正弦、余弦定理与3D三角学

Q: 我需要背诵正弦、余弦定理和三角形面积公式吗？

不需要，这三个公式都会印在CIE IGCSE 0580试卷的首页。你只需要掌握正确的应用方法，包括钝角和歧义多解情形下的使用。

Q: 什么时候使用正弦定理，什么时候使用余弦定理？

当你已知一组对边+对角，外加一个其他边长/角度时，使用正弦定理。当你已知三角形的全部3条边，或者2条边以及它们的夹角时，使用余弦定理。

数学· E6.5, E6.6· 18 分钟阅读

1. 正弦定理★★☆☆☆⏱ 4 min

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📘 定义

正弦定理

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

对于任意边长为a、b、c，对应对角分别为A、B、C的三角形，每条边与其对角正弦值的比值为常数。适用于所有三角形，包括钝角三角形。

当你至少已知一组匹配的对边与对角，外加一个其他已知值时，就可以使用正弦定理。对于钝角，记住 (\sin(180^\circ - x) = \sin x)，这会在SSA（边-边-角）输入下产生歧义多解情形。

📐 例题

在三角形ABC中，边a = 8 cm，角A = 30°，边b = 12 cm。求角B的两个可能取值。

1
1. 将已知值代入正弦定理：
$\frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{\sin B}$
2
1. 整理公式求解 (\sin B)：
$\sin B = \frac{12 \times \sin 30^\circ}{8} = \frac{12 \times 0.5}{8} = 0.75$
3
1. 计算锐角解：
$B = \sin^{-1}(0.75) = 48.6^\circ (1 dp)$
4
1. 计算钝角备选解： (180^\circ - 48.6^\circ = 131.4^\circ)
5
1. 验证两个解均有效：30 + 48.6 = 78.6 < 180，30 + 131.4 = 161.4 < 180，因此两个解都成立。

Exam tip:

对于歧义多解类题目，除非题目明确说明三角形是锐角或钝角三角形，否则必须同时写出两个符合要求的解。

2. 余弦定理与三角形面积★★★☆☆⏱ 4 min

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📘 定义

余弦定理

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

当已知两条边及其夹角时，可用于求解未知边长；当已知任意三角形的全部三条边长时，可用于求解未知角度。

整理为求角形式后，余弦定理变为： (\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc})。与正弦定理不同，余弦定理永远不会产生歧义结果，因为钝角的余弦值为负。

无需知道三角形的垂直高度，就可以使用公式 (\frac{1}{2}ab \sin C) 计算任意三角形的面积，其中C是边a和边b之间的夹角。

📐 例题

在三角形XYZ中，边XY = 7 cm，边YZ = 9 cm，夹角Y = 120°。计算XZ的长度和三角形XYZ的面积。

1
1. 使用余弦定理求XZ（标记为角Y的对边x）：
$x^2 = 7^2 + 9^2 - 2(7)(9)\cos 120^\circ$
2
1. 代入 (\cos 120^\circ = -0.5)：
$x^2 = 49 + 81 - 126(-0.5) = 130 + 63 = 193$
3
1. 求解x：
$x = \sqrt{193} = 13.9 cm (1 dp)$
4
1. 使用½ab sin C计算面积：
$Area = 0.5 \times 7 \times 9 \times \sin 120^\circ = 31.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 27.3 cm^2 (1 dp)$

Exam tip:

使用面积公式时，务必确认你所用的角度是你选取的两条边之间的夹角。

3. 3D三角学基础★★★★☆⏱ 5 min

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CIE IGCSE 0580考试中的3D三角学问题最终都可以转化为2D直角三角形求解。最常考的3D几何体包括长方体、棱锥和棱柱。任何3D问题的第一步都是找出你可以用来求解未知边长的直角三角形。

📘 定义

直线与平面的夹角

直线与其在平面上的正交（垂直）投影之间形成的最小夹角。要计算这个角度，你需要知道直线的长度、它在平面上的投影长度，或者直线端点到平面的垂直高度。

📐 例题

一个长方体长6 cm、宽4 cm、高3 cm。求该长方体的体对角线与底面平面的夹角。

1
1. 首先使用勾股定理计算底面的对角线长度：
$\text{Base diagonal} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 7.21 cm$
2
1. 用于求角的直角三角形由底面对角线（邻边）、长方体高度（对边 = 3 cm）和体对角线（斜边）构成。
3
1. 使用SOHCAHTOA求角度θ：
$\tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{3}{\sqrt{52}} = 0.416$
4
1. 求解θ：
$\theta = \tan^{-1}(0.416) = 22.6^\circ (1 dp)$

Exam tip:

请将3D图形中用到的2D直角三角形单独画出，避免原图中多余的线条干扰你的判断。

4. 三角学综合问题求解★★★★☆⏱ 3 min

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第四卷中本专题的大多数题目都会结合多个知识点：你可能需要先用余弦定理求出一条边，再将这条边代入正弦定理求角度，或者应用2D三角规则求解3D问题。

首先在图上标注出所有已知的边长和角度
使用正弦定理计算角度时，检查是否适用歧义多解情形
对于3D问题，在开始计算前先确认题目要求的是哪个角度

📐 例题

一个三棱锥的底面是边长为10 cm的等边三角形，垂直高度为12 cm。求其中一条侧棱与底面平面的夹角。

1
1. 首先计算底面顶点到等边底面中心的距离（即侧棱在底面上的投影长度）：
$\text{Distance from vertex to center} = \frac{2}{3} \times \text{height of base triangle} = \frac{2}{3} \times 5\sqrt{3} = 5.77 cm$
2
1. 求角所用的直角三角形邻边 = 5.77 cm，对边 = 12 cm（垂直高度）
$\tan \theta = \frac{12}{5.77} = 2.08$
3
1. 求解θ：
$\theta = \tan^{-1}(2.08) = 64.3^\circ (1 dp)$

5. 常见陷阱

错误做法:

使用正弦定理求角度时，仅给出锐角解，即使钝角解也符合条件。

原因:

x的正弦值等于180°-x的正弦值，因此当正弦值为小于1的正数时，存在两个可能的角度。

正确做法:

始终检查你得到的锐角解的补角（180°减去该值）加上其他已知角度之和是否小于180°，如果是，则需要同时写出两个解。

错误做法:

在½ab sin C面积公式中使用非夹角。

原因:

该公式仅在角度是你选取的两条边之间的夹角时才成立。

正确做法:

确认你使用的角度位于边a和边b之间，如果需要的话先整理公式求出夹角。

错误做法:

计算时使用弧度而非角度。

原因:

CIE IGCSE 0580的三角学部分全部使用角度，若你的计算器处于弧度模式，会得到错误结果。

正确做法:

在开始做三角学题目之前，务必将计算器设置为角度模式。

错误做法:

在3D场景中计算两条直线的夹角，而非直线与平面的夹角。

原因:

直线与平面的夹角是直线与其投影之间的最小夹角，不是直线和平面上任意一条随机直线的夹角。

正确做法:

先找到直线在平面上的投影，再计算原直线与其投影之间的夹角。

错误做法:

使用余弦定理时忘记钝角的余弦值为负。

原因:

这会导致计算边长时错误地做减法而非加法，得到错误的边长结果。

正确做法:

如果夹角是钝角，在余弦定理公式中将cos(角度)代入为负值。

6. 速查表

公式	适用场景	关键注意点
(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C})	已知1组对边+对角 + 1个其他值	求角度时检查是否存在歧义双解情形
(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A)	已知2条边+夹角，或全部3条边	无歧义结果；钝角的余弦值为负
(\text{Area} = \frac{1}{2}ab \sin C)	已知2条边+夹角	C必须是边a和边b之间的夹角
Angle between line and plane	3D三角学问题	使用SOHCAHTOA计算直线与其在平面上投影的夹角

7. 常见问题

我需要背诵正弦、余弦定理和三角形面积公式吗？

不需要，这三个公式都会印在CIE IGCSE 0580试卷的首页。你只需要掌握正确的应用方法，包括钝角和歧义多解情形下的使用。

什么时候使用正弦定理，什么时候使用余弦定理？

当你已知一组对边+对角，外加一个其他边长/角度时，使用正弦定理。当你已知三角形的全部3条边，或者2条边以及它们的夹角时，使用余弦定理。

深入阅读

formula sheetCIE IGCSE 0580 拓展内容公式表本专题所有三角公式均会在考试中提供

下一步

现在你已经掌握了CIE IGCSE 0580拓展内容中的正弦定理、余弦定理、三角形面积和3D三角学知识，可以着手练习更进阶的三角学应用和完整的第四卷考试真题。本专题约占第四卷总分的8-10%，因此定期练习混合题型非常重要，可以避免常见错误，比如遗漏歧义多解情形的解，或者在3D几何体中认错角度。接下来你可以练习本专题相关的历年真题，或者学习常和三角学知识点结合的方位角问题，也可以复习圆定理——它经常和三角学一同出现在拓展难度的考题中。