# 平均值、极差与离散程度度量

> 数学 · CIE IGCSE 0580 (2025-2027)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u9-averages-range-measures-of-spread/

本指南涵盖CIE IGCSE 数学 0580大纲中核心和拓展部分的平均值与离散程度内容，包括未分组数据计算、频数表问题、分组均值、拓展考生要求掌握的四分位数和四分位距。

**先修:** 掌握基础算术运算能力（加法、除法、数值排序）; 理解离散和分组频数表的概念

## 学习目标

- 计算未分组离散数据的众数、中位数、均值和极差（核心内容）
- 从未分组频数表中计算平均值和极差（核心内容）
- 计算未分组数据的四分位数和四分位距（拓展内容）
- 估算分组数据的均值并确定众数组（拓展内容）

## 核心内容：未分组离散数据的平均值与极差

**未分组数据的核心度量** — 众数 = 出现频率最高的值；中位数 = 数据按升序排列后的中间值；均值 = 所有值的总和除以值的数量；极差 = 最大值减去最小值。

**例题:** 求以下未分组数据集的众数、中位数、均值和极差：3, 7, 2, 3, 9, 5, 3

1. 1. 将数据按升序排列：2, 3, 3, 3, 5, 7, 9
2. 2. 众数是出现频率最高的值：3（共出现3次）
3. 3. 中位数是第4个值（7个值的中间位置）：3
4. $$Mean = \frac{2+3+3+3+5+7+9}{7} = \frac{32}{7} \thickapprox 4.57$$
5. 5. 极差 = 9 - 2 = 7

> **考试技巧**
>
> 计算中位数之前务必先对数据排序：这是这类题目最常见的错误。

## 核心内容：从未分组频数表进行计算

**例题:** 以下频数表展示了满分5分的小测验得分情况。计算众数、中位数、均值和极差。

| 得分 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|-------|---|---|---|---|---|
| 频数 | 2 | 5 | 7 | 3 | 3 |

1. 1. 众数是频数最高的得分：3
2. 2. 总频数 n = 2+5+7+3+3 = 20。中位数是第10个和第11个值的平均值。得分3对应的累积频数为14，因此这两个值都是3：中位数 = 3
3. $$Mean = \frac{(1\times2)+(2\times5)+(3\times7)+(4\times3)+(5\times3)}{20} = \frac{60}{20} = 3$$
4. 4. 极差 = 5 - 1 = 4

> **warning**
>
> 从频数表计算均值时绝不能忽略频数：你必须先将每个得分乘以其对应的频数。

## 拓展补充：四分位数与四分位距

**四分位数与IQR** — Q1（下四分位数）= 有序数据中第25百分位数对应的值；Q3（上四分位数）= 有序数据中第75百分位数对应的值；IQR = Q3 - Q1。IQR度量数据中间50%部分的离散程度，因此不受异常值影响。

**例题:** 对于有序数据集：2, 3, 3, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15，计算Q1、Q3和IQR。

1. 1. 值的总数 n = 11
2. 2. Q1位置 = (n+1)/4 = 第3个值：Q1 = 3
3. 3. Q3位置 = 3*(n+1)/4 = 第9个值：Q3 = 12
4. 4. 四分位距（IQR）= Q3 - Q1 = 12 - 3 = 9

## 拓展补充：分组数据计算

**分组数据度量** — 众数组 = 频数最高的组区间；估算均值 = （组中值 × 频数）的总和除以总频数。由于分组数据中无法获取精确的单个数据点，因此使用组中值进行计算。

**例题:** 以下分组频数表展示了学生的身高（单位：厘米）。求众数组和身高的估算均值。

| 身高 (h) | 120≤h<130 | 130≤h<140 | 140≤h<150 | 150≤h<160 |
|------------|-----------|-----------|-----------|-----------|
| 频数 | 4 | 9 | 12 | 5 |

1. 1. 众数组是频数最高的区间：140≤h<150
2. 2. 计算组中值：125、135、145、155
3. $$Sum(mid-interval value × frequency) = (125×4)+(135×9)+(145×12)+(155×5) = 4230$$
4. 3. 总频数 = 4+9+12+5 = 30
5. $$Estimated mean = \frac{4230}{30} = 141 cm$$

> **tip**
>
> 分组数据的答案务必标注为'估算均值'：阅卷官会为你明确说明这是近似值而给分。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算中位数或四分位数前忘记对数据排序
  - 原因: 中位数和四分位数基于有序数据计算，使用未排序数据会得到错误的中间值
  - 正确做法: 计算中位数或四分位数前，先将所有数据点按升序排序
- **错误做法:** 从频数表计算均值时仅对得分求和，忽略频数
  - 原因: 频数代表每个得分出现的次数，因此必须将其纳入求和计算
  - 正确做法: 将每个得分乘以其对应的频数，将这些乘积求和后再除以总频数
- **错误做法:** 计算分组均值时使用精确值而非组中值
  - 原因: 分组数据中无法获取精确的单个值，因此组中值是唯一有效的估算依据
  - 正确做法: 计算分组均值前，先算出每个组区间的中点，再乘以对应频数
- **错误做法:** 将分组数据的极差计算为最高组和最低组的组中值之差
  - 原因: 极差度量所有可能值的整体离散程度，而不仅仅是组中值
  - 正确做法: 分组数据的极差 = 最高组的上边界减去最低组的下边界
- **错误做法:** 当题目要求不受异常值影响的离散程度度量时，将四分位距和极差混淆
  - 原因: 极差使用所有数据点，包括极端异常值，而四分位距仅使用数据中间50%的部分
  - 正确做法: 当题目要求消除极端值的影响时，使用四分位距而非极差

## 速查表

| 度量指标 | 核心/拓展 | 未分组数据 | 未分组频数表 | 分组数据 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 众数 | 核心 | 出现频率最高的值 | 频数最高的得分 | 众数组（拓展） |
| 中位数 | 核心 | 有序数据的中间值 | 累积频数中的第(n+1)/2项 | 通过累积频数曲线估计（见《累积频数与直方图》页，E9.6）（拓展） |
| 均值 | 核心/拓展 | 值的总和 / n | 总和(得分×频数) / n | 总和(组中值×频数) / n（拓展） |
| 极差 | 核心 | 最大值 - 最小值 | 最高得分 - 最低得分 | 最高组上边界 - 最低组下边界（拓展） |
| Q1 / Q3 | 拓展 | 有序数据的第25/75百分位数 | 使用累积频数，与未分组数据计算方式相同 | 通过累积频数曲线估计（见《累积频数与直方图》页，E9.6）（拓展） |
| IQR | 拓展 | Q3 - Q1 | Q3 - Q1 | Q3 - Q1 |

## 下一步

在掌握CIE IGCSE 数学 0580的平均值和离散程度度量后，你可以运用这些技能解决涉及数据表示的综合统计问题，包括累积频数图和直方图。这些主题经常和平均值一同出现在4-6分的考试题中，因此练习混合统计题将帮助你在试卷的统计部分拿到满分。核心内容考生可以继续学习概率基础，而拓展内容考生接下来应重点练习累积频数计算，巩固你已掌握的四分位数和离散程度相关知识。

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