# 排列与组合

> 附加数学 · CIE IGCSE 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u11-permutations-and-combinations/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学0606要求的全部排列与组合内容，包括阶乘计算、区分不同计数方法、求解带约束的排布和选取问题。

**先修:** 掌握基础的计数乘法原理; 熟悉代数分式的化简方法

## 学习目标

- 区分排列（顺序相关）与组合（顺序无关）
- 使用规则$0! = 1$计算阶乘、$^nP_r$和$^nC_r$的值
- 求解带简单必选/必不选约束的排列排布问题
- 求解带简单必选/必不选约束的组合选取问题

## 1. 阶乘记号与核心规则

**阶乘** — 对于正整数n，n!是1到所有正整数的乘积。特殊约定$0! = 1$是排列计算中避免出现未定义值的通用标准规则。

*记法:* n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1

*例:* 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

阶乘是排列与组合计算的基础。在不允许使用计算器的试卷中，务必先约去公有的阶乘项再做乘法，避免计算过大的数值导致出错。

**例题:** 不使用计算器化简$\frac{7!}{4!}$。

1. 步骤1：展开较大的阶乘，将较小的阶乘作为其中一个因子包含在内：

   $$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4!$$
2. 步骤2：约去分子和分母中相同的4!项：

   $$\frac{7!}{4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 7 \times 6 \times 5$$
3. 步骤3：计算最终结果：

   $$7 \times 6 \times 5 = 210$$

> **tip**
>
> 绝大多数不允许使用计算器的题目都不需要你计算出完整的阶乘值：先约分总能简化你的运算过程。

## 2. 排列（顺序相关）

**排列** — 从n个不同物体中选出r个不重复的物体进行有序排列。当交换两个选中的元素会得到不同结果时，就应当使用排列。

*记法:* ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

*例:* 从{A,B,C}中选2个字母进行排列的总方法数：$^3P_2 = 6$（AB, BA, AC, CA, BC, CB）

排列的常见应用场景包括排队安排人员、颁发排名奖项、排列单词中的不同字母等。

**例题:** 4本不同的书在书架上排列，总共有多少种摆放方式？

1. 步骤1：确定n=4，r=4（我们需要排列全部4本书）：

   $$^4P_4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{0!}$$
2. 步骤2：代入$0! = 1$并计算：

   $$\frac{4!}{1} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

> **考试提示**
>
> 如果题目中出现“排列”、“顺序”、“排名”这类表述，几乎可以确定是排列问题。

## 3. 组合（顺序无关）

**组合** — 从n个不同物体中选出r个不重复的物体进行无序选取。当交换两个选中的元素不会改变最终结果时，就应当使用组合。

*记法:* ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

*例:* 从{A,B,C}中选2个字母的总选取方法数：$^3C_2 = 3$（AB, AC, BC）

组合的常见应用场景包括选拔团队、挑选出行物品、在试卷中选择要作答的题目等。

**例题:** 从8名符合条件的学生中选出3人组成委员会，总共有多少种选法？

1. 步骤1：确定n=8，r=3（委员会成员没有等级区分，因此顺序无关）：

   $$^8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}$$
2. 步骤2：约去共有的5!项：

   $$\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6}$$
3. 步骤3：化简得到最终结果：

   $$8 \times 7 = 56$$

> **info**
>
> 你可能会在部分资料中看到$^nC_r$被写作$\binom{n}{r}$：这两种记号在0606考试中都是被认可的。

## 4. 求解带约束的计数问题

绝大多数考试题目都带有简单约束：要么要求特定元素必须被选入/排入，要么要求特定元素必须被排除。请始终优先处理固定的约束条件，再计算剩余部分的自由选择数。

**例题:** 10名学生中有一对双胞胎。若要选出一个4人团队，且必须包含这两名学生，总共有多少种选法？

1. 步骤1：处理“必须包含”的约束：两名指定学生已经确定入选，因此我们只需要从剩下的8名学生中再选出2名成员即可。
2. 步骤2：计算剩余名额的组合数：

   $$^8C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$

**概念自测**

1. 给10名赛跑选手颁发一等奖、二等奖、三等奖，计算总颁奖方式数属于排列问题还是组合问题？

   - 排列
   - 组合

   *解析:* 排名奖项的顺序是有意义的：一等奖和二等奖是不同的结果，因此这是一个排列问题。

> **考试提示**
>
> 对于“必须排除”类的约束，只需要将总元素数n减去需要排除的元素数量，再按常规方法计算排列或组合数即可。

## 5. 涉及 $^nP_r$ 与 $^nC_r$ 的代数问题

考试中非常常见的一类题型是给出包含 $^nP_r$ 或 $^nC_r$ 的方程，要求求出n的值。解题方法始终一致：将每一项替换为其阶乘定义，约去公共阶乘因子，最终得到一个简单的多项式方程（通常是二次方程）进行求解。注意要舍去所有不符合表达式定义的负数或过小的解（要求满足 $n \geq r$）。

**例题:** 已知 $^nC_4 = 6\,{}^nC_2$，求n的值。

1. 步骤1：使用 $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 写出每一项组合的展开形式：

   $$\frac{n!}{4!(n-4)!} = 6 \times \frac{n!}{2!(n-2)!}$$
2. 步骤2：等式两边同时除以非零的 $n!$，再进行交叉相乘：

   $$2!\,(n-2)! = 6 \times 4!\,(n-4)!$$
3. 步骤3：代入 $2! = 2$ 和 $4! = 24$，展开 $(n-2)! = (n-2)(n-3)(n-4)!$，随后约去 $(n-4)!$：

   $$2(n-2)(n-3) = 144$$
4. 步骤4：两边除以2并展开得到二次方程：

   $$(n-2)(n-3) = 72 \;\Rightarrow\; n^2 - 5n - 66 = 0$$
5. 步骤5：因式分解后求解，舍去负根：

   $$(n-11)(n+6) = 0 \;\Rightarrow\; n = 11$$

**例题:** 证明 $^nC_3 + {}^nC_2 = \frac{1}{6}(n^3 - n)$，并据此求解方程 $^nC_3 + {}^nC_2 = 35$。

1. 步骤1：使用阶乘定义将每一项写为乘积形式：

   $$^nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \quad {}^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$$
2. 步骤2：将两项通分到公分母6：

   $$^nC_3 + {}^nC_2 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} + \frac{3n(n-1)}{6}$$
3. 步骤3：从分子中提取公因子 $n(n-1)$：

   $$= \frac{n(n-1)[(n-2)+3]}{6} = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$$
4. 步骤4：由于 $n(n-1)(n+1) = n(n^2-1) = n^3 - n$，恒等式得证：

   $$^nC_3 + {}^nC_2 = \frac{1}{6}(n^3 - n)$$
5. 步骤5：因此令表达式等于35，通过试值法求解得到的三次方程（n必须为满足 $n \geq 3$ 的正整数）：

   $$\frac{1}{6}(n^3 - n) = 35 \;\Rightarrow\; n^3 - n - 210 = 0 \;\Rightarrow\; n = 6$$

> **考试提示**
>
> 展开后，一定要先约去公共的 $n!$（或最大的共享阶乘），再进行后续展开计算。这可以将复杂的阶乘方程转化为易于因式分解的简单二次或三次方程。

## 6. 相邻、不相邻以及至少/至多问题

在0606计数类考题中，有两类约束条件反复出现：第一类是排列问题中指定元素必须相邻或必须不相邻；第二类是选取问题中选出的集合必须包含至少/至多指定数量的某类元素。两类问题都有成熟的标准解法。

**「相邻」问题的捆绑法** — 当k个指定元素在排列中必须相邻时，将它们捆绑为一个整体块。将这个块和其余独立元素作为独立单元排列，得到（单元数）! 种排列方式，再乘以k! 得到块内部元素的排列顺序。对于「不相邻」问题，可以使用补集法：总排列数减去所有指定元素相邻的排列数。

*记法:* \text{arrangements} = (\text{units})! \times k!

*例:* 5个人排成一排，其中2人必须相邻：将这2人捆绑为1个块，共得到4个排列单元，因此总排列数为 $4! \times 2! = 48$。

**例题:** 5名不同的人排成一排拍照。(a) 其中指定的两人A和B相邻的排列方式有多少种？(b) A和B不相邻的排列方式有多少种？

1. (a) 第1步：将A和B捆绑为一个单独的块。这个块和其余3人共得到4个排列单元：

   $$\text{units} = 4 \;\Rightarrow\; 4! = 24$$
2. (a) 第2步：块内部A和B可以排列为AB或BA，共 $2!$ 种内部顺序。将两个阶段的结果相乘：

   $$4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$$
3. (b) 第1步：计算5人无限制的全排列总数：

   $$5! = 120$$
4. (b) 第2步：「不相邻」是「相邻」的补集，因此减去(a)的结果即可：

   $$120 - 48 = 72$$

**例题:** 从15名球员中选出8人组成一支队伍。其中有4名球员是好友，他们要么全部入选，要么全部不入选，否则都不参赛。求这支队伍的可选组成方式总数。

1. 步骤1：选取是无序的，因此使用组合计算。和排列的捆绑法不同，这里不需要乘以内部的 $k!$，因为队伍没有顺序。条件「四人全部入选或全部不入选」可以拆分为两个独立的情况：四人全部入选，或四人全部不入选。
2. 步骤2：情况1——四名好友全部入选。他们占据了8个名额中的4个，因此从其余11名球员中选出剩下的4人：

   $${}^{11}C_{4} = 330$$
3. 步骤3：情况2——四名好友全部不入选。从其余11名球员中选出全部8人：

   $${}^{11}C_{8} = {}^{11}C_{3} = 165$$
4. 步骤4：两种情况互斥，因此将结果相加：

   $$330 + 165 = 495$$

**例题:** 从6名男性和4名女性中选出4人组成一支队伍。若队伍中至少包含2名女性，求可选的组成方式总数。选取是无序的。

1. 步骤1：「至少2名女性」意味着恰好2名、恰好3名或恰好4名女性。将问题拆分情况，使用组合分别计数，因为选取没有顺序。
2. 步骤2：恰好2名女性（对应2名男性）：从4名女性中选2人，从6名男性中选2人：

   $${}^{4}C_{2} \times {}^{6}C_{2} = 6 \times 15 = 90$$
3. 步骤3：恰好3名女性（对应1名男性）：

   $${}^{4}C_{3} \times {}^{6}C_{1} = 4 \times 6 = 24$$
4. 步骤4：恰好4名女性（对应0名男性）：

   $${}^{4}C_{4} \times {}^{6}C_{0} = 1 \times 1 = 1$$
5. 步骤5：将所有情况的结果相加得到最终总数：

   $$90 + 24 + 1 = 115$$
6. 使用补集法验证（总队伍数减去女性人数为0或1的队伍数），两种方法结果一致：

   $${}^{10}C_{4} - ({}^{6}C_{4} + {}^{4}C_{1}\,{}^{6}C_{3}) = 210 - (15 + 80) = 115$$

> **考试提示**
>
> 当符合要求的情况数多于不符合要求的情况数时，优先使用补集法（总情况数减去不符合要求的情况数）：「至少1个」用总情况数减去「0个」的情况计算最快，「不相邻」用总排列数减去「相邻」的排列数计算最快。

## 7. 数字与密码的构造

0606 考试中非常常见的一类题型会给出一组数字，要求计算从中可以构造出多少个k位数，通常还附带额外条件：该数必须为偶数、奇数、能被5整除，或者大于某个指定值。将每一个数位视为待填充的空位，使用乘法原理求解，但务必优先处理有约束的位置。

**构造数字的位置（空位）法** — 先填充约束最多的位置，再依次处理其余位置。末位（个位）的取值由奇偶性、整除性条件决定：偶数的末位为0、2、4、6、8；奇数的末位为1、3、5、7、9；5的倍数的末位为0或5。首位绝对不能为0，否则得到的数位数会不足。当0既允许作为末位、又被禁止出现在首位时，两个约束会对同一个数字产生冲突，因此需要按末位的取值将计数拆分为不同情况分别计算。

*记法:* \text{total} = (\text{choices for restricted slots}) \times (\text{choices for the remaining slots})

*例:* 从集合{1,2,3,4,5}中选取数字构造无重复的三位偶数：个位只能取2或4（共2种选择），剩余4个数字中选2个填充前两位，排列数为$^4P_2 = 12$，总个数为$2 \times 12 = 24$。

**例题:** 使用数字1、2、3、4、5构造无重复数字的三位数，一共可以得到多少个三位偶数？

1. 步骤1：一个数是偶数当且仅当它的个位（末位）是偶数。在{1,2,3,4,5}中，偶数为2和4，因此优先填充这个受约束的位置：

   $$\text{units digit} \in \{2,4\} \Rightarrow 2 \text{ choices}$$
2. 步骤2：现在已经用掉了一个数字，剩余4个数字可用于填充百位和十位。将这4个数字中的2个按顺序排列（此处无需考虑0的问题）：

   $$^4P_2 = 4 \times 3 = 12$$
3. 步骤3：使用乘法原理将各阶段的选择数相乘：

   $$2 \times 12 = 24$$
4. 步骤4（校验）：所有无重复三位数的总排列数为$^5P_3 = 60$。其中奇数的个位属于{1,3,5}（共3种选择），剩余两个空位的排列数为$^4P_2 = 12$，即奇数总个数为$3 \times 12 = 36$。因此偶数的个数为$60 - 36 = 24$，与之前的计算结果一致。

   $$60 - 36 = 24$$

**例题:** 使用数字0、1、2、3、4构造无重复数字的三位数：(a) 一共可以构造出多少个三位数？(b) 其中有多少个是偶数？

1. (a)部分，步骤1：百位（首位）不能为0，否则得到的结果就不是三位数。从{1,2,3,4}中选择百位数字：

   $$\text{hundreds digit} \in \{1,2,3,4\} \Rightarrow 4 \text{ choices}$$
2. (a)部分，步骤2：十位和个位从剩余的4个数字中选取（这一数字集合现在包含0），从这4个数字中选2个按顺序排列：

   $$^4P_2 = 4 \times 3 = 12$$
3. (a)部分，步骤3：将各阶段的选择数相乘：

   $$4 \times 12 = 48$$
4. (b)部分，步骤4：偶数的末位必须是偶数；在{0,1,2,3,4}中，偶数为0、2、4。由于0同时被禁止出现在百位，我们按个位的取值拆分情况，避免两个规则产生冲突。
5. (b)部分，步骤5：情况1 — 个位为0。此时百位可以从{1,2,3,4}中任选（共4种选择），十位从剩余的3个数字中任选：

   $$1 \times 4 \times 3 = 12$$
6. (b)部分，步骤6：情况2 — 个位为2或4（共2种选择）。此时0尚未被使用，但不能放在百位，因此百位有$4 - 1 = 3$种选择，十位从剩余的3个数字中任选：

   $$2 \times 3 \times 3 = 18$$
7. (b)部分，步骤7：将两种情况的结果相加，得到三位偶数的总个数：

   $$12 + 18 = 30$$
8. (b)部分，步骤8（校验）：根据(a)部分的结果，总共有48个三位数。其中奇数的个位属于{1,3}（共2种选择），百位为非零数字（3种选择），十位可任选剩余数字（3种选择），得到奇数总个数为$2 \times 3 \times 3 = 18$。因此偶数的个数为$48 - 18 = 30$，与之前的计算结果一致。

   $$48 - 18 = 30$$

> **考试提示**
>
> 只要你选用的数字集合中包含0，在开始计数前务必先确认两个问题：0能否作为首位（绝对不能），0能否作为末位（仅当要求构造的数是偶数或5的倍数时允许）。如果0同时受到这两条规则的约束，就按末位的取值拆分情况计算，这样就永远不会算错首位的可选数量。

同样的空位法也适用于由混合字符集（字母、数字、符号组合）构成的验证码和密码。优先填充所有受约束的位置，再填充其余位置，对于「至少包含一个某类字符」的条件，可以使用补集法（总个数减去不符合要求的个数）快速计算。

**例题:** 某密码长度为4位，由5个不同字母、3个不同数字和2个不同符号构成（共10个互不相同的字符），字符不允许重复。(a) 一共可以生成多少种不同的密码？(b) 以字母开头、以数字结尾的密码有多少种？(c) 至少包含一个字母的密码有多少种？

1. (a)部分：共有10个不同字符，填充4个有序位置且不允许重复，这是一个基础的排列问题：

   $$^{10}P_4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$
2. (b)部分，步骤1：优先填充两个受约束的位置。第一个字符是5个字母中的任意一个，最后一个字符是3个数字中的任意一个：

   $$5 \times 3 = 15$$
3. (b)部分，步骤2：中间两个位置从剩余的8个字符中选取，按顺序排列：

   $$^8P_2 = 8 \times 7 = 56$$
4. (b)部分，步骤3：将各阶段的选择数相乘：

   $$15 \times 56 = 840$$
5. (c)部分：「至少包含一个字母」用补集法计算最快。完全不含字母的密码仅使用5个非字母字符（3个数字+2个符号）：

   $$^5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$$
6. 将这部分数量从(a)部分的总数量中减去：

   $$5040 - 120 = 4920$$

## 常见错误

- **错误做法:** 对无序选取使用排列（例如从5人中选2人组队时使用$^5P_2$）
  - 原因: 排列会将每个无序对计数两次（例如Alice+Bob和Bob+Alice被视为两个不同结果），但在无序选取中这两个结果是完全相同的。
  - 正确做法: 无序选取使用组合，有序排布使用排列。
- **错误做法:** 忘记$0! = 1$，导致计算$^nP_n$时出现除零错误
  - 原因: 阶乘的定义明确规定$0! = 1$，避免在排布全部n个对象时出现无意义的未定义值。
  - 正确做法: 牢记$0! = 1$是所有阶乘计算必须遵守的硬性规则。
- **错误做法:** 尝试用标准排列公式求解环形排列问题
  - 原因: 环形排列的计数规则不同，且明确不在0606的考纲范围内。
  - 正确做法: 0606的所有排列问题均为线性排列，仅使用标准$^nP_r$公式即可。
- **错误做法:** 在同一问题中混合使用排列和组合
  - 原因: 0606的题目设计为仅使用排列或仅使用组合，二者混用会导致重复计数。
  - 正确做法: 首先确认问题是否要求考虑顺序，之后整个问题仅使用对应的公式。
- **错误做法:** 在非计算器试卷中直接计算完整阶乘值而不先约分
  - 原因: 过大的阶乘值会导致乘法计算容易出错，同时浪费时间。
  - 正确做法: 相乘之前先将分子和分母中的公共阶乘项约去。

## 速查表

| 概念 | 公式 | 适用场景 |
| --- | --- | --- |
| 阶乘 | $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$, $0! = 1$ | 所有计数问题的基础计算 |
| 排列 | $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ | 对象不重复的有序排布 |
| 组合 | $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ | 对象不重复的无序选取 |
| 必选约束（组合/选取） | 固定k个必选对象，再选剩余部分：$^{n-k}C_{r-k}$ | 从n个对象中选r个，要求k个特定对象必须被选中（顺序无关） |
| 必选约束（排列/排布） | 先将k个必选对象放入指定位置（$^{r}P_{k}$），再从剩余对象中选$r-k$个排布（$^{n-k}P_{r-k}$） | 从n个对象中选r个排布，要求k个特定对象必须被包含（顺序相关） |
| 必不选约束 | 将总可选对象数n减去需排除的对象数，保持选取数r不变 | 禁止选取特定对象的问题 |

## 下一步

掌握CIE IGCSE附加数学0606的排列与组合内容后，你可以将这些计数技巧应用到考纲的其他部分，最直接的是二项式定理，其中相同的$^nC_r$系数会出现在$(a+b)^n$的展开式中。排列与组合的题目平均占考试总分的5-8%，因此请练习过往真题以提升解题速度和准确率，尤其是非计算器试卷中的题目，你需要手动化简阶乘分式。请注意环形排列、重复对象以及排列组合混合问题均不属于0606的考察范围，你无需为考试练习这类内容。接下来请学习级数单元（二项式定理与级数），这些计数技巧将被用于推导二项展开式。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u11-permutations-and-combinations/