为什么通项写作而不是？

r从0开始计数，因此第一项对应r=0（即），第二项对应r=1（即），以此类推。这种偏移和二项式系数的nCr索引是匹配的。

二项式定理（正整数n）

CIE IGCSE 附加数学· 12.1, 12.2· 25 分钟阅读

1. 帕斯卡三角与二项式基础展开★★☆☆☆⏱ 10 min

🚫 计算器禁用

📘 定义

二项式定理（正整数n情形）

对于任意正整数 $n$ ， $(a + b)^{n} = a^{n} + (1 n) a^{n - 1} b + (2 n) a^{n - 2} b^{2} + ... + b^{n}$ ，其中各项系数对应帕斯卡三角第 $n$ 行的元素。

例:

$(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} (2) + 3 x (2)^{2} + 2^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

帕斯卡三角从 $n = 0$ 对应的行（数值为[1]）开始，后续每一行都由上一行的相邻元素相加得到。第 $n$ 行的每一个元素都是 $(a + b)^{n}$ 展开式对应项的系数。

📐 例题

利用帕斯卡三角展开 $(2 x - 3)^{4}$ 。

1
1. 确定帕斯卡三角的第4行： $[1, 4, 6, 4, 1]$
2
1. 将 $a = 2 x$ 、 $b = - 3$ 、 $n = 4$ 代入展开公式：
3
$(2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4$
4
1. 逐项单独化简：
5
$16x^4 + 4(8x^3)(-3) + 6(4x^2)(9) + 4(2x)(-27) + 81$
6
1. 合并化简后的项，得到最终展开式：
7
$16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$

Exam tip:

代入展开式时务必带上第二项的符号，尤其是当该项为负数时，避免出现符号错误。

2. nCr 记号与通项公式★★★☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

📘 定义

nCr（二项式系数）

\binom{n}{r}

从 $n$ 个不同元素中选出 $r$ 个元素的组合数，计算公式为 $(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ ，其中 $n! = n \times (n - 1) \times ... \times 1$ 。

例:

$(2 5) = \frac{5 !}{2 ! 3 !} = 10$

二项式展开的通项可以让你无需展开整个表达式就求出指定项。 $(a + b)^{n}$ 的第 $(r + 1)$ 项由下式给出：

T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r

📐 例题

求 $(3 x + 1)^{8}$ 展开式中 $x^{5}$ 的系数。

1
1. 确定 $n = 8$ ， $a = 3 x$ ， $b = 1$ 。我们需要 $x$ 的幂次为5的项，因此 $n - r = 5$ → $r = 3$ 。
2
1. 将 $r = 3$ 代入通项公式：
3
$T_{4} = \binom{8}{3} (3x)^{5} (1)^3$
4
1. 计算系数各部分的值： $(3 8) = 56$ ， $3^{5} = 243$
5
1. 相乘得到最终系数： $56 \times 243 = 13608$

Exam tip:

注意 $r$ 从0开始计数，因此第 $r$ 个组合数对应的是第 $(r + 1)$ 项。混淆这个偏移量是本知识点最常见的考试错误之一。

3. 计算与x无关的项★★★★☆⏱ 10 min

📘 定义

与x无关的项

二项式展开中的常数项， $x$ 的总指数为0，因此该项不含 $x$ 变量，仅为数值。

要找到与 $x$ 无关的项，先将所有含 $x$ 的项改写为正指数或负指数形式，令通项中 $x$ 的总指数等于0，求解 $r$ ，若 $r$ 是介于0和 $n$ 之间的合法非负整数，再将其代回通项即可。

📐 例题

求 $(2 x + \frac{1}{x ^{2}})^{9}$ 展开式中与 $x$ 无关的项。

1
1. 写出该展开式的通项：
2
$T_{r+1} = \binom{9}{r} (2x)^{9 - r} (x^{-2})^r$
3
1. 化简 $x$ 的总指数： $(9 - r) - 2 r = 9 - 3 r$
4
1. 令指数等于0并求解 $r$ ： $9 - 3 r = 0$ → $r = 3$
5
1. 将 $r = 3$ 代回通项：
6
$\binom{9}{3}(2x)^{6}(x^{-2})^{3} = \binom{9}{3}\,2^{6}\,x^{6}\cdot x^{-6} = 84 \times 64 = 5376$

Exam tip:

先将分母中含有 $x$ 的分数改写为负指数形式，避免在计算 $x$ 的指数和时出错。

4. 考试题型级别的二项式应用问题★★★★☆⏱ 15 min

考试题通常要求你利用二项式展开对小数值进行小数近似，或者求多个二项式表达式乘积的系数。对于近似类题目，你只需要计算会影响要求小数位数的项即可。

📐 例题

利用二项式定理求 $(1.02)^{5}$ 的值，结果保留3位小数。

1
1. 将 $1.02$ 改写为 $1 + 0.02$ ，因此 $n = 5$ ， $a = 1$ ， $b = 0.02$
2
1. 展开到会影响3位小数的项为止：
3
$(1 + 0.02)^5 = 1 + \binom{5}{1}(0.02) + \binom{5}{2}(0.02)^2 + \binom{5}{3}(0.02)^3 + ...$
4
1. 计算所有不可忽略的项：
5
$1 + 5(0.02) + 10(0.0004) + 10(0.000008) = 1 + 0.1 + 0.004 + 0.00008 = 1.10408$
6
1. 四舍五入保留3位小数： $1.104$

Exam tip:

对于第1卷非计算器考题，当 $n$ 较小时使用帕斯卡三角来节省时间，无需手动计算nCr值。

5. 常见陷阱

错误做法:

将项数错写为 $r$ 而非 $r + 1$

原因:

通项 $T_{r + 1}$ 中r从0开始计数，因此r=0对应第1项，而非第0项。

正确做法:

始终将r加1得到项的位置，或先通过匹配所需的x指数求解r值。

错误做法:

展开 $(a - b)^{n}$ 时忽略第二项的负号

原因:

负号是b的一部分，因此它会被取r次幂，当b为负时项的符号会交替变化。

正确做法:

代入展开公式前，先将b明确写为负值，避免符号错误。

错误做法:

对二项式展开使用分数或负值的n

原因:

这是0606不考查的A Level内容，用于正整数n的题目会得到错误结果。

正确做法:

仅按照题目要求，将二项式定理应用于正整数n的场景。

错误做法:

求x无关项时错误计算x的指数

原因:

分母中带有x的项具有负指数，如果不先改写，指数相加时很容易出错。

正确做法:

先将所有含x的项改写为负指数形式，再将指数相加并令总和等于0。

错误做法:

生成帕斯卡三角形时取错n对应的行

原因:

帕斯卡三角形从n=0开始（第0行为[1]），因此第n行对应指数n，而非从1开始计数的行号。

正确做法:

从0开始计数行号，例如n=4时，使用首尾均为1、共5个元素的行。

6. 速查表

概念	公式/规则	考试提示
基础展开	$(a + b)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (r n) a^{n - r} b^{r}$	n仅取正整数
帕斯卡三角形	第n行第r个元素 = $(r n)$	第0行 = [1]，第1行 = [1,1]
通项	$T_{r + 1} = (r n) a^{n - r} b^{r}$	项数 = r+1，r从0开始计数
x无关项	令x的总指数等于0，求解r	仅当r为满足0 ≤ r ≤ n的整数时有效
nCr计算	$(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!} = (n - r n)$	卷2中可使用计算器的nCr功能

7. 常见问题

备考0606需要熟记帕斯卡三角形吗？

你可以自行生成到所需n值的帕斯卡三角形，也可以使用nCr公式，两种方式都被认可。在卷2中，使用计算器的nCr功能处理较大的n值会更快捷。

在0606考试中，我可以对二项式展开使用分数或负数值的n吗？

不可以，0606仅考查正整数n的情况。分数/负指数展开属于A Level内容，本考试不做要求。

为什么通项写作 $T_{r + 1}$ 而不是 $T_{r}$ ？

r从0开始计数，因此第一项对应r=0（即 $T_{1}$ ），第二项对应r=1（即 $T_{2}$ ），以此类推。这种偏移和二项式系数的nCr索引是匹配的。

深入阅读

下一步

掌握正整数n的二项式定理后，你可以运用该技能解答更复杂的级数问题，包括CIE IGCSE附加数学0606试卷中高频出现的结合微积分与代数化简的题目。你现在可以练习该专题的历年真题，之后继续学习级数板块的其他核心内容，例如等差数列与等比数列。请务必同时练习可使用计算器和不可使用计算器的题目，为卷1和卷2做好充分准备。