# 复合函数、反函数与模函数图像

> CIE IGCSE 附加数学 · 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0606-u1-composite-inverse-functions-and-modulus/

本指南涵盖CIE IGCSE 附加数学0606考试要求的核心函数知识点，包括复合函数的运算顺序规则、反函数的计算与图像绘制、以及常见函数类型的模函数图像构造方法。

**先修:** 基础函数符号表示与定义域、值域定义; 线性、二次及三角函数图像的绘制方法

## 学习目标

- 计算复合函数 $fg(x)$ 和 $gf(x)$，并识别其运算顺序依赖性
- 使用标准 $f^{-1}$ 符号求一一映射函数的反函数
- 绘制函数及其反函数的图像，二者关于直线 $y=x$ 对称
- 绘制并解读线性、二次、三次及三角函数形式的 $y = |f(x)|$ 图像

## 复合函数

复合函数将两个函数结合，将一个函数的输出作为另一个函数的输入。复合的顺序至关重要：$fg(x)$ 表示先应用 $g$，再将 $f$ 作用于 $g(x)$ 的结果，而 $gf(x)$ 表示先应用 $f$ 再应用 $g$。

**复合函数** — 将一个函数的输出代入另一个函数的输入所形成的函数。

*记法:* $fg(x) = f(g(x))$

*例:* 若 $f(x) = 2x + 3$ 且 $g(x) = x^2$，则 $fg(x) = f(x^2) = 2x^2 + 3$。

**例题:** 已知 $f(x) = 3x - 1$ 且 $g(x) = \frac{x + 2}{4}$，计算 (a) $fg(2)$ (b) 最简形式的 $gf(x)$。

1. 对于(a)部分，首先计算 $g(2)$

   $$g(2) = \frac{2 + 2}{4} = 1$$
2. 将 $g(2) = 1$ 代入 $f(x)$

   $$fg(2) = f(1) = 3(1) - 1 = 2$$
3. 对于(b)部分，将 $f(x)$ 代入 $g(x)$

   $$gf(x) = g(3x - 1) = \frac{(3x -1) + 2}{4}$$
4. 化简表达式

   $$gf(x) = \frac{3x + 1}{4}$$

要使 $gf(x) = g(f(x))$ 这类复合函数有定义，内层函数 $f$ 的所有输出都必须是外层函数 $g$ 的有效输入。由此得到两条包含规则：$\text{Domain of } gf \subseteq \text{Domain of } f$ 且 $\text{Range of } gf \subseteq \text{Range of } g$。有时你必须限制 $f$ 的定义域才能让 $gf$ 完全存在。例如，若 $f(x) = x - 4$ 且 $g(x) = \sqrt{x}$（要求输入非负），则 $gf(x) = \sqrt{x - 4}$ 仅在 $x - 4 \geq 0$ 时有定义，因此 $f$ 的定义域必须限制为 $x \geq 4$。

> **考试提示:** 复合函数计算时务必写出中间步骤，即便最终答案错误也能拿到步骤分。

## 单射函数的反函数

反函数会逆转原函数的运算过程，仅存在于一一对应（单射）函数中，这类函数的每个输出都唯一对应一个输入。函数 $f$ 的反函数记作 $f^{-1}(x)$。

**单射函数（一一对应函数）** — 任意两个不同输入都不会产生相同输出的函数，绘制图像时满足水平线检验。

*例:* 线性函数 $f(x) = 2x + 5$ 是单射函数，而二次函数 $f(x) = x^2$ 在全体实数域上不是单射函数。

**例题:** 求单射函数 $f(x) = \frac{2x - 5}{3}$ 的反函数。

1. 令 $y = f(x)$

   $$y = \frac{2x - 5}{3}$$
2. 重新整理公式，将 $x$ 作为表达式的主体

   $$3y = 2x -5 \\ 2x = 3y + 5 \\ x = \frac{3y + 5}{2}$$
3. 交换 $x$ 和 $y$，再将 $y$ 替换为 $f^{-1}(x)$

   $$f^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{2}$$
4. 通过验证 $ff^{-1}(x) = x$ 来确认结果

   $$f\left(\frac{3x +5}{2}\right) = \frac{2\left(\frac{3x+5}{2}\right) -5}{3} = \frac{3x +5 -5}{3} = x$$

**例题:** 求定义在全体实数 $x$ 上的函数 $f(x) = e^{2x}$ 的反函数，并说明其定义域。

1. 令 $y = f(x)$：

   $$y = e^{2x}$$
2. 对两侧同时取自然对数（$\ln$ 是 $e$ 的逆运算）：

   $$\ln y = 2x$$
3. 将 $x$ 作为表达式主体，再交换 $x$ 和 $y$：

   $$x = \tfrac{1}{2}\ln y \implies f^{-1}(x) = \tfrac{1}{2}\ln x$$
4. $f^{-1}$ 的定义域等于 $f$ 的值域。由于对任意 $x$ 都有 $e^{2x} > 0$，$f$ 的值域为 $f(x) > 0$，因此 $f^{-1}$ 的定义域为 $x > 0$（值域为全体实数）。这组指数-对数对是大纲1.6的标准示例，指数函数和对数函数本身将在第6单元学习。

   $$\text{Domain of } f^{-1}: x > 0$$

> **考试提示:** 请始终通过将反函数与原函数复合得到结果 $x$ 来验证反函数是否正确，这可以排查绝大多数代数运算错误。

## 绘制函数及其反函数的图像

反函数 $f^{-1}(x)$ 的图像是原函数 $f(x)$ 的图像沿直线 $y = x$ 反射得到的。原函数的关键特征会直接映射到反函数上：截距会交换坐标轴，$f$ 的定义域会成为 $f^{-1}$ 的值域，反之亦然。

**例题:** 在同一坐标系中绘制函数 $f(x) = 2x + 1$ 及其反函数 $f^{-1}(x)$ 的图像，标注所有关键特征。

1. 首先绘制 $f(x) = 2x +1$：它的y轴截距为 (0, 1)，x轴截距为 (-0.5, 0)，斜率为2。
2. 绘制并标注直线 $y = x$ 作为反射轴。
3. 将 $f(x)$ 的截距沿 $y=x$ 反射，得到 $f^{-1}(x)$ 的截距：(1, 0) 和 (0, -0.5)。
4. 绘制经过这些点的 $f^{-1}(x)$ 直线，清晰标注两个函数。

> **考试提示:** 即便你绘制的反射图像完全准确，考官也要求你明确标注 $y=x$、$f(x)$ 和 $f^{-1}(x)$ 才能给全绘图题的满分。

## 模函数图像 $y = |f(x)|$

模（绝对值）函数会返回输入的非负值。对于 $y = |f(x)|$，$f(x)$ 图像中位于x轴下方（即 $f(x) < 0$）的所有部分都会沿x轴反射，而位于x轴上方的部分保持不变。

**模函数（绝对值函数）** — $a$ 的非负值，满足当 $a \geq 0$ 时 $|a| = a$，当 $a < 0$ 时 $|a| = -a$。

*记法:* $|a|$

**例题:** 绘制 $y = |x^2 - 4|$ 的图像，标注所有截距和转折点。

1. 首先绘制未取模的二次函数 $f(x) = x^2 -4$：它与x轴交于 (-2, 0) 和 (2, 0)，y轴截距为 (0, -4)，极小值点在 (0, -4)。
2. 将 $f(x)$ 位于x轴下方的部分（即x=-2到x=2之间的线段）沿x轴反射。
3. 最终得到的图像截距为 (-2, 0)、(2, 0) 和 (0, 4)，在 (0, 4) 处有一个局部极大值点，在 $x = \pm 2$ 之外保留原二次函数向上开口的两支。

**例题:** 绘制 $y = |x^3 - x|$ 的图像，标出曲线与 $x$ 轴的所有交点。

1. 首先绘制三次函数 $f(x) = x^3 - x$。因式分解以找到它与 $x$ 轴的交点：

   $$x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$$
2. 根为 $x = -1, 0, 1$。检查 $f(x)$ 的符号：它在 $x < -1$ 和 $0 < x < 1$ 区域位于x轴下方，在 $-1 < x < 0$ 和 $x > 1$ 区域位于x轴上方。
3. 对于 $y = |f(x)|$，仅将位于x轴下方的部分（即 $x < -1$ 和 $0 < x < 1$ 的部分）沿x轴向上反射。原本位于x轴上方的部分保持不变。
4. 图像仍然在 $x = -1, 0, 1$ 处与x轴相交，但这些交点都变成了曲线向上折叠形成的尖角（尖点）。所有y值现在都为非负值。

> **考试提示:** 对于 $y = |\sin x|$ 这类三角函数模图像，将所有负的波谷沿x轴向上反射，最终得到的图像值域为 $0 \leq y \leq 1$，周期为 $\pi$ 而非 $2\pi$。

## 常见错误

- **错误做法:** 将 $fg(x)$ 计算为 $f(x) \times g(x)$ 而非 $f(g(x))$
  - 原因: 混淆了复合函数符号与乘法符号
  - 正确做法: 牢记 $fg(x)$ 表示函数复合运算，先计算最右侧的函数；如果要表示乘法，必须明确写出 $f(x)g(x)$
- **错误做法:** 为非一一映射的函数求反函数
  - 原因: 忽略了反函数仅存在于一一映射函数中，即每个输出值唯一对应一个输入值
  - 正确做法: 计算反函数前务必确认函数通过水平线检验，或使用题目给出的限定定义域
- **错误做法:** 绘制反函数时将函数沿y轴反射，而非沿 $y=x$ 反射
  - 原因: 混淆了反函数的反射对称轴
  - 正确做法: 绘制函数-反函数图像对时，先画出并标注直线 $y=x$，以它作为反射的参考基准
- **错误做法:** 绘制 $y=|f(x)|$ 时删除函数在x轴下方的部分
  - 原因: 误解模运算的作用：模是反射负区间部分，而非删除它们
  - 正确做法: 将 $f(x)$ 位于x轴下方的所有线段沿x轴向上反射，其余图像部分保持不变
- **错误做法:** 颠倒复合函数的运算顺序，例如题目要求计算 $fg(x)$ 却算出 $gf(x)$
  - 原因: 忘记函数复合运算不满足交换律
  - 正确做法: 始终从右往左读取运算顺序：最右侧的函数最先被计算

## 速查表

| 概念 | 规则 | 示例 |
| --- | --- | --- |
| 复合函数 | $fg(x) = f(g(x))$，先计算最右侧的函数 | $f(x)=x+2, g(x)=3x$: $fg(x)=3x+2$ |
| 反函数 | 仅一一映射函数存在反函数，图像关于 $y=x$ 对称 | $f(x)=2x-1$: $f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}$ |
| $y=\|f(x)\|$ 图像 | 将 $f(x)$ 位于x轴下方的所有部分向上反射 | $y=\|x-3\|$ 为V形，顶点在(3,0) |
| 反函数的定义域与值域 | $f$ 的定义域 = $f^{-1}$ 的值域，$f$ 的值域 = $f^{-1}$ 的定义域 | 若 $f(x)$ 的值域为 $y > 2$，则 $f^{-1}(x)$ 的定义域为 $x > 2$ |

## 下一步

在掌握复合函数、反函数与模函数图像后，你已经可以将这些技能应用到CIE IGCSE 附加数学0606更进阶的函数问题中。这些知识点是后续内容的基础，包括函数变换、模方程求解，以及大纲后续的微积分应用。考试的卷1（非计算器）和卷2（计算器）中都会频繁出现相关题目，因此定期练习图像绘制和代数运算技巧是拿高分的关键。

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