# 三角恒等式与恒等式证明

> CIE IGCSE 附加数学 · 0606
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u10-trig-identities-and-proving-identities/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学0606要求的三个毕达哥拉斯三角恒等式，以及仅使用这些恒等式和基础比值定义证明三角关系的分步策略。

**先修:** 倒数三角比值（sec、cosec、cot）; 基础正弦、余弦、正切比值定义

## 学习目标

- 熟记0606考纲要求的三个毕达哥拉斯三角恒等式
- 应用三角比定义和毕达哥拉斯恒等式证明三角关系
- 避免恒等式证明中常见的逻辑和代数错误
- 规范考试答题结构，在恒等式证明题中拿到满分

## 3个毕达哥拉斯三角恒等式

**毕达哥拉斯三角恒等式（0606考纲认可）** — 0606考试恒等式证明中仅允许使用的三个三角恒等式： <br>1. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ <br>2. $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ <br>3. $\text{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$

*例:* 当θ = 60°时，$\sin^2 60 + \cos^2 60 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$，满足第一个恒等式。

**例题:** 从恒等式$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$推导$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$。

1. 将$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$的所有项除以$\cos^2 \theta$：
2. $$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$
3. 使用比值定义代入：$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 且 $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$：
4. $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$
5. 整理得到要求的恒等式。

**小结**

- 所有三个恒等式都由直角三角形的毕达哥拉斯定理推导而来
- 你可以整理每个恒等式，在证明中用于替换平方项
- 0606的恒等式证明不允许使用其他任何三角恒等式

## 三角恒等式证明的核心策略

证明三角恒等式时，始终从等式更复杂的一侧开始，将其化简以匹配更简单的一侧。你可以分别对两侧进行操作，得到同一个中间表达式，但在最终证明中绝对不能将项从等号的一侧移到另一侧。

- 首先将所有项用$\sin \theta$和$\cos \theta$表示，尽可能消去$\sec, \text{cosec}, \tan, \cot$
- 寻找机会代入三个毕达哥拉斯恒等式之一来化简平方项
- 对代数表达式进行因式分解（例如平方差）以约去公因子
- 使用公分母合并分数，化简有理三角表达式

**例题:** 证明$\tan \theta + \cot \theta = \sec \theta \text{cosec} \theta$。

1. 从左侧（LHS）开始，将tan和cot改写为sin和cos的比值：
2. $$LHS = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$
3. 使用公分母$\sin \theta \cos \theta$合并分数：
4. $$LHS = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$$
5. 代入$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$：
6. $$LHS = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$$
7. 拆分为倒数的乘积，匹配右侧（RHS）：
8. $$LHS = \frac{1}{\cos \theta} \times \frac{1}{\sin \theta} = \sec \theta \text{cosec} \theta = RHS$$
9. 恒等式得证。

> **tip**
>
> 在考试作答时，始终标注你正在处理的一侧（LHS/RHS），让阅卷人清晰看到你的逻辑。

*计算器:* forbidden

## 使用sec²和cosec²恒等式的证明

大部分高分证明题都会考察sec²和cosec²恒等式的使用。这类题目通常需要整理恒等式来替换平方项，而不是直接使用sin²/cos²恒等式。

**例题:** 证明$\sec^4 \theta - \sec^2 \theta = \tan^4 \theta + \tan^2 \theta$。

1. 从LHS开始，提取公因子$\sec^2 \theta$：
2. $$LHS = \sec^2 \theta (\sec^2 \theta - 1)$$
3. 使用整理后的恒等式$\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$代入：
4. $$LHS = \sec^2 \theta \times \tan^2 \theta$$
5. 使用恒等式$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$改写$\sec^2 \theta$：
6. $$LHS = (1 + \tan^2 \theta) \tan^2 \theta = \tan^2 \theta + \tan^4 \theta$$
7. 整理匹配RHS：$\tan^4 \theta + \tan^2 \theta = RHS$。恒等式得证。

**概念自测**

1. 哪个代换可以正确化简$1 - \text{cosec}^2 \theta$？

   - $-\cot^2 \theta$
   - $\cot^2 \theta$
   - $-\tan^2 \theta$
   - $\sec^2 \theta$

   *答案:* $-\cot^2 \theta$

   *解析:* 整理恒等式$\text{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$可得$1 - \text{cosec}^2 \theta = -\cot^2 \theta$。

*计算器:* forbidden

## 构建证明步骤以拿到考试满分

**考试命令词**

CIE阅卷人要求恒等式证明题的步骤清晰、逻辑通顺。你会遇到的关键指令术语包括：

- **Prove that** — 展示从一侧到另一侧的完整逻辑步骤，没有跳步，清晰标注LHS/RHS *(Prove that $\sin^2 \theta (1 + \cot^2 \theta) = 1$)*

- **Show that** — 化简表达式得到给定结果，展示所有中间步骤 *(Show that $(\sec \theta - 1)(\sec \theta + 1) = \tan^2 \theta$)*

**例题:** 一道3分考试题要求：证明$\text{cosec} \theta - \sin \theta = \cot \theta \cos \theta$。写出可以拿到满分的完整解答。

1. 从LHS开始，将cosec改写为sin的倒数：
2. $$LHS = \frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta$$
3. 用公分母$\sin \theta$合并各项：
4. $$LHS = \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta}$$
5. 代入$1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$：
6. $$LHS = \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \cos \theta$$
7. 代入$\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta$，得到$\cot \theta \cos \theta = RHS$。恒等式得证。

> **warning**
>
> 即使最终结果正确，如果你跳过代换步骤或者使用超出考纲范围的恒等式，也会被扣分。

## 常见错误

- **错误做法:** 在证明中使用和角、倍角或其他超出考纲范围的恒等式
  - 原因: 根据0606考纲要求这些是不允许的，即使你的证明逻辑成立阅卷人也会扣分
  - 正确做法: 仅使用三个毕达哥拉斯恒等式和基础三角比定义
- **错误做法:** 在最终证明中将项从等号一侧移到另一侧（例如用LHS减去RHS）
  - 原因: 这相当于在证明前就假设恒等式成立，属于循环逻辑
  - 正确做法: 仅操作一侧，或者分别操作两侧，得到同一个表达式
- **错误做法:** 将$\sin^2 \theta$理解为$\sin(\theta^2)$而不是$(\sin \theta)^2$
  - 原因: 误解符号含义会导致代数运算错误
  - 正确做法: 因式分解或化简时，将三角平方项当作普通代数平方项处理
- **错误做法:** 不检查是否为零就从表达式两侧约去$\sin \theta$或其他三角项
  - 原因: 除以零是未定义的，会产生无效步骤
  - 正确做法: 提取公因子而不是直接约去，或者注明恒等式对所有表达式有定义的取值都成立
- **错误做法:** 记错余割恒等式，写成$\text{cosec}^2 \theta + 1 = \cot^2 \theta$
  - 原因: 颠倒项的位置会导致代换错误，结果出错
  - 正确做法: 记住带co的函数配对：sec²和tan²配对，cosec²和cot²配对

## 速查表

| 恒等式 | 整理形式 | 适用场景 |
| --- | --- | --- |
| $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ | $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$, $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ | 化简正弦/余弦平方项，合并分数 |
| $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ | $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ | 代换正割/正切平方项，对表达式因式分解 |
| $\text{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ | $\text{cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$, $\text{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ | 代换余割/余切平方项，化简有理表达式 |
| 证明策略 |  | 从复杂一侧开始，先将所有项用sin/cos表示，寻找毕达哥拉斯代换机会 |

## 下一步

在掌握了使用三个毕达哥拉斯恒等式证明三角恒等式的方法后，你已经准备好将这些技能应用到三角方程求解中，这是CIE IGCSE附加数学0606三角单元的下一个核心主题。后续学习三角函数求导和积分时你也会用到这些恒等式，因此熟记三个恒等式并定期练习证明题，提升卷1（无计算器）和卷2的解题速度和准确率非常重要。建议你完成历年真题中的恒等式证明题，熟悉常见考试题型和阅卷人的评分要求。

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