平均值、极差与离散程度度量

数学· 9.3· 35 分钟阅读

1. 核心内容：未分组离散数据的平均值与极差★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

未分组数据的核心度量

众数 = 出现频率最高的值；中位数 = 数据按升序排列后的中间值；均值 = 所有值的总和除以值的数量；极差 = 最大值减去最小值。

📐 例题

求以下未分组数据集的众数、中位数、均值和极差：3, 7, 2, 3, 9, 5, 3

1
1. 将数据按升序排列：2, 3, 3, 3, 5, 7, 9
2
1. 众数是出现频率最高的值：3（共出现3次）
3
1. 中位数是第4个值（7个值的中间位置）：3
4
$Mean = \frac{2+3+3+3+5+7+9}{7} = \frac{32}{7} \thickapprox 4.57$
5
1. 极差 = 9 - 2 = 7

2. 核心内容：从未分组频数表进行计算★★☆☆☆⏱ 10 min

📐 例题

以下频数表展示了满分5分的小测验得分情况。计算众数、中位数、均值和极差。

得分	1	2	3	4	5
频数	2	5	7	3	3

1
1. 众数是频数最高的得分：3
2
1. 总频数 n = 2+5+7+3+3 = 20。中位数是第10个和第11个值的平均值。得分3对应的累积频数为14，因此这两个值都是3：中位数 = 3
3
$Mean = \frac{(1\times2)+(2\times5)+(3\times7)+(4\times3)+(5\times3)}{20} = \frac{60}{20} = 3$
4
1. 极差 = 5 - 1 = 4

3. 拓展补充：四分位数与四分位距★★★☆☆Extended 专属⏱ 8 min

📘 定义

四分位数与IQR

Q1（下四分位数）= 有序数据中第25百分位数对应的值；Q3（上四分位数）= 有序数据中第75百分位数对应的值；IQR = Q3 - Q1。IQR度量数据中间50%部分的离散程度，因此不受异常值影响。

📐 例题

对于有序数据集：2, 3, 3, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15，计算Q1、Q3和IQR。

1
1. 值的总数 n = 11
2
1. Q1位置 = (n+1)/4 = 第3个值：Q1 = 3
3
1. Q3位置 = 3*(n+1)/4 = 第9个值：Q3 = 12
4
1. 四分位距（IQR）= Q3 - Q1 = 12 - 3 = 9

4. 拓展补充：分组数据计算★★★☆☆Extended 专属⏱ 12 min

📘 定义

分组数据度量

众数组 = 频数最高的组区间；估算均值 = （组中值 × 频数）的总和除以总频数。由于分组数据中无法获取精确的单个数据点，因此使用组中值进行计算。

📐 例题

以下分组频数表展示了学生的身高（单位：厘米）。求众数组和身高的估算均值。

身高 (h)	120≤h<130	130≤h<140	140≤h<150	150≤h<160
频数	4	9	12	5

1
1. 众数组是频数最高的区间：140≤h<150
2
1. 计算组中值：125、135、145、155
3
$Sum(mid-interval value × frequency) = (125×4)+(135×9)+(145×12)+(155×5) = 4230$
4
1. 总频数 = 4+9+12+5 = 30
5
$Estimated mean = \frac{4230}{30} = 141 cm$

5. 常见陷阱

错误做法:

计算中位数或四分位数前忘记对数据排序

原因:

中位数和四分位数基于有序数据计算，使用未排序数据会得到错误的中间值

正确做法:

计算中位数或四分位数前，先将所有数据点按升序排序

错误做法:

从频数表计算均值时仅对得分求和，忽略频数

原因:

频数代表每个得分出现的次数，因此必须将其纳入求和计算

正确做法:

将每个得分乘以其对应的频数，将这些乘积求和后再除以总频数

错误做法:

计算分组均值时使用精确值而非组中值

原因:

分组数据中无法获取精确的单个值，因此组中值是唯一有效的估算依据

正确做法:

计算分组均值前，先算出每个组区间的中点，再乘以对应频数

错误做法:

将分组数据的极差计算为最高组和最低组的组中值之差

原因:

极差度量所有可能值的整体离散程度，而不仅仅是组中值

正确做法:

分组数据的极差 = 最高组的上边界减去最低组的下边界

错误做法:

当题目要求不受异常值影响的离散程度度量时，将四分位距和极差混淆

原因:

极差使用所有数据点，包括极端异常值，而四分位距仅使用数据中间50%的部分

正确做法:

当题目要求消除极端值的影响时，使用四分位距而非极差

6. 速查表

度量指标	核心/拓展	未分组数据	未分组频数表	分组数据
众数	核心	出现频率最高的值	频数最高的得分	众数组（拓展）
中位数	核心	有序数据的中间值	累积频数中的第(n+1)/2项	通过累积频数曲线估计（见《累积频数与直方图》页，E9.6）（拓展）
均值	核心/拓展	值的总和 / n	总和(得分×频数) / n	总和(组中值×频数) / n（拓展）
极差	核心	最大值 - 最小值	最高得分 - 最低得分	最高组上边界 - 最低组下边界（拓展）
Q1 / Q3	拓展	有序数据的第25/75百分位数	使用累积频数，与未分组数据计算方式相同	通过累积频数曲线估计（见《累积频数与直方图》页，E9.6）（拓展）
IQR	拓展	Q3 - Q1	Q3 - Q1	Q3 - Q1

下一步

在掌握CIE IGCSE 数学 0580的平均值和离散程度度量后，你可以运用这些技能解决涉及数据表示的综合统计问题，包括累积频数图和直方图。这些主题经常和平均值一同出现在4-6分的考试题中，因此练习混合统计题将帮助你在试卷的统计部分拿到满分。核心内容考生可以继续学习概率基础，而拓展内容考生接下来应重点练习累积频数计算，巩固你已掌握的四分位数和离散程度相关知识。