# 排列与组合

> CIE IGCSE 附加数学 · CIE IGCSE 附加数学 0606
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u11-overview/
> 占比: 占试卷1和试卷2总分的5-8%

本单元介绍排列与组合的核心计数原理，是解决CIE IGCSE附加数学考试中排列和选择类题目的必备知识。

**先修:** 理解阶乘记号（$n!$）

## 学习目标

- 根据选择顺序是否重要来区分排列与组合
- 计算从n个不同元素中一次取r个的排列数，包含相邻元素、排除指定元素等带限制条件的问题
- 计算从n个不同元素中一次取r个的组合数，包含分组和条件选择类问题
- 运用排列与组合规则解决实际场景和考试题型的计数问题

## 单元概览

计数类题目在考试中占固定分值，本单元将搭建逻辑框架，帮助你判断任意给定计数问题应当使用哪条计数规则。你将从基础定义出发，逐步应用规则解决带约束的复杂问题，例如指定元素必须相邻、选择组受限等情况。

本单元包含1个核心子主题，覆盖排列与组合的全部要求内容：
- [排列与组合](https://www.owlsprep.com/study/cie-0606-u11-permutations-and-combinations/) — 涵盖定义、公式、限制条件处理规则，以及常见考试计数题的分步解题指导。

## 常见错误

- **错误做法:** 对无序选择类问题使用排列
  - 原因: 排列统计的是有序排列的总数，将其用于无序分组会导致相同元素集合被重复计数
  - 正确做法: 无序分组使用组合，仅当顺序或位置有要求时使用排列
- **错误做法:** 将「必须相邻」的元素合并为一个整体后，忘记计算该整体内部的排列数
  - 原因: 要求相邻的元素会组成一个单元，但该单元内部的元素之间仍然可以互相排列
  - 正确做法: 将相邻元素打包为一个整体，先排列所有整体，再乘以打包元素内部的排列数
- **错误做法:** 对带重叠选择条件的组合进行重复计数
  - 原因: 应用分层选择规则时多次统计同一组元素，会导致结果被高估
  - 正确做法: 使用补集计数法，或将分组拆分为互不重叠的集合以避免重复

## 速查表

| 公式 | 适用场景 |
| --- | --- |
| $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ | 计算n的阶乘，是所有排列/组合计算的基础 |
| $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ | 从n个不同元素中选取r个的有序排列总数 |
| $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ | 从n个不同元素中选取r个的无序组合总数 |
| $^nP_r = r! \times {}^nC_r$ | 排列与组合的转换关系，适用于求解含n的代数方程类问题 |
| Total arrangements - invalid arrangements | 带多重约束问题的补集计数方法 |

## 下一步

请先学习下方链接的核心「排列与组合」子主题，你将在其中学到定义、规则推导和所有常见考试题型的完整例题解析。掌握这些计数规则后，可以继续学习级数单元，其中会用到相同的$^nC_r$系数来构建二项式展开式。

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