三角恒等式与恒等式证明

CIE IGCSE 附加数学· 10.4, 10.6 (2025-2027)· 25 分钟阅读

1. 3个毕达哥拉斯三角恒等式★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

毕达哥拉斯三角恒等式（0606考纲认可）

0606考试恒等式证明中仅允许使用的三个三角恒等式：
1. $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
2. $sec^{2} θ = 1 + tan^{2} θ$
3. $cosec^{2} θ = 1 + cot^{2} θ$

例:

当θ = 60°时， $sin^{2} 60 + cos^{2} 60 = (\frac{3}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = 1$ ，满足第一个恒等式。

📐 例题

从恒等式 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 推导 $sec^{2} θ = 1 + tan^{2} θ$ 。

1
将 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 的所有项除以 $cos^{2} θ$ ：
2
$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$
3
使用比值定义代入： $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ 且 $sec θ = \frac{1}{c o s θ}$ ：
4
$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$
5
整理得到要求的恒等式。

2. 三角恒等式证明的核心策略★★★☆☆⏱ 8 min

🚫 计算器禁用

证明三角恒等式时，始终从等式更复杂的一侧开始，将其化简以匹配更简单的一侧。你可以分别对两侧进行操作，得到同一个中间表达式，但在最终证明中绝对不能将项从等号的一侧移到另一侧。

首先将所有项用 $sin θ$ 和 $cos θ$ 表示，尽可能消去 $sec, cosec, tan, cot$
寻找机会代入三个毕达哥拉斯恒等式之一来化简平方项
对代数表达式进行因式分解（例如平方差）以约去公因子
使用公分母合并分数，化简有理三角表达式

📐 例题

证明 $tan θ + cot θ = sec θ cosec θ$ 。

1
从左侧（LHS）开始，将tan和cot改写为sin和cos的比值：
2
$LHS = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
3
使用公分母 $sin θ cos θ$ 合并分数：
4
$LHS = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
5
代入 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ ：
6
$LHS = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$
7
拆分为倒数的乘积，匹配右侧（RHS）：
8
$LHS = \frac{1}{\cos \theta} \times \frac{1}{\sin \theta} = \sec \theta \text{cosec} \theta = RHS$
9
恒等式得证。

3. 使用sec²和cosec²恒等式的证明★★★★☆⏱ 7 min

🚫 计算器禁用

大部分高分证明题都会考察sec²和cosec²恒等式的使用。这类题目通常需要整理恒等式来替换平方项，而不是直接使用sin²/cos²恒等式。

📐 例题

证明 $sec^{4} θ - sec^{2} θ = tan^{4} θ + tan^{2} θ$ 。

1
从LHS开始，提取公因子 $sec^{2} θ$ ：
2
$LHS = \sec^2 \theta (\sec^2 \theta - 1)$
3
使用整理后的恒等式 $sec^{2} θ - 1 = tan^{2} θ$ 代入：
4
$LHS = \sec^2 \theta \times \tan^2 \theta$
5
使用恒等式 $sec^{2} θ = 1 + tan^{2} θ$ 改写 $sec^{2} θ$ ：
6
$LHS = (1 + \tan^2 \theta) \tan^2 \theta = \tan^2 \theta + \tan^4 \theta$
7
整理匹配RHS： $tan^{4} θ + tan^{2} θ = R H S$ 。恒等式得证。

✓ 快速检测

哪个代换可以正确化简 $1 - cosec^{2} θ$ ？
- $- cot^{2} θ$
- $cot^{2} θ$
- $- tan^{2} θ$
- $sec^{2} θ$

4. 构建证明步骤以拿到考试满分★★★☆☆⏱ 5 min

📐 例题

一道3分考试题要求：证明 $cosec θ - sin θ = cot θ cos θ$ 。写出可以拿到满分的完整解答。

1
从LHS开始，将cosec改写为sin的倒数：
2
$LHS = \frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta$
3
用公分母 $sin θ$ 合并各项：
4
$LHS = \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta}$
5
代入 $1 - sin^{2} θ = cos^{2} θ$ ：
6
$LHS = \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \cos \theta$
7
代入 $\frac{c o s θ}{s i n θ} = cot θ$ ，得到 $cot θ cos θ = R H S$ 。恒等式得证。

5. 常见陷阱

错误做法:

在证明中使用和角、倍角或其他超出考纲范围的恒等式

原因:

根据0606考纲要求这些是不允许的，即使你的证明逻辑成立阅卷人也会扣分

正确做法:

仅使用三个毕达哥拉斯恒等式和基础三角比定义

错误做法:

在最终证明中将项从等号一侧移到另一侧（例如用LHS减去RHS）

原因:

这相当于在证明前就假设恒等式成立，属于循环逻辑

正确做法:

仅操作一侧，或者分别操作两侧，得到同一个表达式

错误做法:

将 $sin^{2} θ$ 理解为 $sin (θ^{2})$ 而不是 $(sin θ)^{2}$

原因:

误解符号含义会导致代数运算错误

正确做法:

因式分解或化简时，将三角平方项当作普通代数平方项处理

错误做法:

不检查是否为零就从表达式两侧约去 $sin θ$ 或其他三角项

原因:

除以零是未定义的，会产生无效步骤

正确做法:

提取公因子而不是直接约去，或者注明恒等式对所有表达式有定义的取值都成立

错误做法:

记错余割恒等式，写成 $cosec^{2} θ + 1 = cot^{2} θ$

原因:

颠倒项的位置会导致代换错误，结果出错

正确做法:

记住带co的函数配对：sec²和tan²配对，cosec²和cot²配对

6. 速查表

恒等式	整理形式	适用场景
$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$	$1 - sin^{2} θ = cos^{2} θ$ , $1 - cos^{2} θ = sin^{2} θ$	化简正弦/余弦平方项，合并分数
$sec^{2} θ = 1 + tan^{2} θ$	$sec^{2} θ - 1 = tan^{2} θ$ , $sec^{2} θ - tan^{2} θ = 1$	代换正割/正切平方项，对表达式因式分解
$cosec^{2} θ = 1 + cot^{2} θ$	$cosec^{2} θ - 1 = cot^{2} θ$ , $cosec^{2} θ - cot^{2} θ = 1$	代换余割/余切平方项，化简有理表达式
证明策略		从复杂一侧开始，先将所有项用sin/cos表示，寻找毕达哥拉斯代换机会

7. 常见问题

我需要为考试熟记这三个毕达哥拉斯恒等式吗？

是的，尽管部分恒等式可能列在公式手册中，熟记它们将大幅提升你在无计算器的卷1和允许计算器的卷2中的解题速度，同时减少查阅参考资料带来的错误。

我可以在恒等式证明中使用和角或倍角公式吗？

不可以，根据0606考纲要求，恒等式证明仅允许使用三个毕达哥拉斯恒等式和基础三角比定义。使用超出考纲范围的公式即使最终结果正确也会扣分。

深入阅读

syllabus_documentCIE 0606 2025-2027 考纲参见第10节的三角学考试要求

下一步

在掌握了使用三个毕达哥拉斯恒等式证明三角恒等式的方法后，你已经准备好将这些技能应用到三角方程求解中，这是CIE IGCSE附加数学0606三角单元的下一个核心主题。后续学习三角函数求导和积分时你也会用到这些恒等式，因此熟记三个恒等式并定期练习证明题，提升卷1（无计算器）和卷2的解题速度和准确率非常重要。建议你完成历年真题中的恒等式证明题，熟悉常见考试题型和阅卷人的评分要求。