# 二维向量与速度问题

> CIE IGCSE 附加数学 · 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u13-vectors-in-two-dimensions-and/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学0606的全部二维向量内容，包括记法、运算、共线性、速度合成和碰撞问题，严格贴合2025–2027年大纲，不包含超出范围的A-Level内容。

**先修:** 基础代数与坐标几何; 勾股定理与直角三角形三角函数

## 学习目标

- 使用所有标准记法形式表示二维向量（箭头形式、粗体形式、列向量形式和i-j分量形式）
- 计算向量的模长、单位向量，完成二维向量的加法、减法和数乘运算
- 应用向量比例关系求解共线问题和位置向量问题
- 分解与合成速度，求运动物体的合速度
- 通过令t时刻的位置向量相等求解粒子碰撞问题

## 二维向量的表示法与核心运算

**二维向量** — 二维平面内同时具有模长（大小）和方向的量，由水平（x）分量和竖直（y）分量共同表示。

*记法:* $\overrightarrow{AB}, \; \mathbf{v}, \; \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}, \; a\mathbf{i} + b\mathbf{j}$

*例:* 从原点O指向点(3, 4)的向量可写为$\overrightarrow{OP} = \mathbf{p}= \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$。

教学大纲13.1要求你使用规范的向量符号，正确读写分量（i-j）形式以及列向量形式的向量。其中$\mathbf{i}$是沿x轴正方向的单位向量，$\mathbf{j}$是沿y轴正方向的单位向量，因此$a\mathbf{i} + b\mathbf{j}$代表沿x方向移动a个单位、沿y方向移动b个单位。它和列向量$\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$是完全等价的，两种形式可以自由互换。

$$a\mathbf{i} + b\mathbf{j} = \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}, \qquad 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} = \begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}$$

所有向量都可以通过三种核心运算进行处理：加法、减法和标量乘法。向量$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$的模长可以通过勾股定理计算得到。沿向量$\mathbf{v}$方向的单位向量可以通过将$\mathbf{v}$除以它自身的模长得到。

$$|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$$

**例题:** 已知$\mathbf{a}= \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}$和$\mathbf{b}= \begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix}$，计算：(a) $3\mathbf{a}- 2\mathbf{b}$，(b) 沿$\mathbf{a}$方向的单位向量。

1. 第(a)部分：首先对两个向量分别执行标量乘法：

   $$3\mathbf{a}= 3\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 15\end{pmatrix}, \quad 2\mathbf{b}= 2\begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \\ 2\end{pmatrix}$$
2. 将第一个向量减去第二个向量：

   $$3\mathbf{a}- 2\mathbf{b}= \begin{pmatrix}6 - (-8) \\ 15 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14 \\ 13\end{pmatrix}$$
3. 第(b)部分：首先计算$\mathbf{a}$的模长：

   $$|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$$
4. 将$\mathbf{a}$除以它的模长，得到对应的单位向量：

   $$\hat{\mathbf{a}} = \frac{1}{\sqrt{29}}\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{29}} \\ \frac{5}{\sqrt{29}}\end{pmatrix}$$

> **考试提示:** 如果题目要求对单位向量的分母进行有理化操作，则必须完成该步骤，但对于绝大多数0606科目的答案来说，保留分母为根式的形式也是可接受的。

## 位置向量、分点比例与共线判定

**位置向量** — 描述点P相对于固定原点O的位置的向量，其分量与点P的坐标完全相等。

*记法:* $\overrightarrow{OP} = \mathbf{r}$

*例:* 坐标为(2, -3)的点P的位置向量为$\mathbf{p}= \begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}$。

若要找到将线段AB按比例$m:n$分割的点的位置向量，可以使用分点公式$\mathbf{r}= \frac{n\mathbf{a}+ m\mathbf{b}}{m + n}$，其中$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$分别是点A和点B的位置向量。注意该公式不会出现在0606科目的公式表中；考试中通常要求你通过沿基向量平移的方式推导得到相同结果（本指南后续会介绍基向量法），该公式最适合用作快速验算工具。当向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$互为标量倍数时，点A、B、C三点共线，即三点位于同一条直线上。

**例题:** 点A和点B的位置向量分别为$\mathbf{a}= \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$和$\mathbf{b}= \begin{pmatrix}7 \\ 15\end{pmatrix}$。(a) 求将线段AB按比例1:2分割的点M的位置向量。(b) 证明位置向量为$\mathbf{c}= \begin{pmatrix}9 \\ 19\end{pmatrix}$的点C与点A、B共线。

1. 第(a)部分：代入分点公式，取m=1，n=2：

   $$\mathbf{m}= \frac{2\mathbf{a}+ 1\mathbf{b}}{1 + 2} = \frac{2\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}7 \\ 15\end{pmatrix}}{3}$$
2. 化简分子并将结果除以3：

   $$\mathbf{m}= \frac{\begin{pmatrix}2 + 7 \\ 6 + 15\end{pmatrix}}{3} = \frac{\begin{pmatrix}9 \\ 21\end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix}$$
3. 第(b)部分：计算向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$：

   $$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}- \mathbf{a}= \begin{pmatrix}7 - 1 \\ 15 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 12\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \mathbf{c}- \mathbf{a}= \begin{pmatrix}9 - 1 \\ 19 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 \\ 16\end{pmatrix}$$
4. 验证其中一个向量是否为另一个的标量倍数：$\overrightarrow{AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AB}$。由于两个向量平行且共享公共点A，因此A、B、C三点共线。

> **考试提示:** 证明共线时，必须同时说明两个向量平行**且**二者存在公共点；两个条件同时满足才能拿到全部分数。

## 速度的合成与分解及合速度计算

**合速度** — 作用在同一物体上的两个或多个速度向量的矢量和，代表物体相对于固定参考系的实际运动状态。

*记法:* $\mathbf{v}_{R}$

*例:* 船在河中以速度$\mathbf{v}_{b}$航行，水流速度为$\mathbf{v}_{c}$，则船的合速度为$\mathbf{v}_{R} = \mathbf{v}_{b} + \mathbf{v}_{c}$。

求解速度相关问题时，你可以直接以列向量形式对速度向量做加减法，也可以在速度以模长和方向形式给出时，将其分解为水平分量和竖直分量。合速度的模长就是物体的速率，其方向可以通过基础直角三角形三角函数（SOH-CAH-TOA）求出。

**例题:** 一架飞机以200 km/h的空速向正北飞行，同时有一股速度为50 km/h的正东方向吹来的风。计算飞机相对于地面的合速度的模长，结果保留三位有效数字。

1. 将速度表示为列向量形式，取正东为x轴正方向，正北为y轴正方向：

   $$\mathbf{v}_{p} = \begin{pmatrix}0 \\ 200\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_{w} = \begin{pmatrix}50 \\ 0\end{pmatrix}$$
2. 将两个向量相加得到合速度：

   $$\mathbf{v}_{R} = \begin{pmatrix}0 + 50 \\ 200 + 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}50 \\ 200\end{pmatrix}$$
3. 使用勾股定理计算合向量的模长：

   $$|\mathbf{v}_{R}| = \sqrt{50^2 + 200^2} = \sqrt{2500 + 40000} = \sqrt{42500} \approx 206 \text{ km/h (3 s.f.)}$$

*计算器:* allowed

## 求解粒子碰撞问题

对于两个运动的粒子，若它们在同一时刻 $t ≥ 0$ 的位置向量相等，则二者发生碰撞。粒子在时刻 $t$ 的位置由 $\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$ 给出，其中 $\mathbf{r}_0$ 是粒子的初始位置向量，$\mathbf{v}$ 是粒子的恒定速度向量。

**例题:** 粒子 P 的初始位置为 $\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}$，恒定速度为 $\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$ 米/秒。粒子 Q 的初始位置为 $\begin{pmatrix}11 \\ 13\end{pmatrix}$，恒定速度为 $\begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix}$ 米/秒。证明两个粒子会发生碰撞，并求出碰撞发生的时刻。

1. 写出两个粒子在 t 秒时刻的位置向量函数：

   $$\mathbf{r}_P(t) = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 + t \\ 1 + 3t\end{pmatrix}$$
2. Q 的位置向量：

   $$\mathbf{r}_Q(t) = \begin{pmatrix}11 \\ 13\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11 - 2t \\ 13 - t\end{pmatrix}$$
3. 令 x 分量相等，求解 t：

   $$2 + t = 11 - 2t \\ 3t = 9 \\ t = 3$$
4. 验证 t=3 时二者的 y 分量相等，确认碰撞发生：

   $$\text{y-component of P at t=3: } 1 + 3(3) = 10 \\ \text{y-component of Q at t=3: } 13 - 3 = 10$$
5. t=3 ≥ 0 时两个分量都相等，因此粒子在 3 秒后发生碰撞。

> **考试提示:** 始终确保你计算出的时间为非负值；负时间意味着粒子会在运动开始前就发生碰撞，因此在本题设定的场景下不存在碰撞。

## 用基向量表示向量并求交点

**基向量** — 从同一点出发的两个不平行向量，可用于将图中所有其他向量表示为线性组合 $p\mathbf{a} + q\mathbf{b}$。

*记法:* $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}, \; \overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$

*例:* 在三角形 $OAB$ 中，边 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$（即「终点减起点」规则）。

在绝大多数 0606 考纲的图示类题目中，题目会给出带有两个基向量的三角形或平行四边形，例如 $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ 和 $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$。图中其余所有向量都可以表示为 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的组合。要得到某条直线上的点的位置，可从已知点出发沿已知方向移动：AB 的中点 M 满足 $\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \frac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$。

更一般地，如果 M 在 AB 上且满足 $AM:MB = m:n$，则沿 $\overrightarrow{AB}$ 方向移动总长度的 $\frac{m}{m+n}$ 比例即可到达 M。这就是用基向量表示的分点公式：

$$\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \frac{m}{m+n}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \frac{n\mathbf{a} + m\mathbf{b}}{m+n}$$

要找到两条直线的交点，给交点 P 赋予两种不同的向量表达形式。如果 P 在过点 O 且方向为 $\mathbf{d}_1$ 的直线上，可写 $\overrightarrow{OP} = \lambda\mathbf{d}_1$。如果 P 同时也在过点 C 且方向为 $\mathbf{d}_2$ 的直线上，可写 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \mu\mathbf{d}_2$。两个表达式描述的是同一个点，因此可以令二者相等。由于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 不平行，$\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的两个线性组合相等的充要条件是等式两侧 $\mathbf{a}$ 的系数相等，且 $\mathbf{b}$ 的系数也相等。这样就得到了关于两个未知量 $\lambda$ 和 $\mu$ 的两个方程。

**例题:** 在三角形 $OAB$ 中，$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$。点 D 在 AB 上且满足 $AD:DB = 1:2$，E 是 OA 的中点。直线 OD 和 BE 相交于点 P。用 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 表示 $\overrightarrow{OP}$。

1. 用基向量表示所有关键点。D 分割 AB 满足 $AD:DB = 1:2$，因此从 A 向 B 移动总长度的 $\frac{1}{3}$：

   $$\overrightarrow{OD} = \mathbf{a} + \frac{1}{3}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \frac{2}{3}\mathbf{a} + \frac{1}{3}\mathbf{b} = \frac{1}{3}(2\mathbf{a} + \mathbf{b})$$
2. E 是 OA 的中点，因此：

   $$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}\mathbf{a}$$
3. P 在直线 OD 上，因此将 $\overrightarrow{OP}$ 写为 $\overrightarrow{OD}$ 的标量倍数 $\lambda$：

   $$\overrightarrow{OP} = \lambda\,\overrightarrow{OD} = \frac{2\lambda}{3}\mathbf{a} + \frac{\lambda}{3}\mathbf{b}$$
4. P 同时也在直线 BE 上。从点 B 出发，沿 $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\mathbf{a} - \mathbf{b}$ 方向移动比例 $\mu$：

   $$\overrightarrow{OP} = \mathbf{b} + \mu\left(\frac{1}{2}\mathbf{a} - \mathbf{b}\right) = \frac{\mu}{2}\mathbf{a} + (1 - \mu)\mathbf{b}$$
5. 两个表达式表示同一个向量。由于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 不平行，分别令 $\mathbf{a}$ 的系数和 $\mathbf{b}$ 的系数相等：

   $$\frac{2\lambda}{3} = \frac{\mu}{2} \quad \text{(a-terms)} \\ \frac{\lambda}{3} = 1 - \mu \quad \text{(b-terms)}$$
6. 从 a 分量的方程可得 $\mu = \frac{4\lambda}{3}$，将其代入 b 分量的方程：

   $$\frac{\lambda}{3} = 1 - \frac{4\lambda}{3} \;\Rightarrow\; \frac{\lambda}{3} + \frac{4\lambda}{3} = 1 \;\Rightarrow\; \frac{5\lambda}{3} = 1 \;\Rightarrow\; \lambda = \frac{3}{5}$$
7. 因此 $\mu = \frac{4\lambda}{3} = \frac{4}{5}$。将 $\lambda = \frac{3}{5}$ 代回 $\overrightarrow{OP} = \frac{2\lambda}{3}\mathbf{a} + \frac{\lambda}{3}\mathbf{b}$：

   $$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\mathbf{a} + \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}\mathbf{b} = \frac{2}{5}\mathbf{a} + \frac{1}{5}\mathbf{b} = \frac{1}{5}(2\mathbf{a} + \mathbf{b})$$
8. 用另一条直线的表达式验证：$\overrightarrow{OP} = \frac{\mu}{2}\mathbf{a} + (1 - \mu)\mathbf{b} = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}\mathbf{a} + \left(1 - \frac{4}{5}\right)\mathbf{b} = \frac{2}{5}\mathbf{a} + \frac{1}{5}\mathbf{b}$。两种推导结果一致，确认 $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{5}(2\mathbf{a} + \mathbf{b})$。

> **考试提示:** 当两条直线相交时，沿每条直线分别写出 $\overrightarrow{OP}$ 并使用各自的标量（$\lambda$ 和 $\mu$）。由于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 不平行，你可以分别令等式两侧的 $\mathbf{a}$ 项和 $\mathbf{b}$ 项系数相等，得到两个方程——这是阅卷老师会给分的标准步骤。

## 求指定方向上具有给定模长的向量

考试中常见的一类题型会给出一个方向和要求的长度，让你求出对应的向量。核心思路很简单：先将方向向量缩放至长度为1（即单位向量），再拉伸到你需要的长度。对于方向向量$\mathbf{d}$和要求的模长$m$，与$\mathbf{d}$同向且模长为$m$的向量为$m\,\frac{\mathbf{d}}{|\mathbf{d}|}$。如果要得到相同长度但方向相反的向量，添加负号即可。

$$\mathbf{u} = \pm\, m\,\frac{\mathbf{d}}{|\mathbf{d}|}, \quad \text{with } +\ \text{for the same direction and } -\ \text{for the opposite direction}$$

**例题:** 求与$\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}$同向、模长为8.5的向量。

1. 求该方向向量的模长：

   $$\left|\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\right| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$
2. 除以模长得到单位向量：

   $$\hat{\mathbf{d}} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0.6 \\ 0.8\end{pmatrix}$$
3. 将单位向量乘以要求的模长8.5：

   $$8.5\begin{pmatrix}0.6 \\ 0.8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5.1 \\ 6.8\end{pmatrix}$$
4. 核验：$\sqrt{5.1^2 + 6.8^2} = \sqrt{26.01 + 46.24} = \sqrt{72.25} = 8.5$，符合要求。

**例题:** 求与$\begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix}$反向、模长为26的向量。

1. 求该方向向量的模长：

   $$\left|\begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix}\right| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13$$
2. 单位向量为$\frac{1}{13}\begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix}$。要得到相反方向，乘以$-26$：

   $$-26\cdot\frac{1}{13}\begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix} = -2\begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10 \\ 24\end{pmatrix}$$
3. 核验：$\sqrt{(-10)^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$，且$\begin{pmatrix}-10 \\ 24\end{pmatrix} = -2\begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix}$是原向量的负倍数，确认方向相反。

同样的思路也可以通过速率和方向构造速度：速度 = 速率 $\times$ 方向单位向量。将方向向量除以其模长，再乘以速率即可。

**例题:** 一个质点以20 m/s的速率沿$\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}$方向运动，求其列向量形式的速度。

1. 求该方向向量的模长：

   $$\left|\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$
2. 将单位向量乘以速率20：

   $$20\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} = \frac{20}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}$$
3. 将分母有理化：$\frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$，因此速度为：

   $$4\sqrt{5}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\sqrt{5} \\ 8\sqrt{5}\end{pmatrix}$$
4. 核验速率：$\sqrt{(-4\sqrt{5})^2 + (8\sqrt{5})^2} = \sqrt{80 + 320} = \sqrt{400} = 20$ m/s，符合要求。

> **考试提示:** 务必先求单位向量（将方向向量除以其自身的模长），再按所需长度缩放。「相反方向」的向量只需添加负号，题目给出的模长始终为正值。

## 求合速度的方向（角度或方位角）

将速度向量相加得到合速度，其模长就是速率，题目通常会要求以角度或罗盘方位角的形式给出它的方向。得到合向量$\begin{pmatrix}v_x \\ v_y\end{pmatrix}$（其中$v_x$为东向分量，$v_y$为北向分量）后，使用直角三角函数求出它与选定坐标轴的基准夹角，再通过$v_x$和$v_y$的符号将角度定位到正确的象限。

$$\tan\theta = \left|\frac{v_y}{v_x}\right| \quad \Rightarrow \quad \theta = \tan^{-1}\left|\frac{v_y}{v_x}\right|$$

**例题:** 一艘模型船以速度$\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix}$ m/s行驶，同时水流叠加了$\begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix}$ m/s的速度。取东为正$x$方向、北为正$y$方向，求船的最终速率和航行方位角，方位角精确到最近的度数。

1. 将两个速度相加得到合速度：

   $$\mathbf{v} = \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix}$$
2. 速率就是合速度的模长：

   $$|\mathbf{v}| = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65} ≈ 8.06 \text{ m/s}$$
3. 判断象限：东向分量$7 > 0$，北向分量$4 > 0$，因此合速度指向东北象限。求其与东向方向的基准夹角：

   $$\tan\theta = \left|\frac{4}{7}\right| \;\Rightarrow\; \theta = \tan^{-1}\frac{4}{7} ≈ 29.7^{\circ}\text{ (东偏北)}$$
4. 转换为方位角（从正北顺时针计量）。正东方向为$090^{\circ}$，合速度在东偏北$29.7^{\circ}$：

   $$\text{bearing} = 090^{\circ} - 29.7^{\circ} = 060.3^{\circ} ≈ 060^{\circ}$$
5. 因此船以约8.06 m/s的速率沿060°方位角航行。（等价地，北偏东的角度为$\tan^{-1}\frac{7}{4} ≈ 60.3^{\circ}$，得到的方位角结果一致。）

> **考试提示:** 方位角从正北方向顺时针计量，用三位数字表示，例如060°。请务必先确认东向和北向分量的符号，确保角度落在正确的象限内——直接使用$\tan^{-1}$只能返回锐角。

*计算器:* allowed

## 令分量相等求标量（equating like vectors）

大纲13.3将「equating like vectors（令同类向量相等）」列为必考技能。常见考法会给出两个固定向量和一个目标向量，要求求出把这两个向量组合成目标向量的标量。由于$\mathbf{i}$方向和$\mathbf{j}$方向相互独立，两个向量相等当且仅当它们的$\mathbf{i}$分量相等、且$\mathbf{j}$分量也分别相等。因此把一侧写成$(\ldots)\mathbf{i} + (\ldots)\mathbf{j}$并与目标向量匹配，一个向量方程就化为关于未知标量的两个普通联立方程。这是一种纯分量（坐标）技法——这里的数值是实际的$x$、$y$分量，而非前面用到的几何基向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$。

$$x_1\mathbf{i} + y_1\mathbf{j} = x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j} \iff x_1 = x_2 \ \text{and} \ y_1 = y_2$$

**例题:** 已知向量$\mathbf{p} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j}$和$\mathbf{q} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j}$。求标量$a$和$b$，使得$a\mathbf{p} + b\mathbf{q} = 12\mathbf{i} + \mathbf{j}$。

1. 代入向量，分别归并$\mathbf{i}$项和$\mathbf{j}$项：

   $$a(2\mathbf{i} + \mathbf{j}) + b(3\mathbf{i} - \mathbf{j}) = (2a + 3b)\mathbf{i} + (a - b)\mathbf{j}$$
2. 该式必须等于$12\mathbf{i} + \mathbf{j}$。令同类向量相等——先令两侧$\mathbf{i}$的系数相等，再令两侧$\mathbf{j}$的系数相等：

   $$2a + 3b = 12 \quad (\mathbf{i}\text{ 项}) \\ a - b = 1 \quad (\mathbf{j}\text{ 项})$$
3. 求解这组联立方程。由$\mathbf{j}$方程得$a = b + 1$，代入$\mathbf{i}$方程：

   $$2(b + 1) + 3b = 12 \;\Rightarrow\; 5b + 2 = 12 \;\Rightarrow\; b = 2$$
4. 回代求$a$：

   $$a = b + 1 = 3$$
5. 将$a = 3$、$b = 2$代回原式验算：$3(2\mathbf{i} + \mathbf{j}) + 2(3\mathbf{i} - \mathbf{j}) = (6 + 6)\mathbf{i} + (3 - 2)\mathbf{j} = 12\mathbf{i} + \mathbf{j}$，符合要求。因此$a = 3$，$b = 2$。

> **考试提示:** 清晰列出两个分量方程，标明哪个是$\mathbf{i}$方程、哪个是$\mathbf{j}$方程，再当作普通联立方程求解。务必将求出的标量代回原向量方程进行验算。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算$\overrightarrow{AB}$时混淆向量减法的顺序
  - 原因: 很多学生错误地将$\overrightarrow{AB}$算成$\mathbf{a}- \mathbf{b}$而非$\mathbf{b}- \mathbf{a}$，导致方向和分量值出错。
  - 正确做法: 牢记$\overrightarrow{AB} = \text{B点位置} - \text{A点位置} = \mathbf{b}- \mathbf{a}$。
- **错误做法:** 在分点公式中忘记除以比例分量的和
  - 原因: 对于比例m:n，学生经常直接写$\mathbf{r}= n\mathbf{a}+ m\mathbf{b}$，遗漏除以m+n的步骤，得到的位置向量模长错误。
  - 正确做法: 位置向量的加权和必须始终除以比例分量的总和：$\mathbf{r}= \frac{n\mathbf{a}+ m\mathbf{b}}{m + n}$。
- **错误做法:** 证明共线时仅说明向量互相平行
  - 原因: 平行向量可以位于不同直线上，你需要确认它们共享一个公共点才能证明共线。
  - 正确做法: 必须同时说明一个向量是另一个向量的数乘*且*它们共享一个公共点（例如点A），才能拿到全部分数。
- **错误做法:** 通过令速度向量相等求解碰撞问题
  - 原因: 碰撞要求同一时刻位置相同，而非速度相等；速度相等仅代表粒子运动的速率和方向一致。
  - 正确做法: 写出两个粒子关于t的位置向量函数，然后令分量相等求解t，验证两个分量在同一t值下均匹配。
- **错误做法:** 将数乘与点积混淆
  - 原因: 部分学生在要求数乘时误用A-Level的点积规则，而点积不属于0606大纲内容。
  - 正确做法: 数乘运算仅需要将向量的每个分量乘以标量：$k\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}kx \\ ky\end{pmatrix}$，所有0606的向量题都不需要用到点积。

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 示例 |
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| 向量模长 | $\|\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ | $\|\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\| = 5$ |
| 单位向量 | $\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$ | $\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}$的单位向量为$\begin{pmatrix}3/5 \\ 4/5\end{pmatrix}$ |
| 分点比例 | 将AB按比例m:n分割的点：$\frac{n\mathbf{a}+ m\mathbf{b}}{m + n}$ | 比例1:2对应结果为$\frac{2\mathbf{a}+ \mathbf{b}}{3}$ |
| 共线性校验 | 若存在标量k使得$\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$，则A、B、C三点共线 | $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}4 \\ 8\end{pmatrix} = 2\overrightarrow{AB}$ → 共线 |
| t时刻的位置 | $\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$ | 初始位置$\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$，速度$\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}$ → $\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}1 + 3t \\ 2 + t\end{pmatrix}$ |
| 合速度 | $\mathbf{v}_{R} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}$ | 船速 + 河水流速 = 相对于地面的总速度 |

## 下一步

在掌握CIE IGCSE附加数学0606的二维向量与速度问题后，你可以继续学习基于向量推理的其他进阶主题，例如变加速运动学和更多微积分应用。请务必练习往年真题中的向量题，熟悉考试的出题表述和评分标准要求，向量题每题通常占4-6分。要特别注意完整写出共线和碰撞证明的所有步骤，即使最终答案错误，正确的中间计算步骤也能拿到部分分数。

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