# 等差数列与等比数列

> 附加数学 · CIE IGCSE 0606
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u12-arithmetic-and-geometric-progressions/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学0606的等差数列/等比数列核心技能，包括数列识别、第n项计算、有限项和以及收敛等比数列的无穷项和，配套符合考试要求的完整例题。

**先修:** 基础代数运算以及一元一次/二次方程求解; 绝对值和基础不等式规则

## 学习目标

- 从给定序列中区分等差数列（AP）和等比数列（GP）
- 使用给定公式计算等差数列和等比数列的第n项以及前n项和
- 证明等比数列的收敛性，并在|r| < 1时计算其无穷项和
- 解决结合等差数列和等比数列概念的考试类应用题

## 区分等差数列与等比数列

**等差数列（AP）** — 相邻两项的差值为恒定公差$d$的数列，公差可以为正、负或零。

*记法:* $a, a+d, a+2d, a+3d, ...$

*例:* 2, 5, 8, 11, ... （d = 3）

**等比数列（GP）** — 每一项为前一项乘以恒定公比$r$的数列，公比可以为正、负、整数或分数。

*记法:* $a, ar, ar^2, ar^3, ...$

*例:* 4, 2, 1, 0.5, ... （r = 1/2）

> **tip**
>
> 验证数列为等差数列：检查对所有n，$u_{n+1} - u_n$均为常数。验证数列为等比数列：检查对所有n，$\frac{u_{n+1}}{u_n}$均为常数。

**例题:** 将以下数列分类为等差数列、等比数列或两者都不是：(a) 12, 7, 2, -3, ... (b) 3, 9, 27, 81, ... (c) 1, 4, 9, 16, ...

1. 对于(a)：计算相邻项的差值：$7-12=-5$, $2-7=-5$, $-3-2=-5$。恒定差值为-5 → 等差数列。
2. 对于(b)：计算相邻项的比值：$9/3=3$, $27/9=3$, $81/27=3$。恒定比值为3 → 等比数列。
3. 对于(c)：差值：$4-1=3$, $9-4=5$, $16-9=7$（不为常数）。比值：$4/1=4$, $9/4=2.25$, $16/9≈1.78$（不为常数）→ 两者都不是。

**概念自测**

1. 数列2, -4, 8, -16, ...是等差数列、等比数列还是两者都不是？

   - 等差数列
   - 等比数列
   - 两者都不是

   *解析:* 正确，该数列公比为-2，所有相邻项的比值均为常数。

2. 等差数列10, 5, 0, -5, ...的公差是多少？

   - 5
   - 0
   - -5
   - 10

   *解析:* 正确，相邻项相减可得$5-10=-5$，差值为常数。

## 等差数列的第n项与前n项和

等差数列的第n项公式与前n项和公式可在考试公式手册中查阅。对于首项为$a$、公差为$d$、项数为$n$的等差数列：

$$u_n = a + (n-1)d, \quad S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}(a + l)$$

> **note**
>
> $l$代表等差数列的末项，若你已知要求和的数列的首项和末项，可使用该符号作为快捷计算方式。

**例题:** 某等差数列首项为7，公差为-2。求(a)第15项，(b)前20项的和。

1. 确定已知数值：$a=7$, $d=-2$。对于(a)，$n=15$。
2. 代入第n项公式:

   $$u_{15} = 7 + (15-1)(-2) = 7 - 28 = -21$$
3. 对于(b)，$n=20$，代入求和公式:

   $$S_{20} = \frac{20}{2}[2(7) + (20-1)(-2)] = 10(14 - 38) = -240$$

> **考试提示:** 当题目给出数列的和时，可根据需要将求和公式整理为二次方程，这是常见的考试题型。请务必明确写出你所使用的a、d、n的取值，避免计算错误。

## 等比数列的第n项与前n项和

等比数列的第n项公式与有限项和公式同样可在考试手册中查阅。对于首项为$a$、公比为$r$、共$n$项的等比数列：

$$u_n = ar^{n-1}, \quad S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$

> **tip**
>
> 当$r>1$时，使用变形后的求和公式$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$，可避免分子分母出现负数，减少计算错误。

**例题:** 某等比数列首项为2，公比为3。求(a)第6项，(b)前8项的和。

1. 确定已知数值：$a=2$, $r=3$。对于(a)，$n=6$。
2. 代入第n项公式:

   $$u_6 = 2 \times 3^{6-1} = 2 \times 243 = 486$$
3. 对于(b)，$n=8$，使用适用于$r>1$的求和公式:

   $$S_8 = \frac{2(3^8 - 1)}{3 - 1} = 6561 - 1 = 6560$$

**例题:** 某等差数列的第3、5、8项是某等比数列的三个连续项，且该等差数列的公差不为零。求该等比数列的公比。

1. 步骤1：使用$u_n = a + (n-1)d$写出等差数列的这三项：

   $$u_3 = a + 2d, \quad u_5 = a + 4d, \quad u_8 = a + 7d$$
2. 步骤2：等比数列的三个连续项满足（中间项）$^2$ = （首项）×（末项），即中间项为几何平均数：

   $$(a + 4d)^2 = (a + 2d)(a + 7d)$$
3. 步骤3：展开等式两侧：

   $$a^2 + 8ad + 16d^2 = a^2 + 9ad + 14d^2$$
4. 步骤4：消去$a^2$并合并同类项：

   $$2d^2 = ad$$
5. 步骤5：由于$d \neq 0$，等式两侧除以$d$可得$a = 2d$。代回原式求出等比数列的三个项：

   $$u_3 = 4d, \quad u_5 = 6d, \quad u_8 = 9d$$
6. 步骤6：公比为相邻两项的比值：

   $$r = \frac{u_5}{u_3} = \frac{6d}{4d} = \frac{3}{2}$$

**概念自测**

1. 某等比数列满足$a=16$，$r=1/2$，求$S_4$。

   *解析:* 正确：$S_4 = 16 \times \frac{1 - (0.5)^4}{1 - 0.5} = 30$

## 收敛等比数列的无穷项和

**收敛等比数列** — 公比的绝对值小于1（$|r| < 1$）的等比数列，其项会逐渐趋近于零，因此无穷多项的和为固定的有限值。

*记法:* $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$

> **warning**
>
> 在考试中使用无穷项和公式时，你必须明确说明$|r| < 1$（若未给出$r$则需要证明）才能获得全部分数。若$|r| \geq 1$，该等比数列为发散数列，不存在有限的无穷项和。

**例题:** 某等比数列首项为18，公比为1/3。(a) 证明该等比数列收敛。(b) 求其无穷项和。

1. 对于(a)：计算得$|r| = |1/3| = 1/3 < 1$，因此该等比数列收敛。
2. 对于(b)，将$a=18$和$r=1/3$代入无穷项和公式：

   $$S_\infty = \frac{18}{1 - 1/3} = \frac{18}{2/3} = 27$$

> **考试提示:** 在等比数列问题中，若需要找到满足$u_n$或$S_n$符合给定条件的最小$n$，可使用对数求解，这符合0606考纲的要求。

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆等差数列和等比数列的公式，对等比数列的项使用加法而非乘法
  - 原因: 学生混淆等差数列和等比数列的序列结构，导致代入错误
  - 正确做法: 始终先确认数列类型，在代入任何公式前明确写出首项a、公差d/公比r
- **错误做法:** 对满足|r| ≥ 1的等比数列使用无穷项和公式
  - 原因: 忘记收敛条件会导致发散等比数列得到无效的有限和结果，丢失步骤分
  - 正确做法: 每次使用$S_\infty$时，都要在作答中先说明并验证|r| < 1
- **错误做法:** 等比数列第n项的指数位置使用$n$而非$n-1$
  - 原因: 首项为$ar^0$，因此第n项的指数为n-1而非n，会导致差1错误
  - 正确做法: 用n=1测试你的第n项公式：得到的结果应当等于给定的首项a
- **错误做法:** 计算等比数列的项或和时对中间值进行舍入
  - 原因: 过早舍入会累积误差，尤其是当公比r为非整数时
  - 正确做法: 将中间值保留为精确分数或指数形式直到最后一步，再按要求进行舍入
- **错误做法:** 默认所有序列都是等差数列或等比数列
  - 原因: 很多考试题会包含既不是等差也不是等比的序列，来考察你验证数列类型的能力
  - 正确做法: 在应用任何等差/等比数列公式前，始终先检查是否存在恒定公差（等差）或恒定公比（等比）

## 速查表

| 数列类型 | 第n项公式 | 前n项和 | 无穷项和（若有效） |
| --- | --- | --- | --- |
| 等差数列 (AP) | $u_n = a + (n-1)d$ | $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}(a+l)$ | 等差数列不存在有限的无穷项和 |
| 等比数列 (GP) | $u_n = ar^{n-1}$ | $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ ($r≠1$) | $S_\infty = \frac{a}{1-r}$，仅在$\|r\| < 1$时有效 |

## 下一步

现在你已经掌握了等差数列和等比数列的核心技能，可以开始应对CIE 0606考试中常见的级数综合问题和应用题。数列知识点经常和代数、对数结合，用于求解n、d或r的未知值，因此巩固你的代数运算能力可以帮助你高效解决更复杂的考试题目。接下来的学习中，请练习同时包含等差和等比数列概念的历年真题，这类高分题目可以考察你区分数列类型、选用正确公式的能力。你也可以将级数技能应用到复利、人口增长等实际场景中，这些都是常见的考试背景。

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