# 定积分与平面面积

> CIE IGCSE 附加数学 · 0606 (2025-2027)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u14-definite-integrals-and-plane-areas/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学0606要求的定积分计算与平面面积求解内容。你将学习求解曲线下面积、直线与曲线之间的面积、两条曲线之间的面积，包括拆分后的复合面积。

**先修:** 多项式、三角函数、指数函数和对数函数的不定积分计算; 求解方程得到直线与曲线的交点坐标

## 学习目标

- 将定积分计算为原函数在上下限处的差值，即 $F(b) - F(a)$
- 计算曲线与x轴围成的面积，涵盖x轴上方和下方的区域
- 求解直线与曲线之间、以及两条非线性曲线之间的面积
- 将复合平面面积拆分为多个简单区域，正确计算总面积

## 计算定积分

要计算定积分，首先求出$f(x)$的一个原函数$F(x)$（积分是求导的逆运算），再代入上限的值减去代入下限的值。因此$f(x)$在区间$a$到$b$上的定积分等于$F(b) - F(a)$。

**定积分的计算** — 连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，等于$f(x)$的原函数分别在上限$b$和下限$a$处的取值之差。

*记法:* \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

**例题:** 计算$\int_1^3 (2x + 3x^2) dx$

1. 求出被积函数的原函数：
2. $$\int (2x + 3x^2) dx = x^2 + x^3$$
3. 将上限$x=3$代入原函数求值：
4. $$F(3) = 3^2 + 3^3 = 9 + 27 = 36$$
5. 将下限$x=1$代入原函数求值：
6. $$F(1) = 1^2 + 1^3 = 1 + 1 = 2$$
7. 用上限处的取值减去下限处的取值，得到最终结果：
8. $$F(3) - F(1) = 36 - 2 = 34$$

> **考试提示:** 计算定积分时务必省略积分常数$C$，因为它在运算过程中会抵消，若保留反而会导致错误。

*计算器:* allowed

## 曲线与X轴之间的面积

曲线$y=f(x)$与x轴在区间$[a,b]$上围成的面积，是x轴上方和下方各区域对应定积分的绝对值之和。如果曲线在$a$和$b$之间穿过x轴，必须在每个x截点处拆分积分，避免得到负的面积值。

> **warning**
>
> 积分结果为负仅表示该区域位于x轴下方，并不代表面积为负。对于x轴下方的区域，务必对积分结果取绝对值。

**例题:** 求$x=0$到$x=3$之间，$y = x^2 - 4$与x轴围成的总面积

1. 求出曲线在区间$[0,3]$内的x截点：
2. $$x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$$
3. 计算$x=0$到$x=2$之间位于x轴下方的区域面积，对积分结果取绝对值：
4. $$\left| \int_0^2 (x^2 -4) dx \right| = \left| \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_0^2 \right| = \left| \frac{8}{3} - 8 \right| = \frac{16}{3}$$
5. 计算$x=2$到$x=3$之间位于x轴上方的区域面积：
6. $$\int_2^3 (x^2 -4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_2^3 = (9 - 12) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = \frac{7}{3}$$
7. 将两个面积相加得到总面积：
8. $$\text{Total Area} = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \text{ units}^2$$

## 直线与曲线之间的面积

要求直线$y=g(x)$和曲线$y=f(x)$之间的面积，首先求出二者的交点以确定积分上下限。如果在整个区间内$f(x) \geq g(x)$，则面积等于区间内上方函数减去下方函数的积分。

**例题:** 求曲线$y = x^2 + 1$与直线$y = x + 3$围成的面积

1. 求出两个函数的交点：
2. $$x^2 + 1 = x + 3 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x = -1, x = 2$$
3. 在$x=-1$和$x=2$之间取一个值测试，确定上方函数：当$x=0$时，直线$y=3 >$ 曲线$y=1$，因此上方函数是$y=x+3$，下方函数是$y=x^2+1$
4. 建立上方函数减下方函数的积分式：
5. $$\int_{-1}^2 \left[(x+3) - (x^2 + 1)\right] dx = \int_{-1}^2 (-x^2 + x + 2) dx$$
6. 计算该积分：
7. $$\left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^2 = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \frac{9}{2} \text{ units}^2$$

> **考试提示:** 快速绘制直线和曲线的草图，即可轻松判断在整个区间内哪一个函数是上方函数。

## 两条曲线之间的面积与复合面积

上方函数减下方函数的规则同样适用于两条非线性曲线之间的面积计算。对于复合面积，需要在上方函数发生变化的位置拆分区域，分别计算每个子区域的面积，再将结果相加得到总面积。

**例题:** 求由$y = x^2$、$y = 2 - x$和x轴$y=0$围成的总面积

1. 求出关键交点：$x^2=0 \implies x=0$，$2-x=0 \implies x=2$，$x^2 = 2 - x \implies x=1$（取正根）
2. 将区域拆分为两部分：区间$[0,1]$内上方函数是$y=x^2$，下方函数是$y=0$；区间$[1,2]$内上方函数是$y=2-x$，下方函数是$y=0$
3. 计算第一个子区域的面积：
4. $$\int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$$
5. 计算第二个子区域的面积：
6. $$\int_1^2 (2 - x) dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = (4 - 2) - (2 - 0.5) = \frac{1}{2}$$
7. 将两个面积相加得到总面积：
8. $$\text{Total Area} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \text{ units}^2$$

## 常见错误

- **错误做法:** 当曲线穿过x轴时忘记拆分积分，直接计算积分得到比实际面积更小的结果。
  - 原因: x轴下方的区域积分结果为负，因此净带符号面积不等于总绝对面积。
  - 正确做法: 找到积分上下限之间所有的x轴截距，在每个截距处拆分积分，对每个积分结果取绝对值后再相加。
- **错误做法:** 计算两条曲线之间的面积时，用上函数减去下函数的反向操作，得到负值结果。
  - 原因: 面积是正的量，用较大的函数减去较小的函数的反向操作会得到错误的负值。
  - 正确做法: 在积分区间内取一个测试值判断上函数，再计算上函数减下函数，或者对积分结果取绝对值。
- **错误做法:** 计算定积分时额外加入积分常数$C$。
  - 原因: 用$F(b)$减去$F(a)$时常数会抵消，加入常数是多余的，还可能引发计算错误。
  - 正确做法: 处理定积分时完全省略常数$C$。
- **错误做法:** 将有界区域外的交点用作积分上下限。
  - 原因: 使用错误的积分限会计算出不属于封闭图形的多余面积。
  - 正确做法: 求出所有边界函数的交点，再通过草绘草图确认这些交点构成了封闭区域的边界。
- **错误做法:** 题目要求计算平面面积时，错误地尝试计算旋转体体积。
  - 原因: 旋转体体积不属于0606大纲范围，你会浪费大量时间得到错误的答案。
  - 正确做法: 仅使用本指南介绍的定积分规则计算二维平面面积。

## 速查表

| 场景 | 公式 | 关键注意点 |
| --- | --- | --- |
| 计算定积分 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ | 省略积分常数$C$ |
| 曲线与x轴之间的面积（曲线在x轴上方） | $\int_a^b f(x) dx$ | 如果曲线在x轴下方，积分结果取绝对值 |
| 两个函数之间的面积（$f(x) \geq g(x)$） | $\int_a^b [f(x) - g(x)] dx$ | $a, b$是两个函数的交点 |
| 复合面积 | 所有拆分后独立区域的面积之和 | 在上函数发生变化或曲线穿过x轴的位置拆分积分 |

## 下一步

掌握定积分与平面面积的计算后，你可以继续学习积分在运动学问题中的应用，这是CIE IGCSE附加数学0606大纲中最后一个重要的微积分主题。这些考点在卷1和卷2中都频繁出现，因此请务必练习计算器和非计算器类的历年真题，提升解题速度和准确率。即使题目不要求绘图，每道面积题都快速绘制草图，也能帮助你避免判断上/下函数和拆分点时的常见错误。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u14-definite-integrals-and-plane-areas/