等差数列与等比数列

Q: 参加0606考试需要背诵等差数列/等比数列的公式吗？

不需要，所有等差数列/等比数列的所需公式都在试卷1和试卷2的考试公式手册中提供。你只需要知道何时以及如何正确应用这些公式即可。

Q: 什么时候可以使用等比数列的无穷项和公式？

只有当公比满足时，你才可以使用。你必须在考试作答中明确写出该收敛条件才能获得全部分数。

附加数学· 2025-2027 Syllabus, Sections 12.3, 12.4, 12.5· 25 分钟阅读

1. 区分等差数列与等比数列★☆☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

等差数列（AP）

$a, a + d, a + 2 d, a + 3 d, ...$

相邻两项的差值为恒定公差 $d$ 的数列，公差可以为正、负或零。

例:

2, 5, 8, 11, ... （d = 3）

📘 定义

等比数列（GP）

$a, a r, a r^{2}, a r^{3}, ...$

每一项为前一项乘以恒定公比 $r$ 的数列，公比可以为正、负、整数或分数。

例:

4, 2, 1, 0.5, ... （r = 1/2）

📐 例题

将以下数列分类为等差数列、等比数列或两者都不是：(a) 12, 7, 2, -3, ... (b) 3, 9, 27, 81, ... (c) 1, 4, 9, 16, ...

1
对于(a)：计算相邻项的差值： $7 - 12 = - 5$ , $2 - 7 = - 5$ , $- 3 - 2 = - 5$ 。恒定差值为-5 → 等差数列。
2
对于(b)：计算相邻项的比值： $9/3 = 3$ , $27/9 = 3$ , $81/27 = 3$ 。恒定比值为3 → 等比数列。
3
对于(c)：差值： $4 - 1 = 3$ , $9 - 4 = 5$ , $16 - 9 = 7$ （不为常数）。比值： $4/1 = 4$ , $9/4 = 2.25$ , $16/9 \approx 1.78$ （不为常数）→ 两者都不是。

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数列2, -4, 8, -16, ...是等差数列、等比数列还是两者都不是？
- 等差数列
- 等比数列
- 两者都不是
显示答案
GP —
正确，该数列公比为-2，所有相邻项的比值均为常数。
等差数列10, 5, 0, -5, ...的公差是多少？
- 5
- 0
- -5
- 10
显示答案
-5 —
正确，相邻项相减可得 $5 - 10 = - 5$ ，差值为常数。

2. 等差数列的第n项与前n项和★★☆☆☆⏱ 7 min

等差数列的第n项公式与前n项和公式可在考试公式手册中查阅。对于首项为 $a$ 、公差为 $d$ 、项数为 $n$ 的等差数列：

u_n = a + (n-1)d, \quad S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}(a + l)

📐 例题

某等差数列首项为7，公差为-2。求(a)第15项，(b)前20项的和。

1
确定已知数值： $a = 7$ , $d = - 2$ 。对于(a)， $n = 15$ 。
2
代入第n项公式:
$u_{15} = 7 + (15-1)(-2) = 7 - 28 = -21$
3
对于(b)， $n = 20$ ，代入求和公式:
$S_{20} = \frac{20}{2}[2(7) + (20-1)(-2)] = 10(14 - 38) = -240$

Exam tip:

当题目给出数列的和时，可根据需要将求和公式整理为二次方程，这是常见的考试题型。请务必明确写出你所使用的a、d、n的取值，避免计算错误。

3. 等比数列的第n项与前n项和★★★☆☆⏱ 7 min

等比数列的第n项公式与有限项和公式同样可在考试手册中查阅。对于首项为 $a$ 、公比为 $r$ 、共 $n$ 项的等比数列：

u_n = ar^{n-1}, \quad S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)

📐 例题

某等比数列首项为2，公比为3。求(a)第6项，(b)前8项的和。

1
确定已知数值： $a = 2$ , $r = 3$ 。对于(a)， $n = 6$ 。
2
代入第n项公式:
$u_6 = 2 \times 3^{6-1} = 2 \times 243 = 486$
3
对于(b)， $n = 8$ ，使用适用于 $r > 1$ 的求和公式:
$S_8 = \frac{2(3^8 - 1)}{3 - 1} = 6561 - 1 = 6560$

📐 例题

某等差数列的第3、5、8项是某等比数列的三个连续项，且该等差数列的公差不为零。求该等比数列的公比。

1
步骤1：使用 $u_{n} = a + (n - 1) d$ 写出等差数列的这三项：
$u_3 = a + 2d, \quad u_5 = a + 4d, \quad u_8 = a + 7d$
2
步骤2：等比数列的三个连续项满足（中间项） $^{2}$ = （首项）×（末项），即中间项为几何平均数：
$(a + 4d)^2 = (a + 2d)(a + 7d)$
3
步骤3：展开等式两侧：
$a^2 + 8ad + 16d^2 = a^2 + 9ad + 14d^2$
4
步骤4：消去 $a^{2}$ 并合并同类项：
$2d^2 = ad$
5
步骤5：由于 $d \neq = 0$ ，等式两侧除以 $d$ 可得 $a = 2 d$ 。代回原式求出等比数列的三个项：
$u_3 = 4d, \quad u_5 = 6d, \quad u_8 = 9d$
6
步骤6：公比为相邻两项的比值：
$r = \frac{u_5}{u_3} = \frac{6d}{4d} = \frac{3}{2}$

✓ 快速检测

某等比数列满足 $a = 16$ ， $r = 1/2$ ，求 $S_{4}$ 。
显示答案
30 —
正确： $S_{4} = 16 \times \frac{1 - ( 0.5 ) ^{4}}{1 - 0.5} = 30$

4. 收敛等比数列的无穷项和★★★★☆⏱ 6 min

📘 定义

收敛等比数列

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

公比的绝对值小于1（ $∣ r ∣ < 1$ ）的等比数列，其项会逐渐趋近于零，因此无穷多项的和为固定的有限值。

📐 例题

某等比数列首项为18，公比为1/3。(a) 证明该等比数列收敛。(b) 求其无穷项和。

1
对于(a)：计算得 $∣ r ∣ = ∣1/3∣ = 1/3 < 1$ ，因此该等比数列收敛。
2
对于(b)，将 $a = 18$ 和 $r = 1/3$ 代入无穷项和公式：
$S_\infty = \frac{18}{1 - 1/3} = \frac{18}{2/3} = 27$

Exam tip:

在等比数列问题中，若需要找到满足 $u_{n}$ 或 $S_{n}$ 符合给定条件的最小 $n$ ，可使用对数求解，这符合0606考纲的要求。

5. 常见陷阱

错误做法:

混淆等差数列和等比数列的公式，对等比数列的项使用加法而非乘法

原因:

学生混淆等差数列和等比数列的序列结构，导致代入错误

正确做法:

始终先确认数列类型，在代入任何公式前明确写出首项a、公差d/公比r

错误做法:

对满足|r| ≥ 1的等比数列使用无穷项和公式

原因:

忘记收敛条件会导致发散等比数列得到无效的有限和结果，丢失步骤分

正确做法:

每次使用 $S_{\infty}$ 时，都要在作答中先说明并验证|r| < 1

错误做法:

等比数列第n项的指数位置使用 $n$ 而非 $n - 1$

原因:

首项为 $a r^{0}$ ，因此第n项的指数为n-1而非n，会导致差1错误

正确做法:

用n=1测试你的第n项公式：得到的结果应当等于给定的首项a

错误做法:

计算等比数列的项或和时对中间值进行舍入

原因:

过早舍入会累积误差，尤其是当公比r为非整数时

正确做法:

将中间值保留为精确分数或指数形式直到最后一步，再按要求进行舍入

错误做法:

默认所有序列都是等差数列或等比数列

原因:

很多考试题会包含既不是等差也不是等比的序列，来考察你验证数列类型的能力

正确做法:

在应用任何等差/等比数列公式前，始终先检查是否存在恒定公差（等差）或恒定公比（等比）

6. 速查表

数列类型	第n项公式	前n项和	无穷项和（若有效）
等差数列 (AP)	$u_{n} = a + (n - 1) d$	$S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d] = \frac{n}{2} (a + l)$	等差数列不存在有限的无穷项和
等比数列 (GP)	$u_{n} = a r^{n - 1}$	$S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ ( $r \neq = 1$ )	$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ ，仅在 $∣ r ∣ < 1$ 时有效

7. 常见问题

参加0606考试需要背诵等差数列/等比数列的公式吗？

不需要，所有等差数列/等比数列的所需公式都在试卷1和试卷2的考试公式手册中提供。你只需要知道何时以及如何正确应用这些公式即可。

什么时候可以使用等比数列的无穷项和公式？

只有当公比满足 $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ 时，你才可以使用 $∣ r ∣ < 1$ 。你必须在考试作答中明确写出该收敛条件才能获得全部分数。

深入阅读

official_resourceCIE 0606 2025-2027 Syllabus本知识点的官方考纲参考

下一步

现在你已经掌握了等差数列和等比数列的核心技能，可以开始应对CIE 0606考试中常见的级数综合问题和应用题。数列知识点经常和代数、对数结合，用于求解n、d或r的未知值，因此巩固你的代数运算能力可以帮助你高效解决更复杂的考试题目。接下来的学习中，请练习同时包含等差和等比数列概念的历年真题，这类高分题目可以考察你区分数列类型、选用正确公式的能力。你也可以将级数技能应用到复利、人口增长等实际场景中，这些都是常见的考试背景。