x$ |
| $\text{cos }x$ | $-\text{sin }x$ |
| $\text{tan }x$ | $\text{sec}^2 x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\text{ln }x$ | $\frac{1}{x}$ |
| 链式法则 ($y=f(g(x))$) | $f'(g(x)) \times g'(x)$ |
| 二阶导数 | 一阶导数的导数 |

## 下一步

在掌握标准导数与链式法则后，你就可以学习用于对函数乘积和分式求导的乘积法则与商法则，之后还将学习微分的应用，包括求驻点、变化率以及CIE IGCSE附加数学0606要求的优化问题。这些考点在卷1和卷2中都占很大比重，因此在考试前请多练习各类复合函数题目，提升解题速度和准确率。

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