# 累积频率与直方图

> 数学 · 0580 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u9-cumulative-frequency-histograms/

这份拓展层级指南将教你绘制累积频率曲线、估算中位数/四分位数/四分位距、为不等组距计算频率密度，以及解读直方图，适用于CIE IGCSE数学0580试卷2和试卷4的考试备考。

**先修:** [连续数据的分组频率表](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u9-grouped-frequency-tables/); [分组数据的集中趋势和离散程度度量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u9-averages-spread-grouped-data/)

## 学习目标

- 从分组连续数据构建累积频率表和平滑曲线
- 从累积频率曲线估算中位数、四分位数、百分位数和四分位距
- 为不等组距计算频率密度以绘制合规的直方图
- 解读直方图并利用面积比例关系求解未知频率

## 构建累积频率表与曲线

**累积频率** — 到给定组区间上边界为止的频率累加值，代表小于等于该边界值的数据点总数。

*例:* 若组为$0 \leq t < 10$（频率=8）和$10 \leq t < 20$（频率=12），则20位置的累积频率为$8+12=20$。

构建累积频率表时，新增一列从第一个组开始依次累加后续所有组的频率。累积频率值始终对应组的上边界，因为上边界代表累加值中包含的最大值。将累积频率作为y轴、组上边界作为x轴描点，再用平滑的S形曲线连接所有点。

**例题:** 分组频率表记录了80名学生完成拼图的耗时。请构建累积频率表，并写出你在累积频率曲线上需要绘制的前两个点的坐标。

| 耗时（t 分钟） | 频率 |
|------------------|-----------|
| $0 \leq t < 5$   | 7         |
| $5 \leq t < 10$  | 18        |
| $10 \leq t < 15$ | 29        |
| $15 \leq t < 20$ | 22        |
| $20 \leq t < 25$ | 4         |

1. 为每个组的上边界计算累积频率的累加值：
2. $$cf\textrm{ at } 5 = 7$$
3. $$cf\textrm{ at } 10 = 7 + 18 = 25$$
4. $$cf\textrm{ at } 15 = 25 + 29 = 54$$
5. $$cf\textrm{ at } 20 = 54 + 22 = 76$$
6. $$cf\textrm{ at } 25 = 76 + 4 = 80$$
7. 绘制（组上边界，累积频率）的点。前两个点是锚点(0, 0)和(5,7)。

> **考试提示:** 绘制累积频率曲线时，务必加入点（第一个组的下边界，0），将曲线锚定在原点，以保证后续读数准确。

*计算器:* allowed

## 从累积频率曲线估算统计量

**四分位距（IQR）** — 上四分位数（$Q_3$，第75百分位数）和下四分位数（$Q_1$，第25百分位数）的差值，代表中间50%数据的离散程度，不受极端异常值影响。

*记法:* IQR = Q_3 - Q_1

总频率为$n$时，从累积频率曲线估算统计量的方法：
- 中位数：读取$y = \frac{n}{2}$对应的x值
- 下四分位数（$Q_1$）：读取$y = \frac{n}{4}$对应的x值
- 上四分位数（$Q_3$）：读取$y = \frac{3n}{4}$对应的x值
- 第k百分位数：读取$y = \frac{k}{100} \times n$对应的x值

**例题:** 使用80名学生拼图耗时的累积频率曲线，估算中位数、下四分位数、上四分位数和四分位距。

1. $$n = 80$$
2. 中位数：$y = 80/2 = 40$，读取x值为12分钟。
3. 下四分位数$Q_1$：$y = 80/4 = 20$，读取x值为8.5分钟。
4. 上四分位数$Q_3$：$y = 3 \times 80 / 4 = 60$，读取x值为16分钟。
5. $$IQR = Q_3 - Q_1 = 16 - 8.5 = 7.5\textrm{ 分钟}$$

> **tip**
>
> 要估算大于/小于某个阈值的数值数量，可以从x轴的阈值位置向上画垂直线到曲线，再读取y轴上的累积频率，即可得到小于该阈值的数值总数。

*计算器:* allowed

## 计算频率密度与绘制直方图

**频率密度** — 单位组距对应的频率度量，用于不等组距的直方图，保证每个柱的面积与对应组区间的频率成正比。

*记法:* \textrm{频率密度} = \frac{\textrm{频率}}{\textrm{组距}}

直方图适用于连续分组数据，柱之间没有空隙。等组距的情况下可以直接用频率作为柱高，但不等组距时必须使用频率密度作为柱高，以满足面积与频率成正比的规则。绘制直方图前务必先确认组区间是等距还是不等距。

**例题:** 计算拼图耗时数据中每个组的频率密度，以绘制直方图。

| 耗时（t 分钟） | 频率 |
|------------------|-----------|
| $0 \leq t < 5$   | 7         |
| $5 \leq t < 10$  | 18        |
| $10 \leq t < 15$ | 29        |
| $15 \leq t < 20$ | 22        |
| $20 \leq t < 25$ | 4         |

1. 每个区间的组距都是5分钟。
2. 使用公式$fd = \frac{f}{w}$计算每个组的频率密度：
3. $$0-5: 7/5 = 1.4$$
4. $$5-10: 18/5 = 3.6$$
5. $$10-15: 29/5 = 5.8$$
6. $$15-20: 22/5 = 4.4$$
7. $$20-25: 4/5 = 0.8$$

> **考试提示:** 如果直方图的面积带有缩放系数，先通过已知组求出该系数，再计算未知频率：$\textrm{频率} = \textrm{面积} \times \textrm{缩放系数}$。

*计算器:* allowed

## 考试题型中的直方图解读

高分直方图题大多要求你从给定直方图中求解未知频率或数据点总数。解题时先从已知组入手，确定面积和频率的对应关系，再将该关系应用到所有其他柱上。

**例题:** 某直方图记录了学生的考试分数分布，组区间$40 \leq m < 50$（组距10）的柱高为2.4频率密度，频率为24。求组区间$70 \leq m < 85$（组距15）、柱高为1.6频率密度的组的频率。

1. 验证该直方图中面积等于频率：$2.4 \times 10 = 24$，与给定频率一致，因此不需要额外缩放系数。
2. 计算70-85组柱的面积：$1.6 \times 15 = 24$。
3. 该组的频率为24。

> **warning**
>
> 不等组距的组之间比较频率时，绝对不能只使用柱高：必须使用柱的面积来比较频率大小。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将累积频率对应到组中点而非组上边界进行描点
  - 原因: 累积频率统计的是到组的最大值（上边界）为止的所有值，而非中点，用中点描点会导致曲线数值完全错误。
  - 正确做法: 描点时始终将累积频率值与组上边界配对。
- **错误做法:** 不等组距直方图中使用频率而非频率密度作为柱高
  - 原因: 这会让更宽的柱看起来比实际频率更高，破坏面积与频率成正比的规则。
  - 正确做法: 绘制不等组距直方图前，先为所有组计算频率密度=频率/组距。
- **错误做法:** 直方图的柱之间留有空隙
  - 原因: 直方图代表连续数据，组区间之间没有间隔，空隙会错误地暗示数据是离散或分类的。
  - 正确做法: 所有直方图的柱都要相邻，不留空隙。
- **错误做法:** 将四分位距计算为中位数组的上边界和下边界的差值
  - 原因: 四分位距是从完整累积频率曲线估算得到的Q3和Q1的差值，不能直接从中位数组的边界计算。
  - 正确做法: 先从累积频率曲线读取Q1和Q3的值，再用Q3减去Q1得到四分位距。

## 速查表

| 概念 | 公式 / 规则 | 考试应用场景 |
| --- | --- | --- |
| 累积频率曲线 | 绘制（组上边界，累积频率），从(0,0)开始 | 构建曲线以估算统计量 |
| 从累积频率曲线求中位数 | 读取$y = n/2$对应的x值 | 估算数据集的典型值 |
| 从累积频率曲线求四分位距 | $IQR = Q_3 - Q_1$，$Q_1$对应$n/2$，$Q_3$对应$3n/4$ | 度量中间50%数据的离散程度 |
| 频率密度 | $fd = \frac{f}{w}$ | 绘制不等组距的直方图 |
| 直方图频率 | $f = fd \times w$ | 从直方图求解未知频率 |

## 下一步

掌握累积频率曲线和直方图后，你已经可以应对CIE IGCSE数学0580拓展试卷4中几乎每套卷都会出现的6-8分统计学结构化大题。这两个知识点经常结合考察，建议多做历年真题，提升在实际场景中解读曲线和直方图的速度与准确率。接下来你可以完成统计学混合练习题，再进入概率相关知识点的学习，完成拓展层级考试备考的整个统计与概率单元。

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