二维向量与速度问题

Q: 如何使用向量判断三个点是否共线？

判断点A、B、C是否共线的步骤：1. 计算向量和（或）。2. 验证其中一个向量是否为另一个向量的数乘，即是否存在常数使得。如果满足该条件，则三点位于同一直线上。

Q: 0606的向量题需要用到点积吗？

不需要，标量（点）积不在0606大纲范围内。所有向量夹角或投影类题目都不属于考点，你只需要掌握基础运算、模长计算和数乘即可。

CIE IGCSE 附加数学· Sections 13.1, 13.2, 13.3, 13.4· 25 分钟阅读

1. 二维向量的表示法与核心运算★★☆☆☆⏱ 6 min

📘 定义

二维向量

$A B, v, (x y), a i + b j$

二维平面内同时具有模长（大小）和方向的量，由水平（x）分量和竖直（y）分量共同表示。

例:

从原点O指向点(3, 4)的向量可写为 $O P = p = (34) = 3 i + 4 j$ 。

教学大纲13.1要求你使用规范的向量符号，正确读写分量（i-j）形式以及列向量形式的向量。其中 $i$ 是沿x轴正方向的单位向量， $j$ 是沿y轴正方向的单位向量，因此 $a i + b j$ 代表沿x方向移动a个单位、沿y方向移动b个单位。它和列向量 $(a b)$ 是完全等价的，两种形式可以自由互换。

a\mathbf{i} + b\mathbf{j} = \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}, \qquad 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} = \begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}

所有向量都可以通过三种核心运算进行处理：加法、减法和标量乘法。向量 $(x y)$ 的模长可以通过勾股定理计算得到。沿向量 $v$ 方向的单位向量可以通过将 $v$ 除以它自身的模长得到。

|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}

📐 例题

已知 $a = (25)$ 和 $b = (- 4 1)$ ，计算：(a) $3 a - 2 b$ ，(b) 沿 $a$ 方向的单位向量。

1
第(a)部分：首先对两个向量分别执行标量乘法：
$3\mathbf{a}= 3\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 15\end{pmatrix}, \quad 2\mathbf{b}= 2\begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \\ 2\end{pmatrix}$
2
将第一个向量减去第二个向量：
$3\mathbf{a}- 2\mathbf{b}= \begin{pmatrix}6 - (-8) \\ 15 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14 \\ 13\end{pmatrix}$
3
第(b)部分：首先计算 $a$ 的模长：
$|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$
4
将 $a$ 除以它的模长，得到对应的单位向量：
$\hat{\mathbf{a}} = \frac{1}{\sqrt{29}}\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{29}} \\ \frac{5}{\sqrt{29}}\end{pmatrix}$

Exam tip:

如果题目要求对单位向量的分母进行有理化操作，则必须完成该步骤，但对于绝大多数0606科目的答案来说，保留分母为根式的形式也是可接受的。

2. 位置向量、分点比例与共线判定★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

位置向量

$O P = r$

描述点P相对于固定原点O的位置的向量，其分量与点P的坐标完全相等。

例:

坐标为(2, -3)的点P的位置向量为 $p = (2 - 3)$ 。

若要找到将线段AB按比例 $m : n$ 分割的点的位置向量，可以使用分点公式 $r = \frac{n a + m b}{m + n}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分别是点A和点B的位置向量。注意该公式不会出现在0606科目的公式表中；考试中通常要求你通过沿基向量平移的方式推导得到相同结果（本指南后续会介绍基向量法），该公式最适合用作快速验算工具。当向量 $A B$ 和 $B C$ 互为标量倍数时，点A、B、C三点共线，即三点位于同一条直线上。

📐 例题

点A和点B的位置向量分别为 $a = (13)$ 和 $b = (715)$ 。(a) 求将线段AB按比例1:2分割的点M的位置向量。(b) 证明位置向量为 $c = (919)$ 的点C与点A、B共线。

1
第(a)部分：代入分点公式，取m=1，n=2：
$\mathbf{m}= \frac{2\mathbf{a}+ 1\mathbf{b}}{1 + 2} = \frac{2\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}7 \\ 15\end{pmatrix}}{3}$
2
化简分子并将结果除以3：
$\mathbf{m}= \frac{\begin{pmatrix}2 + 7 \\ 6 + 15\end{pmatrix}}{3} = \frac{\begin{pmatrix}9 \\ 21\end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix}$
3
第(b)部分：计算向量 $A B$ 和 $A C$ ：
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}- \mathbf{a}= \begin{pmatrix}7 - 1 \\ 15 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 12\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \mathbf{c}- \mathbf{a}= \begin{pmatrix}9 - 1 \\ 19 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 \\ 16\end{pmatrix}$
4
验证其中一个向量是否为另一个的标量倍数： $A C = \frac{4}{3} A B$ 。由于两个向量平行且共享公共点A，因此A、B、C三点共线。

Exam tip:

证明共线时，必须同时说明两个向量平行且二者存在公共点；两个条件同时满足才能拿到全部分数。

3. 速度的合成与分解及合速度计算★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

📘 定义

合速度

$v_{R}$

作用在同一物体上的两个或多个速度向量的矢量和，代表物体相对于固定参考系的实际运动状态。

例:

船在河中以速度 $v_{b}$ 航行，水流速度为 $v_{c}$ ，则船的合速度为 $v_{R} = v_{b} + v_{c}$ 。

求解速度相关问题时，你可以直接以列向量形式对速度向量做加减法，也可以在速度以模长和方向形式给出时，将其分解为水平分量和竖直分量。合速度的模长就是物体的速率，其方向可以通过基础直角三角形三角函数（SOH-CAH-TOA）求出。

📐 例题

一架飞机以200 km/h的空速向正北飞行，同时有一股速度为50 km/h的正东方向吹来的风。计算飞机相对于地面的合速度的模长，结果保留三位有效数字。

1
将速度表示为列向量形式，取正东为x轴正方向，正北为y轴正方向：
$\mathbf{v}_{p} = \begin{pmatrix}0 \\ 200\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_{w} = \begin{pmatrix}50 \\ 0\end{pmatrix}$
2
将两个向量相加得到合速度：
$\mathbf{v}_{R} = \begin{pmatrix}0 + 50 \\ 200 + 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}50 \\ 200\end{pmatrix}$
3
使用勾股定理计算合向量的模长：
$|\mathbf{v}_{R}| = \sqrt{50^2 + 200^2} = \sqrt{2500 + 40000} = \sqrt{42500} \approx 206 \text{ km/h (3 s.f.)}$

4. 求解粒子碰撞问题★★★★☆⏱ 7 min

对于两个运动的粒子，若它们在同一时刻 $t \geq 0$ 的位置向量相等，则二者发生碰撞。粒子在时刻 $t$ 的位置由 $r (t) = r_{0} + t v$ 给出，其中 $r_{0}$ 是粒子的初始位置向量， $v$ 是粒子的恒定速度向量。

📐 例题

粒子 P 的初始位置为 $(21)$ ，恒定速度为 $(13)$ 米/秒。粒子 Q 的初始位置为 $(1113)$ ，恒定速度为 $(- 2 - 1)$ 米/秒。证明两个粒子会发生碰撞，并求出碰撞发生的时刻。

1
写出两个粒子在 t 秒时刻的位置向量函数：
$\mathbf{r}_P(t) = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 + t \\ 1 + 3t\end{pmatrix}$
2
Q 的位置向量：
$\mathbf{r}_Q(t) = \begin{pmatrix}11 \\ 13\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11 - 2t \\ 13 - t\end{pmatrix}$
3
令 x 分量相等，求解 t：
$2 + t = 11 - 2t \\ 3t = 9 \\ t = 3$
4
验证 t=3 时二者的 y 分量相等，确认碰撞发生：
$\text{y-component of P at t=3: } 1 + 3(3) = 10 \\ \text{y-component of Q at t=3: } 13 - 3 = 10$
5
t=3 ≥ 0 时两个分量都相等，因此粒子在 3 秒后发生碰撞。

Exam tip:

始终确保你计算出的时间为非负值；负时间意味着粒子会在运动开始前就发生碰撞，因此在本题设定的场景下不存在碰撞。

5. 用基向量表示向量并求交点★★★★☆⏱ 8 min

📘 定义

基向量

$O A = a, O B = b$

从同一点出发的两个不平行向量，可用于将图中所有其他向量表示为线性组合 $p a + q b$ 。

例:

在三角形 $O A B$ 中，边 $A B = O B - O A = b - a$ （即「终点减起点」规则）。

在绝大多数 0606 考纲的图示类题目中，题目会给出带有两个基向量的三角形或平行四边形，例如 $O A = a$ 和 $O B = b$ 。图中其余所有向量都可以表示为 $a$ 和 $b$ 的组合。要得到某条直线上的点的位置，可从已知点出发沿已知方向移动：AB 的中点 M 满足 $O M = a + \frac{1}{2} (b - a) = \frac{1}{2} (a + b)$ 。

更一般地，如果 M 在 AB 上且满足 $A M : M B = m : n$ ，则沿 $A B$ 方向移动总长度的 $\frac{m}{m + n}$ 比例即可到达 M。这就是用基向量表示的分点公式：

\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \frac{m}{m+n}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \frac{n\mathbf{a} + m\mathbf{b}}{m+n}

要找到两条直线的交点，给交点 P 赋予两种不同的向量表达形式。如果 P 在过点 O 且方向为 $d_{1}$ 的直线上，可写 $O P = λ d_{1}$ 。如果 P 同时也在过点 C 且方向为 $d_{2}$ 的直线上，可写 $O P = O C + μ d_{2}$ 。两个表达式描述的是同一个点，因此可以令二者相等。由于 $a$ 和 $b$ 不平行， $a$ 和 $b$ 的两个线性组合相等的充要条件是等式两侧 $a$ 的系数相等，且 $b$ 的系数也相等。这样就得到了关于两个未知量 $λ$ 和 $μ$ 的两个方程。

📐 例题

在三角形 $O A B$ 中， $O A = a$ ， $O B = b$ 。点 D 在 AB 上且满足 $A D : D B = 1 : 2$ ，E 是 OA 的中点。直线 OD 和 BE 相交于点 P。用 $a$ 和 $b$ 表示 $O P$ 。

1
用基向量表示所有关键点。D 分割 AB 满足 $A D : D B = 1 : 2$ ，因此从 A 向 B 移动总长度的 $\frac{1}{3}$ ：
$\overrightarrow{OD} = \mathbf{a} + \frac{1}{3}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \frac{2}{3}\mathbf{a} + \frac{1}{3}\mathbf{b} = \frac{1}{3}(2\mathbf{a} + \mathbf{b})$
2
E 是 OA 的中点，因此：
$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}\mathbf{a}$
3
P 在直线 OD 上，因此将 $O P$ 写为 $O D$ 的标量倍数 $λ$ ：
$\overrightarrow{OP} = \lambda\,\overrightarrow{OD} = \frac{2\lambda}{3}\mathbf{a} + \frac{\lambda}{3}\mathbf{b}$
4
P 同时也在直线 BE 上。从点 B 出发，沿 $B E = O E - O B = \frac{1}{2} a - b$ 方向移动比例 $μ$ ：
$\overrightarrow{OP} = \mathbf{b} + \mu\left(\frac{1}{2}\mathbf{a} - \mathbf{b}\right) = \frac{\mu}{2}\mathbf{a} + (1 - \mu)\mathbf{b}$
5
两个表达式表示同一个向量。由于 $a$ 和 $b$ 不平行，分别令 $a$ 的系数和 $b$ 的系数相等：
$\frac{2\lambda}{3} = \frac{\mu}{2} \quad \text{(a-terms)} \\ \frac{\lambda}{3} = 1 - \mu \quad \text{(b-terms)}$
6
从 a 分量的方程可得 $μ = \frac{4 λ}{3}$ ，将其代入 b 分量的方程：
$\frac{\lambda}{3} = 1 - \frac{4\lambda}{3} \;\Rightarrow\; \frac{\lambda}{3} + \frac{4\lambda}{3} = 1 \;\Rightarrow\; \frac{5\lambda}{3} = 1 \;\Rightarrow\; \lambda = \frac{3}{5}$
7
因此 $μ = \frac{4 λ}{3} = \frac{4}{5}$ 。将 $λ = \frac{3}{5}$ 代回 $O P = \frac{2 λ}{3} a + \frac{λ}{3} b$ ：
$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\mathbf{a} + \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}\mathbf{b} = \frac{2}{5}\mathbf{a} + \frac{1}{5}\mathbf{b} = \frac{1}{5}(2\mathbf{a} + \mathbf{b})$
8
用另一条直线的表达式验证： $O P = \frac{μ}{2} a + (1 - μ) b = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} a + (1 - \frac{4}{5}) b = \frac{2}{5} a + \frac{1}{5} b$ 。两种推导结果一致，确认 $O P = \frac{1}{5} (2 a + b)$ 。

Exam tip:

当两条直线相交时，沿每条直线分别写出 $O P$ 并使用各自的标量（ $λ$ 和 $μ$ ）。由于 $a$ 和 $b$ 不平行，你可以分别令等式两侧的 $a$ 项和 $b$ 项系数相等，得到两个方程——这是阅卷老师会给分的标准步骤。

6. 求指定方向上具有给定模长的向量★★★☆☆⏱ 6 min

考试中常见的一类题型会给出一个方向和要求的长度，让你求出对应的向量。核心思路很简单：先将方向向量缩放至长度为1（即单位向量），再拉伸到你需要的长度。对于方向向量 $d$ 和要求的模长 $m$ ，与 $d$ 同向且模长为 $m$ 的向量为 $m \frac{d}{∣ d ∣}$ 。如果要得到相同长度但方向相反的向量，添加负号即可。

\mathbf{u} = \pm\, m\,\frac{\mathbf{d}}{|\mathbf{d}|}, \quad \text{with } +\ \text{for the same direction and } -\ \text{for the opposite direction}

📐 例题

求与 $(34)$ 同向、模长为8.5的向量。

1
求该方向向量的模长：
$\left|\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\right| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
2
除以模长得到单位向量：
$\hat{\mathbf{d}} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0.6 \\ 0.8\end{pmatrix}$
3
将单位向量乘以要求的模长8.5：
$8.5\begin{pmatrix}0.6 \\ 0.8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5.1 \\ 6.8\end{pmatrix}$
4
核验： $5. 1^{2} + 6. 8^{2} = 26.01 + 46.24 = 72.25 = 8.5$ ，符合要求。

📐 例题

求与 $(5 - 12)$ 反向、模长为26的向量。

1
求该方向向量的模长：
$\left|\begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix}\right| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13$
2
单位向量为 $\frac{1}{13} (5 - 12)$ 。要得到相反方向，乘以 $- 26$ ：
$-26\cdot\frac{1}{13}\begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix} = -2\begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10 \\ 24\end{pmatrix}$
3
核验： $(- 10)^{2} + 2 4^{2} = 100 + 576 = 676 = 26$ ，且 $(- 10 24) = - 2 (5 - 12)$ 是原向量的负倍数，确认方向相反。

同样的思路也可以通过速率和方向构造速度：速度 = 速率 $\times$ 方向单位向量。将方向向量除以其模长，再乘以速率即可。

📐 例题

一个质点以20 m/s的速率沿 $(- 1 2)$ 方向运动，求其列向量形式的速度。

1
求该方向向量的模长：
$\left|\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
2
将单位向量乘以速率20：
$20\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} = \frac{20}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}$
3
将分母有理化： $\frac{20}{5} = \frac{20 5}{5} = 45$ ，因此速度为：
$4\sqrt{5}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\sqrt{5} \\ 8\sqrt{5}\end{pmatrix}$
4
核验速率： $(- 45)^{2} + (85)^{2} = 80 + 320 = 400 = 20$ m/s，符合要求。

Exam tip:

务必先求单位向量（将方向向量除以其自身的模长），再按所需长度缩放。「相反方向」的向量只需添加负号，题目给出的模长始终为正值。

7. 求合速度的方向（角度或方位角）★★★★☆⏱ 7 min

✓ 计算器

将速度向量相加得到合速度，其模长就是速率，题目通常会要求以角度或罗盘方位角的形式给出它的方向。得到合向量 $(v_{x} v_{y})$ （其中 $v_{x}$ 为东向分量， $v_{y}$ 为北向分量）后，使用直角三角函数求出它与选定坐标轴的基准夹角，再通过 $v_{x}$ 和 $v_{y}$ 的符号将角度定位到正确的象限。

\tan\theta = \left|\frac{v_y}{v_x}\right| \quad \Rightarrow \quad \theta = \tan^{-1}\left|\frac{v_y}{v_x}\right|

📐 例题

一艘模型船以速度 $(35)$ m/s行驶，同时水流叠加了 $(4 - 1)$ m/s的速度。取东为正 $x$ 方向、北为正 $y$ 方向，求船的最终速率和航行方位角，方位角精确到最近的度数。

1
将两个速度相加得到合速度：
$\mathbf{v} = \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix}$
2
速率就是合速度的模长：
$|\mathbf{v}| = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65} ≈ 8.06 \text{ m/s}$
3
判断象限：东向分量 $7 > 0$ ，北向分量 $4 > 0$ ，因此合速度指向东北象限。求其与东向方向的基准夹角：
$\tan\theta = \left|\frac{4}{7}\right| \;\Rightarrow\; \theta = \tan^{-1}\frac{4}{7} ≈ 29.7^{\circ}\text{ (东偏北)}$
4
转换为方位角（从正北顺时针计量）。正东方向为 $09 0^{\circ}$ ，合速度在东偏北 $29. 7^{\circ}$ ：
$\text{bearing} = 090^{\circ} - 29.7^{\circ} = 060.3^{\circ} ≈ 060^{\circ}$
5
因此船以约8.06 m/s的速率沿060°方位角航行。（等价地，北偏东的角度为 $tan^{- 1} \frac{7}{4} \approx 60. 3^{\circ}$ ，得到的方位角结果一致。）

Exam tip:

方位角从正北方向顺时针计量，用三位数字表示，例如060°。请务必先确认东向和北向分量的符号，确保角度落在正确的象限内——直接使用 $tan^{- 1}$ 只能返回锐角。

8. 令分量相等求标量（equating like vectors）★★★☆☆⏱ 6 min

大纲13.3将「equating like vectors（令同类向量相等）」列为必考技能。常见考法会给出两个固定向量和一个目标向量，要求求出把这两个向量组合成目标向量的标量。由于 $i$ 方向和 $j$ 方向相互独立，两个向量相等当且仅当它们的 $i$ 分量相等、且 $j$ 分量也分别相等。因此把一侧写成 $(\dots) i + (\dots) j$ 并与目标向量匹配，一个向量方程就化为关于未知标量的两个普通联立方程。这是一种纯分量（坐标）技法——这里的数值是实际的 $x$ 、 $y$ 分量，而非前面用到的几何基向量 $a$ 、 $b$ 。

x_1\mathbf{i} + y_1\mathbf{j} = x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j} \iff x_1 = x_2 \ \text{and} \ y_1 = y_2

📐 例题

已知向量 $p = 2 i + j$ 和 $q = 3 i - j$ 。求标量 $a$ 和 $b$ ，使得 $a p + b q = 12 i + j$ 。

1
代入向量，分别归并 $i$ 项和 $j$ 项：
$a(2\mathbf{i} + \mathbf{j}) + b(3\mathbf{i} - \mathbf{j}) = (2a + 3b)\mathbf{i} + (a - b)\mathbf{j}$
2
该式必须等于 $12 i + j$ 。令同类向量相等——先令两侧 $i$ 的系数相等，再令两侧 $j$ 的系数相等：
$2a + 3b = 12 \quad (\mathbf{i}\text{ 项}) \\ a - b = 1 \quad (\mathbf{j}\text{ 项})$
3
求解这组联立方程。由 $j$ 方程得 $a = b + 1$ ，代入 $i$ 方程：
$2(b + 1) + 3b = 12 \;\Rightarrow\; 5b + 2 = 12 \;\Rightarrow\; b = 2$
4
回代求 $a$ ：
$a = b + 1 = 3$
5
将 $a = 3$ 、 $b = 2$ 代回原式验算： $3 (2 i + j) + 2 (3 i - j) = (6 + 6) i + (3 - 2) j = 12 i + j$ ，符合要求。因此 $a = 3$ ， $b = 2$ 。

Exam tip:

清晰列出两个分量方程，标明哪个是 $i$ 方程、哪个是 $j$ 方程，再当作普通联立方程求解。务必将求出的标量代回原向量方程进行验算。

9. 常见陷阱

错误做法:

计算 $A B$ 时混淆向量减法的顺序

原因:

很多学生错误地将 $A B$ 算成 $a - b$ 而非 $b - a$ ，导致方向和分量值出错。

正确做法:

牢记 $A B = B 点位置 - A 点位置 = b - a$ 。

错误做法:

在分点公式中忘记除以比例分量的和

原因:

对于比例m:n，学生经常直接写 $r = n a + m b$ ，遗漏除以m+n的步骤，得到的位置向量模长错误。

正确做法:

位置向量的加权和必须始终除以比例分量的总和： $r = \frac{n a + m b}{m + n}$ 。

错误做法:

证明共线时仅说明向量互相平行

原因:

平行向量可以位于不同直线上，你需要确认它们共享一个公共点才能证明共线。

正确做法:

必须同时说明一个向量是另一个向量的数乘且它们共享一个公共点（例如点A），才能拿到全部分数。

错误做法:

通过令速度向量相等求解碰撞问题

原因:

碰撞要求同一时刻位置相同，而非速度相等；速度相等仅代表粒子运动的速率和方向一致。

正确做法:

写出两个粒子关于t的位置向量函数，然后令分量相等求解t，验证两个分量在同一t值下均匹配。

错误做法:

将数乘与点积混淆

原因:

部分学生在要求数乘时误用A-Level的点积规则，而点积不属于0606大纲内容。

正确做法:

数乘运算仅需要将向量的每个分量乘以标量： $k (x y) = (k x k y)$ ，所有0606的向量题都不需要用到点积。

10. 速查表

概念	公式/规则	示例
向量模长	$∣ (x y) ∣ = x^{2} + y^{2}$	$∣ (34) ∣ = 5$
单位向量	$\hat{v} = \frac{v}{∣ v ∣}$	$(34)$ 的单位向量为 $(3/5 4/5)$
分点比例	将AB按比例m:n分割的点： $\frac{n a + m b}{m + n}$	比例1:2对应结果为 $\frac{2 a + b}{3}$
共线性校验	若存在标量k使得 $A B = k A C$ ，则A、B、C三点共线	$A B = (24), A C = (48) = 2 A B$ → 共线
t时刻的位置	$r (t) = r_{0} + t v$	初始位置 $(12)$ ，速度 $(31)$ → $r (t) = (1 + 3 t 2 + t)$
合速度	$v_{R} = v_{1} + v_{2}$	船速 + 河水流速 = 相对于地面的总速度

11. 常见问题

如何使用向量判断三个点是否共线？

判断点A、B、C是否共线的步骤：1. 计算向量 $A B$ 和 $A C$ （或 $B C$ ）。2. 验证其中一个向量是否为另一个向量的数乘，即是否存在常数 $k$ 使得 $A B = k A C$ 。如果满足该条件，则三点位于同一直线上。

0606的向量题需要用到点积吗？

不需要，标量（点）积不在0606大纲范围内。所有向量夹角或投影类题目都不属于考点，你只需要掌握基础运算、模长计算和数乘即可。

深入阅读

syllabusCIE 0606 2025-2027 大纲参考第13单元的官方向量知识点要求

下一步

在掌握CIE IGCSE附加数学0606的二维向量与速度问题后，你可以继续学习基于向量推理的其他进阶主题，例如变加速运动学和更多微积分应用。请务必练习往年真题中的向量题，熟悉考试的出题表述和评分标准要求，向量题每题通常占4-6分。要特别注意完整写出共线和碰撞证明的所有步骤，即使最终答案错误，正确的中间计算步骤也能拿到部分分数。