概率与期望频率入门

数学· 8.1, 8.2 (2025-2027 大纲)· 15 分钟阅读

1. 1. 概率标度与核心术语（核心级）★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

概率

衡量事件发生可能性的指标，取值范围为0（不可能发生）到1（必然发生）。概率也可以用0%到100%的百分比形式表示。

例:

在标准6面骰子上掷出7的概率为0；掷出1到6之间任意数字的概率为1。

公平：所有结果发生概率都相等的试验对象，例如公平硬币正面朝上的概率为50%。
有偏：各结果发生概率不相等的试验对象，例如一枚加权硬币正面朝上的概率为70%。
随机：无法在发生前进行预测的结果。

📐 例题

将以下事件归类为不可能、不太可能、等概率、很可能、必然：a) 在标准6面骰子上掷出小于7的数字，b) 在共1000张奖券的抽奖中持有1张奖券中奖，c) 抛掷公平硬币得到正面。

1
a部分：骰子掷出的所有可能结果（1-6）都小于7，因此该事件是必然事件。
2
b部分：1000张奖券中只有1张能中奖，因此该事件不太可能发生。
3
c部分：公平硬币正面和反面朝上的概率相等，因此该事件属于等概率事件。

2. 2. 单事件概率及其补集★★☆☆☆⏱ 4 min

单个事件发生的概率计算方式为：有利结果数除以所有等可能的总结果数：

P(\text{event}) = \frac{\text{Number of favourable outcomes}}{\text{Total number of equally likely outcomes}}

📘 定义

事件的补集

P(A') (仅拓展级要求)

事件不发生的概率，等于1减去该事件发生的概率。

例:

如果明天下雨的概率是0.3，那么不下雨的概率就是 $1 - 0.3 = 0.7$ 。拓展级学生可以写作 $P (下雨^{'}) = 0.7$ 。

📐 例题

一个袋子里有3颗红色弹珠、5颗蓝色弹珠和2颗绿色弹珠，所有弹珠被摸到的概率相等。a) 计算摸到红色弹珠的概率。b) 使用补集规则计算摸不到蓝色弹珠的概率。

1
首先计算弹珠总数： $3 + 5 + 2 = 10$ 。
2
a部分：有利结果（红色弹珠）的数量为3，因此 $P (红色) = \frac{3}{10} = 0.3$ 。
3
b部分：首先算出 $P (蓝色) = \frac{5}{10} = 0.5$ ，其补集（不是蓝色）的概率为 $1 - 0.5 = 0.5$ 。

✓ 快速检测

如果一支足球队赢得比赛的概率是0.45，那么他们没赢的概率是多少？
显示答案
0.55 —
使用补集规则： $1 - 0.45 = 0.55$ 。

3. 3. 相对频率（核心级）★★☆☆☆⏱ 4 min

当你不知道某个事件的理论概率时（例如针对有偏的试验对象），你可以通过重复试验得到的数据计算相对频率来估算概率：

\text{Relative frequency} = \frac{\text{Number of times event occurs}}{\text{Total number of trials}}

📐 例题

一枚有偏的6面骰子被抛掷200次，数字4总共出现了60次。估算在这枚骰子上掷出4的概率。

1
事件（掷出4）的发生次数为60，总试验次数为200。
2
相对频率 = $\frac{60}{200} = 0.3$ ，这就是你得到的这枚有偏骰子掷出4的概率估算值。

4. 4. 期望频率（核心级）★★★☆☆⏱ 4 min

期望频率是事件在指定次数的试验中预计发生的次数，计算方式为事件的概率乘以总试验次数：

\text{Expected frequency} = P(\text{event}) \times \text{Number of trials}

📐 例题

游乐场某游戏的获胜概率是0.12，如果有250人玩这个游戏，预计有多少人能获胜？

1
提取数值： $P (获胜) = 0.12$ ，总试验次数为250。
2
计算期望频率： $0.12 \times 250 = 30$ ，预计有30人获胜。

5. 仅拓展级要求：正式概率符号★★☆☆☆Extended 专属⏱ 2 min

📘 定义

概率符号

$P (A)$ , $P (A^{'})$

$P (A)$ = 事件A发生的概率。 $P (A^{'})$ = 事件A的补集（事件A不发生）的概率。

例:

如果 $P (通过考试) = 0.8$ ，那么 $P (考试不及格) = P (通过^{'}) = 1 - 0.8 = 0.2$ 。

📐 例题

事件A定义为「从标准52张牌的牌组中抽出一张红桃」。a) 将 $P (A)$ 写为最简分数。b) 将 $P (A^{'})$ 写为最简分数。

1
牌组中红桃的数量为13，总牌数为52。
2
a部分： $P (A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ 。
3
b部分： $P (A^{'}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 。

6. 常见陷阱

错误做法:

用总结果数除以有利结果数来计算概率

原因:

你把分数的分子分母颠倒了，得到的数值会大于1，这对于概率来说是数学上不合法的。

正确做法:

始终用有利结果的数量除以所有等可能的总结果数。

错误做法:

假设所有结果在有偏试验对象上发生的概率都相等

原因:

有偏试验对象的每个结果发生的概率并不相等，因此基于等概率假设的理论概率计算是错误的。

正确做法:

对于有偏试验对象，使用试验数据得到的相对频率来估算概率。

错误做法:

把期望频率当成事件一定会发生的精确次数

原因:

期望频率是统计估算值，实际试验结果自然会在这个数值附近波动。

正确做法:

将期望频率表述为估算值，并且认识到实际结果可能和计算得到的数值存在差异。

错误做法:

使用 $P (A)$ 表示事件A的补集（仅拓展级）

原因:

$P (A)$ 明确指代事件A发生的概率，而不是它的对立事件。

正确做法:

使用 $P (A^{'})$ 符号来表示事件A的补集。

错误做法:

提交小于0或者大于1的概率值

原因:

概率的定义范围仅在0（不可能）到1（必然）之间，超出这个范围的数值说明计算过程出错。

正确做法:

如果你的计算结果落在0到1的区间外，立刻重新检查你的计算步骤。

7. 速查表

概念	核心级规则/公式	拓展级符号
概率标度	所有取值介于0（不可能）和1（必然）之间
单事件概率	有利结果数 / 总等可能结果数	$P (A) = \frac{n ( A )}{n ( T )}$
事件的补集	1 - 事件发生的概率	$P (A^{'}) = 1 - P (A)$
相对频率	事件发生次数 / 总试验次数
期望频率	事件概率 × 试验次数	期望频率 = $P (A) \times n$

8. 常见问题

作答概率类题目时应该用分数还是小数？

除非题目明确指定，否则两种形式均可接受，但精确值优先使用最简分数。如果题目没有给出说明，小数结果始终保留2-3位有效数字。

相对频率和概率有什么区别？

概率是事件发生的理论可能性，而相对频率是通过重复试验收集的数据计算得到的概率的实际估算值。

下一步

现在你已经掌握了CIE IGCSE数学0580的概率基础概念，可以继续学习概率单元的下一个子主题：组合概率事件。你将把已经学到的核心规则（概率计算、补集规则、期望频率）应用到涉及两个及以上事件的问题中，包括独立事件、互斥事件和概率树。这些技能在核心级和拓展级试卷中都经常被考察，通常出现在分值为4-6分的长结构化题目中。在继续学习之前，请确保你已经熟练掌握分数化简和小数运算，这些技能是所有概率计算的基础。