# 六大三角函数、振幅、周期与图像

> CIE IGCSE 附加数学 · 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u10-the-six-trig-functions-amplitude/

本指南涵盖CIE IGCSE附加数学0606考纲要求的全部六大三角函数、振幅、周期以及正弦、余弦、正切图像的变换内容。你将学习绘制图像并识别其关键特征，以应对考试题目。

**先修:** 直角三角形的基础三角比; 弧度制与单位圆

## 学习目标

- 以角度或弧度为单位，定义任意大小角的六大三角函数（sin、cos、tan、sec、cosec、cot）
- 计算正弦、余弦、正切函数及其变换形式的振幅和周期
- 绘制$a \sin(bx)+c$、$a \cos(bx)+c$、$a \tan(bx)+c$的图像，包括正切函数的渐近线
- 从三角函数方程中识别图像的关键特征

## 任意角的六大三角函数

六大三角函数可通过单位圆定义任意大小的角（正角、负角、角度或弧度）。三个倒数三角函数（sec、cosec、cot）由核心的sin、cos、tan函数推导而来。

**倒数三角函数** — $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$, $\cosec \theta = \frac{1}{\sin \theta}$, $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$

**例题:** 求$\sec(120^\circ)$、$\cosec\left(\frac{3\pi}{4}\right)$和$\cot(270^\circ)$的精确值。

1. 1. 计算$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$，因此$\sec(120^\circ) = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$
2. 2. 计算$\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\cosec\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
3. 3. $\tan(270^\circ)$无定义，因此$\cot(270^\circ) = 0$（因为$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{0}{-1} = 0$）

*计算器:* forbidden

## 三角函数的振幅与周期

振幅仅适用于取值范围有界的正弦和余弦函数。六大三角函数均为周期函数，会以固定间隔重复取值。

**振幅与周期公式** — 对于$y = a \sin(bx) + c$或$y = a \cos(bx) + c$：振幅 = $|a|$，周期 = $\frac{360^\circ}{|b|}$（角度制）或$\frac{2\pi}{|b|}$（弧度制）。对于$y = a \tan(bx) + c$：无振幅，周期 = $\frac{180^\circ}{|b|}$（角度制）或$\frac{\pi}{|b|}$（弧度制）。

**例题:** 求$y = 3\cos(2x) + 1$和$y = 2\tan(4x) - 3$的振幅和周期（弧度制）。

1. 1. 对于$y = 3\cos(2x) +1$：$a=3$，$b=2$，因此振幅 = $|3| = 3$，周期 = $\frac{2\pi}{2} = \pi$
2. 2. 对于$y = 2\tan(4x) -3$：无振幅，$b=4$，因此周期 = $\frac{\pi}{4}$

*计算器:* forbidden

## 变换后的正弦与余弦函数图像

对于变换后的正弦和余弦图像，$a$控制振幅，$b$缩放周期，$c$将整幅图像垂直平移$c$个单位（中线为$y=c$）。

> **考试提示**
>
> 绘制正弦/余弦图像时，请务必标注中线、最大值、最小值和x轴截距，以获得全部分数。

**例题:** 在$0 \leq x \leq 2\pi$范围内绘制$y = 2\sin(3x) - 1$的图像，标注所有关键特征。

1. 1. 确定关键值：振幅 = 2，中线$y=-1$，周期 = $\frac{2\pi}{3}$
2. 2. 最大值：$-1 + 2 = 1$，最小值：$-1 -2 = -3$
3. 3. 在$0 \leq x \leq 2\pi$范围内绘制3个完整周期，标记$y=1$处的峰值、$y=-3$处的谷值，以及$y=-1$处的中线交点

## 变换后的正切函数图像

正切图像没有振幅，且在函数无定义的位置存在垂直渐近线。变换形式$a \tan(bx) + c$将图像垂直拉伸$a$倍，周期缩放为原来的$\frac{1}{b}$，并垂直平移$c$个单位。

> **考试提示**
>
> CIE阅卷官要求渐近线使用虚线绘制，并清晰标注渐近线的x坐标；遗漏这些内容每幅图会被扣1-2分。

**例题:** 在$0 \leq x \leq \pi$范围内绘制$y = \tan(2x) + 0.5$的图像，标注渐近线和截距。

1. 1. 周期 = $\frac{\pi}{2}$，因此在$0 \leq x \leq \pi$范围内有2个完整周期
2. 2. 渐近线出现在$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$处，因此在给定定义域内$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$
3. 3. 中线为$y=0.5$，绘制图像在$x=0, \frac{\pi}{2}, \pi$处穿过中线，向每条渐近线无限趋近但不相交

## 常见错误

- **错误做法:** 误以为sec、cosec、cot是cos、sin、tan的反函数而非倒数
  - 原因: 将倒数函数与考纲不要求的反三角函数混淆，导致数值计算错误
  - 正确做法: 牢记$\sec \theta = 1/\cos \theta$, $\cosec \theta = 1/\sin \theta$, $\cot \theta = 1/\tan \theta$
- **错误做法:** 计算正切函数的振幅
  - 原因: 正切图像在垂直方向无限延伸，没有定义的振幅
  - 正确做法: 仅对正弦、余弦函数及其变换形式计算振幅
- **错误做法:** 将正弦/余弦的周期公式用于正切函数
  - 原因: 正弦和余弦的周期为$2\pi$，正切的周期为$\pi$，因此二者的变换周期公式不同
  - 正确做法: 正弦/余弦使用周期 = $2\pi/|b|$，正切使用周期 = $\pi/|b|$（对应的角度值同理）
- **错误做法:** 绘制正切图像时遗漏渐近线标注
  - 原因: CIE阅卷人会针对三角函数图像题中未标注的渐近线直接扣分
  - 正确做法: 用虚线绘制渐近线，并清晰标注其x坐标
- **错误做法:** 将垂直平移量$c$与振幅混淆
  - 原因: 振幅是到中线的距离，而$c$是中线相对于$y=0$的位置
  - 正确做法: 首先确定中线$y=c$，再计算从中线出发的最大距离作为振幅

## 速查表

| 函数 | 振幅 | 周期（弧度） | 周期（角度） | 关键特征 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = a \sin(bx) + c$ | $\|a\|$ | $\frac{2\pi}{\|b\|}$ | $\frac{360^\circ}{\|b\|}$ | 取值范围: $[c-\|a\|, c+\|a\|]$ |
| $y = a \cos(bx) + c$ | $\|a\|$ | $\frac{2\pi}{\|b\|}$ | $\frac{360^\circ}{\|b\|}$ | 取值范围: $[c-\|a\|, c+\|a\|]$ |
| $y = a \tan(bx) + c$ | 无 | $\frac{\pi}{\|b\|}$ | $\frac{180^\circ}{\|b\|}$ | 渐近线位于$bx = \frac{\pi}{2} + k\pi$ |
| $\sec \theta$ | 无 | $2\pi$ | $360^\circ$ | 在$\cos \theta = 0$处无定义 |
| $\cosec \theta$ | 无 | $2\pi$ | $360^\circ$ | 在$\sin \theta = 0$处无定义 |
| $\cot \theta$ | 无 | $\pi$ | $180^\circ$ | 在$\tan \theta = 0$处无定义 |

## 下一步

在掌握六大三角函数、振幅、周期及其图像后，你已准备好学习求解三角函数方程，并将这些概念应用到CIE IGCSE附加数学0606考纲的微积分问题中。你将运用图像关键特征的知识，求解给定定义域内涉及多个三角函数的方程，后续还将对三角函数求导和积分，解决运动学和曲线下面积相关问题。请确保定期练习绘制各类变换后的三角函数图像，这类题型在计算器和非计算器试卷中都频繁出现，用于考察你对函数变换和三角性质的理解。

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