六大三角函数、振幅、周期与图像

CIE IGCSE 附加数学· 10.1, 10.2, 10.3· 12 分钟阅读

1. 任意角的六大三角函数★★☆☆☆⏱ 3 min

🚫 计算器禁用

六大三角函数可通过单位圆定义任意大小的角（正角、负角、角度或弧度）。三个倒数三角函数（sec、cosec、cot）由核心的sin、cos、tan函数推导而来。

📘 定义

倒数三角函数

$sec θ = \frac{1}{c o s θ}$ , $cosec θ = \frac{1}{s i n θ}$ , $cot θ = \frac{1}{t a n θ}$

📐 例题

求 $sec (12 0^{\circ})$ 、 $cosec (\frac{3 π}{4})$ 和 $cot (27 0^{\circ})$ 的精确值。

1
1. 计算 $cos (12 0^{\circ}) = - \frac{1}{2}$ ，因此 $sec (12 0^{\circ}) = \frac{1}{- \frac{1}{2}} = - 2$
2
1. 计算 $sin (\frac{3 π}{4}) = \frac{2}{2}$ ，因此 $cosec (\frac{3 π}{4}) = \frac{2}{2} = 2$
3
1. $tan (27 0^{\circ})$ 无定义，因此 $cot (27 0^{\circ}) = 0$ （因为 $cot θ = \frac{c o s θ}{s i n θ} = \frac{0}{- 1} = 0$ ）

2. 三角函数的振幅与周期★★★☆☆⏱ 3 min

🚫 计算器禁用

振幅仅适用于取值范围有界的正弦和余弦函数。六大三角函数均为周期函数，会以固定间隔重复取值。

📘 定义

振幅与周期公式

对于 $y = a sin (b x) + c$ 或 $y = a cos (b x) + c$ ：振幅 = $∣ a ∣$ ，周期 = $\frac{36 0 ^{\circ}}{∣ b ∣}$ （角度制）或 $\frac{2 π}{∣ b ∣}$ （弧度制）。对于 $y = a tan (b x) + c$ ：无振幅，周期 = $\frac{18 0 ^{\circ}}{∣ b ∣}$ （角度制）或 $\frac{π}{∣ b ∣}$ （弧度制）。

📐 例题

求 $y = 3 cos (2 x) + 1$ 和 $y = 2 tan (4 x) - 3$ 的振幅和周期（弧度制）。

1
1. 对于 $y = 3 cos (2 x) + 1$ ： $a = 3$ ， $b = 2$ ，因此振幅 = $∣3∣ = 3$ ，周期 = $\frac{2 π}{2} = π$
2
1. 对于 $y = 2 tan (4 x) - 3$ ：无振幅， $b = 4$ ，因此周期 = $\frac{π}{4}$

3. 变换后的正弦与余弦函数图像★★★☆☆⏱ 4 min

对于变换后的正弦和余弦图像， $a$ 控制振幅， $b$ 缩放周期， $c$ 将整幅图像垂直平移 $c$ 个单位（中线为 $y = c$ ）。

📐 例题

在 $0 \leq x \leq 2 π$ 范围内绘制 $y = 2 sin (3 x) - 1$ 的图像，标注所有关键特征。

1
1. 确定关键值：振幅 = 2，中线 $y = - 1$ ，周期 = $\frac{2 π}{3}$
2
1. 最大值： $- 1 + 2 = 1$ ，最小值： $- 1 - 2 = - 3$
3
1. 在 $0 \leq x \leq 2 π$ 范围内绘制3个完整周期，标记 $y = 1$ 处的峰值、 $y = - 3$ 处的谷值，以及 $y = - 1$ 处的中线交点

4. 变换后的正切函数图像★★★★☆⏱ 3 min

正切图像没有振幅，且在函数无定义的位置存在垂直渐近线。变换形式 $a tan (b x) + c$ 将图像垂直拉伸 $a$ 倍，周期缩放为原来的 $\frac{1}{b}$ ，并垂直平移 $c$ 个单位。

📐 例题

在 $0 \leq x \leq π$ 范围内绘制 $y = tan (2 x) + 0.5$ 的图像，标注渐近线和截距。

1
1. 周期 = $\frac{π}{2}$ ，因此在 $0 \leq x \leq π$ 范围内有2个完整周期
2
1. 渐近线出现在 $2 x = \frac{π}{2} + k π$ 处，因此在给定定义域内 $x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$
3
1. 中线为 $y = 0.5$ ，绘制图像在 $x = 0, \frac{π}{2}, π$ 处穿过中线，向每条渐近线无限趋近但不相交

5. 常见陷阱

错误做法:

误以为sec、cosec、cot是cos、sin、tan的反函数而非倒数

原因:

将倒数函数与考纲不要求的反三角函数混淆，导致数值计算错误

正确做法:

牢记 $sec θ = 1/ cos θ$ , $cosec θ = 1/ sin θ$ , $cot θ = 1/ tan θ$

错误做法:

计算正切函数的振幅

原因:

正切图像在垂直方向无限延伸，没有定义的振幅

正确做法:

仅对正弦、余弦函数及其变换形式计算振幅

错误做法:

将正弦/余弦的周期公式用于正切函数

原因:

正弦和余弦的周期为 $2 π$ ，正切的周期为 $π$ ，因此二者的变换周期公式不同

正确做法:

正弦/余弦使用周期 = $2 π /∣ b ∣$ ，正切使用周期 = $π /∣ b ∣$ （对应的角度值同理）

错误做法:

绘制正切图像时遗漏渐近线标注

原因:

CIE阅卷人会针对三角函数图像题中未标注的渐近线直接扣分

正确做法:

用虚线绘制渐近线，并清晰标注其x坐标

错误做法:

将垂直平移量 $c$ 与振幅混淆

原因:

振幅是到中线的距离，而 $c$ 是中线相对于 $y = 0$ 的位置

正确做法:

首先确定中线 $y = c$ ，再计算从中线出发的最大距离作为振幅

6. 速查表

函数	振幅	周期（弧度）	周期（角度）	关键特征
$y = a sin (b x) + c$	$∣ a ∣$	$\frac{2 π}{∣ b ∣}$	$\frac{36 0 ^{\circ}}{∣ b ∣}$	取值范围: $[c - ∣ a ∣, c + ∣ a ∣]$
$y = a cos (b x) + c$	$∣ a ∣$	$\frac{2 π}{∣ b ∣}$	$\frac{36 0 ^{\circ}}{∣ b ∣}$	取值范围: $[c - ∣ a ∣, c + ∣ a ∣]$
$y = a tan (b x) + c$	无	$\frac{π}{∣ b ∣}$	$\frac{18 0 ^{\circ}}{∣ b ∣}$	渐近线位于 $b x = \frac{π}{2} + k π$
$sec θ$	无	$2 π$	$36 0^{\circ}$	在 $cos θ = 0$ 处无定义
$cosec θ$	无	$2 π$	$36 0^{\circ}$	在 $sin θ = 0$ 处无定义
$cot θ$	无	$π$	$18 0^{\circ}$	在 $tan θ = 0$ 处无定义

下一步

在掌握六大三角函数、振幅、周期及其图像后，你已准备好学习求解三角函数方程，并将这些概念应用到CIE IGCSE附加数学0606考纲的微积分问题中。你将运用图像关键特征的知识，求解给定定义域内涉及多个三角函数的方程，后续还将对三角函数求导和积分，解决运动学和曲线下面积相关问题。请确保定期练习绘制各类变换后的三角函数图像，这类题型在计算器和非计算器试卷中都频繁出现，用于考察你对函数变换和三角性质的理解。