# 二项式定理（正整数n）

> CIE IGCSE 附加数学 · 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u12-binomial-theorem/

本指南将教你使用帕斯卡三角形和nCr记号展开正整数次幂的二项式表达式，求出包括x无关项在内的指定项，并解答符合CIE IGCSE附加数学0606考试要求的习题。

**先修:** 基础代数展开与指数运算法则; 排列与组合基础

## 学习目标

- 使用帕斯卡三角形和nCr记号展开正整数次幂的$(a+b)^n$
- 使用通项公式求二项式展开中的指定项和系数
- 计算代数表达式二项式展开中的x无关项
- 应用二项式展开解答0606卷1和卷2中的结构化考题

## 帕斯卡三角与二项式基础展开

**二项式定理（正整数n情形）** — 对于任意正整数$n$，$(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + ... + b^n$，其中各项系数对应帕斯卡三角第$n$行的元素。

*例:* $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

帕斯卡三角从$n=0$对应的行（数值为[1]）开始，后续每一行都由上一行的相邻元素相加得到。第$n$行的每一个元素都是$(a+b)^n$展开式对应项的系数。

**例题:** 利用帕斯卡三角展开$(2x - 3)^4$。

1. 1. 确定帕斯卡三角的第4行：$[1, 4, 6, 4, 1]$
2. 2. 将$a=2x$、$b=-3$、$n=4$代入展开公式：
3. $$(2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4$$
4. 3. 逐项单独化简：
5. $$16x^4 + 4(8x^3)(-3) + 6(4x^2)(9) + 4(2x)(-27) + 81$$
6. 4. 合并化简后的项，得到最终展开式：
7. $$16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$$

> **考试提示:** 代入展开式时务必带上第二项的符号，尤其是当该项为负数时，避免出现符号错误。

*计算器:* forbidden

## nCr 记号与通项公式

**nCr（二项式系数）** — 从$n$个不同元素中选出$r$个元素的组合数，计算公式为$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$，其中$n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$。

*记法:* \binom{n}{r}

*例:* $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = 10$

二项式展开的通项可以让你无需展开整个表达式就求出指定项。$(a+b)^n$的第$(r+1)$项由下式给出：

$$T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$$

**例题:** 求$(3x + 1)^8$展开式中$x^5$的系数。

1. 1. 确定$n=8$，$a=3x$，$b=1$。我们需要$x$的幂次为5的项，因此$n - r = 5$ → $r = 3$。
2. 2. 将$r=3$代入通项公式：
3. $$T_{4} = \binom{8}{3} (3x)^{5} (1)^3$$
4. 3. 计算系数各部分的值：$\binom{8}{3} = 56$，$3^5 = 243$
5. 4. 相乘得到最终系数：$56 \times 243 = 13608$

> **考试提示:** 注意$r$从0开始计数，因此第$r$个组合数对应的是第$(r+1)$项。混淆这个偏移量是本知识点最常见的考试错误之一。

*计算器:* allowed

## 计算与x无关的项

**与x无关的项** — 二项式展开中的常数项，$x$的总指数为0，因此该项不含$x$变量，仅为数值。

要找到与$x$无关的项，先将所有含$x$的项改写为正指数或负指数形式，令通项中$x$的总指数等于0，求解$r$，若$r$是介于0和$n$之间的合法非负整数，再将其代回通项即可。

**例题:** 求$(2x + \frac{1}{x^2})^9$展开式中与$x$无关的项。

1. 1. 写出该展开式的通项：
2. $$T_{r+1} = \binom{9}{r} (2x)^{9 - r} (x^{-2})^r$$
3. 2. 化简$x$的总指数：$(9 - r) - 2r = 9 - 3r$
4. 3. 令指数等于0并求解$r$：$9 - 3r = 0$ → $r = 3$
5. 4. 将$r=3$代回通项：
6. $$\binom{9}{3}(2x)^{6}(x^{-2})^{3} = \binom{9}{3}\,2^{6}\,x^{6}\cdot x^{-6} = 84 \times 64 = 5376$$

> **考试提示:** 先将分母中含有$x$的分数改写为负指数形式，避免在计算$x$的指数和时出错。

## 考试题型级别的二项式应用问题

考试题通常要求你利用二项式展开对小数值进行小数近似，或者求多个二项式表达式乘积的系数。对于近似类题目，你只需要计算会影响要求小数位数的项即可。

**例题:** 利用二项式定理求$(1.02)^5$的值，结果保留3位小数。

1. 1. 将$1.02$改写为$1 + 0.02$，因此$n=5$，$a=1$，$b=0.02$
2. 2. 展开到会影响3位小数的项为止：
3. $$(1 + 0.02)^5 = 1 + \binom{5}{1}(0.02) + \binom{5}{2}(0.02)^2 + \binom{5}{3}(0.02)^3 + ...$$
4. 3. 计算所有不可忽略的项：
5. $$1 + 5(0.02) + 10(0.0004) + 10(0.000008) = 1 + 0.1 + 0.004 + 0.00008 = 1.10408$$
6. 4. 四舍五入保留3位小数：$1.104$

> **考试提示:** 对于第1卷非计算器考题，当$n$较小时使用帕斯卡三角来节省时间，无需手动计算nCr值。

## 常见错误

- **错误做法:** 将项数错写为$r$而非$r+1$
  - 原因: 通项$T_{r+1}$中r从0开始计数，因此r=0对应第1项，而非第0项。
  - 正确做法: 始终将r加1得到项的位置，或先通过匹配所需的x指数求解r值。
- **错误做法:** 展开$(a - b)^n$时忽略第二项的负号
  - 原因: 负号是b的一部分，因此它会被取r次幂，当b为负时项的符号会交替变化。
  - 正确做法: 代入展开公式前，先将b明确写为负值，避免符号错误。
- **错误做法:** 对二项式展开使用分数或负值的n
  - 原因: 这是0606不考查的A Level内容，用于正整数n的题目会得到错误结果。
  - 正确做法: 仅按照题目要求，将二项式定理应用于正整数n的场景。
- **错误做法:** 求x无关项时错误计算x的指数
  - 原因: 分母中带有x的项具有负指数，如果不先改写，指数相加时很容易出错。
  - 正确做法: 先将所有含x的项改写为负指数形式，再将指数相加并令总和等于0。
- **错误做法:** 生成帕斯卡三角形时取错n对应的行
  - 原因: 帕斯卡三角形从n=0开始（第0行为[1]），因此第n行对应指数n，而非从1开始计数的行号。
  - 正确做法: 从0开始计数行号，例如n=4时，使用首尾均为1、共5个元素的行。

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 考试提示 |
| --- | --- | --- |
| 基础展开 | $(a+b)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ | n仅取正整数 |
| 帕斯卡三角形 | 第n行第r个元素 = $\binom{n}{r}$ | 第0行 = [1]，第1行 = [1,1] |
| 通项 | $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ | 项数 = r+1，r从0开始计数 |
| x无关项 | 令x的总指数等于0，求解r | 仅当r为满足0 ≤ r ≤ n的整数时有效 |
| nCr计算 | $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \binom{n}{n-r}$ | 卷2中可使用计算器的nCr功能 |

## 下一步

掌握正整数n的二项式定理后，你可以运用该技能解答更复杂的级数问题，包括CIE IGCSE附加数学0606试卷中高频出现的结合微积分与代数化简的题目。你现在可以练习该专题的历年真题，之后继续学习级数板块的其他核心内容，例如等差数列与等比数列。请务必同时练习可使用计算器和不可使用计算器的题目，为卷1和卷2做好充分准备。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u12-binomial-theorem/