# 函数、定义域与值域

> CIE IGCSE 附加数学 · 0606 (2025-2027)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u1-functions-domain-and-range/

本指南覆盖 CIE IGCSE 附加数学 0606 要求的全部核心函数概念，包括符号表示、定义域/值域计算、单射/多对一分类、复合函数以及反函数规则。

**先修:** 基础代数运算能力（解方程、整理公式）; 熟悉常见函数图像（一次函数、二次函数、指数函数）

## 学习目标

- 定义核心函数术语：定义域、值域、单射/多对一、复合、反函数
- 计算常见函数的定义域与值域，包括带有限制定义域的情况
- 正确使用 0606 考试标准符号：f(x)、fg(x)、f⁻¹(x)、f²(x) = f(f(x))
- 论证非单射函数不存在合法反函数的原因

## 1. 函数核心术语与记法

**函数** — 将定义域内的每一个输入值映射到值域中恰好一个输出值的规则。

*记法:* f(x)

*例:* f(x) = 2x + 3 将输入x = 1映射为输出f(1) = 5

0606考试使用标准函数记法，针对特殊符号有严格的规则。两份试卷中你都会频繁遇到复合函数、多次复合和反函数记法，因此牢记这些规则对于避免不必要的失分至关重要。

剑桥考试体系也使用映射记法定义函数：$f: x \mapsto 2e^{x}$ 的含义与 $f(x) = 2e^{x}$ 完全相同（读作f将x映射为$2e^{x}$）。例如，$f: x \mapsto \lg x$ 与 $f(x) = \lg x$ 完全一致，其中$\lg$表示$\log_{10}$。请将$f: x \mapsto \dots$视为$f(x) = \dots$的另一种写法，避免在考试中被这类表述难住。

**例题:** 已知f(x) = 3x - 2，计算f(4)和f²(2)。

1. 将x = 4代入函数计算f(4)：

   $$f(4) = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$$
2. 按照0606的记法规则，将f²(2)按f(f(2))计算：

   $$f(2) = 3(2) - 2 = 4$$
3. 将结果再次代入f(x)：

   $$f(4) = 10, \text{ so } f^2(2) = 10$$

> **考试提示:** 在0606考试中，始终将f²(x)理解为f(f(x))，除非明确写为[f(x)]²，否则绝不能将f(x)的输出结果平方。

## 2. 定义域与值域计算

**定义域与值域** — 定义域是函数有定义的所有有效输入值(x)的集合。值域是函数从定义域出发能得到的所有输出值(f(x))的集合，也称为像集。

- 常见的定义域限制：分母不能为0，平方根下的表达式必须≥0，对数的输入必须为正数
- 求值域：通过代数方法或者利用顶点等图像特征，确定函数在整个定义域内所有可能输出值的最小值和最大值

**例题:** 求$f(x) = \sqrt{x - 2} + 3$的定义域和值域。

1. 求定义域：平方根下的表达式必须非负：

   $$x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2$$
2. 求值域：$\sqrt{x-2}$的最小值为0，因此f(x)的最小输出值为：

   $$0 + 3 = 3$$
3. 最终结果：定义域 = $x \geq 2$，值域 = $f(x) \geq 3$

**例题:** 求$f(x) = \ln(2x - 6)$的定义域和值域。将定义域表示为$x > a$的形式，其中a取最小可能值。（自然对数$\ln$将在第6单元详细学习，此处我们只需要记住它的输入必须为正的规则。）

1. 对数仅在输入严格为正时才有定义，因此令其自变量大于0：

   $$2x - 6 > 0$$
2. 求解x的最小可取范围：

   $$2x > 6 \implies x > 3$$
3. 因此定义域为$x > 3$（a的最小可能取值为3）。当x趋近于3时，自变量趋近于0，$\ln$趋近于$-\infty$；当x增大时，自变量无上限增长，因此$\ln$可以取到所有实数值。

   $$\text{Domain: } x > 3, \quad \text{Range: } f(x) \in \mathbb{R}$$

> **考试提示:** 如果你不确定函数的值域，尤其是二次函数和根式函数，可以快速手绘函数草图。第2卷你可以使用科学计算器，但为了拿到全分必须始终展示代数推导过程；要验证答案时，将结果代回函数或者手绘草图，不要完全依赖计算器。

## 3. 单射函数与多对一函数

**单射函数与多对一函数** — 单射函数：每一个唯一的输出值恰好对应一个唯一的输入值。多对一函数：两个或更多不同的输入得到相同的输出值。

*例:* 可以使用水平线测试对函数分类：如果任意一条水平线与函数图像的交点超过1个，那么该函数就是多对一函数。

只有单射函数才有合法的反函数。多对一函数不存在反函数，因为无法将同一个输出值映射回唯一的输入值。这是0606试卷中非常常见的2-3分简答题考点。

**例题:** 解释为什么$f(x) = x^2$（定义域为全体实数x）不是单射函数。

1. 找到两个不同的输入值，它们得到相同的输出：

   $$f(2) = 2^2 = 4 \text{ and } f(-2) = (-2)^2 = 4$$
2. 由于两个不同的输入得到了相同的输出，因此该函数是多对一函数，不是单射函数。

> **考试提示:** 当题目要求你解释为什么一个函数不存在反函数时，必须明确说明它是多对一函数，并且给出两个不同输入得到相同输出的具体实例，才能拿到全分。

## 4. 复合函数与反函数

**复合函数与反函数** — 复合函数fg(x) = f(g(x))：先应用函数g，再将得到的结果代入f。反函数f⁻¹(x)会逆转f的运算过程，且仅当f是单射函数时反函数才存在。

*记法:* $fg(x), f^{-1}(x)$

复合函数类题目通常要求你将一个函数代入另一个函数，还可能结合定义域值域问题或者方程求解。反函数类题目通常会先要求你证明反函数不存在，之后再让你计算该函数限定定义域版本的反函数。

**例题:** 已知$f(x) = 2x + 5$和$g(x) = x^2$，计算$fg(3)$并解释为什么g(x)（定义域为全体实数x）不存在反函数。

1. 计算fg(3) = f(g(3))：先求出g(3)的输出：

   $$g(3) = 3^2 = 9$$
2. 将结果代入f(x)：

   $$f(9) = 2(9) + 5 = 23 \text{, so } fg(3) = 23$$
3. 证明g(x)不存在反函数：g(x) = x²是多对一函数，例如g(2) = g(-2) = 4，因此它不是单射函数，故不存在反函数。

> **考试提示:** 牢记复合函数的运算顺序：fg(x)表示先应用g，再应用f。学生经常搞混顺序导致不必要的失分，因此可以把fg(x)改写为f(g(x))来提醒自己运算顺序。

## 常见错误

- **错误做法:** 将 f²(x) 理解为 [f(x)]²（输出值平方）
  - 原因: 在其他课程体系中该符号可能表示平方，但 0606 考试明确定义 f²(x) 为重复复合运算。
  - 正确做法: 除非题目明确写出 [f(x)]²，否则始终按 f²(x) = f(f(x)) 计算。
- **错误做法:** 将复合函数 fg(x) 计算为 f(x) * g(x)（乘积而非复合）
  - 原因: 省略的乘号很容易被误认为是乘法运算。
  - 正确做法: 先把 fg(x) 改写为 f(g(x))，提醒自己先计算 g 再代入 f，不存在乘法步骤。
- **错误做法:** 直接使用二次函数顶点求值域，不验证顶点是否在给定定义域范围内
  - 原因: 限制定义域可能排除顶点，因此值域的最小值/最大值可能出现在定义域的边界处。
  - 正确做法: 使用顶点计算值域前，务必先确认二次函数的顶点落在题目给出的定义域范围内。
- **错误做法:** 声称函数不存在反函数是因为它“不符合竖线测试”
  - 原因: 竖线测试仅用于验证一个关系是否为函数，不能判断函数是否存在反函数。
  - 正确做法: 明确说明该函数是多对一函数，并且给出两个不同输入得到相同输出的具体实例，以此证明反函数不存在。

## 速查表

| 符号/术语 | 含义 | 核心考试规则 |
| --- | --- | --- |
| f(x) | x 的函数 | 将输入值代入 x 计算得到输出值 |
| f²(x) | 重复复合运算 f(f(x)) | 0606 考试中绝不能理解为 [f(x)]² |
| fg(x) | 复合函数 f(g(x)) | 先计算 g，再将结果代入 f |
| f⁻¹(x) | f 的反函数 | 仅当 f 是单射函数时存在 |
| 定义域 | 合法输入值集合 | 检查分母不为零、根号内非负、对数输入值为正 |
| 值域 | 输出值集合（像集） | 通过图像或代数边界确定最小值/最大值 |

## 下一步

现在你已经掌握了函数基础、定义域、值域以及复合/反函数规则，可以继续学习 CIE IGCSE 附加数学 0606 中更进阶的函数主题。接下来你将学习用代数方法计算反函数、求解函数方程，以及将函数概念应用到在卷1（非计算器）和卷2（计算器）中高频出现的微积分和三角函数问题中。务必练习识别定义域限制和论证反函数存在性，这类2-3分的题目只要掌握规则就可以快速作答拿分。

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