# 正弦、余弦定理与3D三角学

> 数学 · CIE IGCSE 0580（2025-2027）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u6-sine-cosine-rules-and-3d/

本指南将教你针对非直角三角形应用正弦定理、余弦定理和½ab sin C面积公式，同时掌握以直线与平面夹角为核心的3D三角学问题解法，适配CIE IGCSE 0580拓展考试要求。

**先修:** [直角三角学（SOHCAHTOA）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u6-right-angled-trigonometry/); [勾股定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u2-pythagoras-theorem/)

## 学习目标

- 应用正弦定理解非直角三角形，包括钝角情形和歧义多解情形
- 使用余弦定理求解非直角三角形中的未知边长与角度
- 使用公式½ab sin C计算任意三角形的面积
- 结合勾股定理与直角三角学求解3D三角学问题
- 计算3D几何体中直线与平面的夹角

## 正弦定理

**正弦定理** — 对于任意边长为a、b、c，对应对角分别为A、B、C的三角形，每条边与其对角正弦值的比值为常数。适用于所有三角形，包括钝角三角形。

*记法:* \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

当你至少已知一组匹配的对边与对角，外加一个其他已知值时，就可以使用正弦定理。对于钝角，记住 \(\sin(180^\circ - x) = \sin x\)，这会在SSA（边-边-角）输入下产生歧义多解情形。

> **warning**
>
> 使用正弦定理求角度时，务必检查是否存在有效的钝角备选解（即三个内角之和仍小于 \(180^\circ\)）。

**例题:** 在三角形ABC中，边a = 8 cm，角A = 30°，边b = 12 cm。求角B的两个可能取值。

1. 1. 将已知值代入正弦定理：

   $$\frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{\sin B}$$
2. 2. 整理公式求解 \(\sin B\)：

   $$\sin B = \frac{12 \times \sin 30^\circ}{8} = \frac{12 \times 0.5}{8} = 0.75$$
3. 3. 计算锐角解：

   $$B = \sin^{-1}(0.75) = 48.6^\circ (1 dp)$$
4. 4. 计算钝角备选解： \(180^\circ - 48.6^\circ = 131.4^\circ\)
5. 5. 验证两个解均有效：30 + 48.6 = 78.6 < 180，30 + 131.4 = 161.4 < 180，因此两个解都成立。

> **考试提示:** 对于歧义多解类题目，除非题目明确说明三角形是锐角或钝角三角形，否则必须同时写出两个符合要求的解。

*计算器:* allowed

## 余弦定理与三角形面积

**余弦定理** — 当已知两条边及其夹角时，可用于求解未知边长；当已知任意三角形的全部三条边长时，可用于求解未知角度。

*记法:* a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

整理为求角形式后，余弦定理变为： \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)。与正弦定理不同，余弦定理永远不会产生歧义结果，因为钝角的余弦值为负。

无需知道三角形的垂直高度，就可以使用公式 \(\frac{1}{2}ab \sin C\) 计算任意三角形的面积，其中C是边a和边b之间的夹角。

**例题:** 在三角形XYZ中，边XY = 7 cm，边YZ = 9 cm，夹角Y = 120°。计算XZ的长度和三角形XYZ的面积。

1. 1. 使用余弦定理求XZ（标记为角Y的对边x）：

   $$x^2 = 7^2 + 9^2 - 2(7)(9)\cos 120^\circ$$
2. 2. 代入 \(\cos 120^\circ = -0.5\)：

   $$x^2 = 49 + 81 - 126(-0.5) = 130 + 63 = 193$$
3. 3. 求解x：

   $$x = \sqrt{193} = 13.9 cm (1 dp)$$
4. 4. 使用½ab sin C计算面积：

   $$Area = 0.5 \times 7 \times 9 \times \sin 120^\circ = 31.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 27.3 cm^2 (1 dp)$$

> **考试提示:** 使用面积公式时，务必确认你所用的角度是你选取的两条边之间的夹角。

*计算器:* allowed

## 3D三角学基础

CIE IGCSE 0580考试中的3D三角学问题最终都可以转化为2D直角三角形求解。最常考的3D几何体包括长方体、棱锥和棱柱。任何3D问题的第一步都是找出你可以用来求解未知边长的直角三角形。

**直线与平面的夹角** — 直线与其在平面上的正交（垂直）投影之间形成的最小夹角。要计算这个角度，你需要知道直线的长度、它在平面上的投影长度，或者直线端点到平面的垂直高度。

**例题:** 一个长方体长6 cm、宽4 cm、高3 cm。求该长方体的体对角线与底面平面的夹角。

1. 1. 首先使用勾股定理计算底面的对角线长度：

   $$\text{Base diagonal} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 7.21 cm$$
2. 2. 用于求角的直角三角形由底面对角线（邻边）、长方体高度（对边 = 3 cm）和体对角线（斜边）构成。
3. 3. 使用SOHCAHTOA求角度θ：

   $$\tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{3}{\sqrt{52}} = 0.416$$
4. 4. 求解θ：

   $$\theta = \tan^{-1}(0.416) = 22.6^\circ (1 dp)$$

> **考试提示:** 请将3D图形中用到的2D直角三角形单独画出，避免原图中多余的线条干扰你的判断。

*计算器:* allowed

## 三角学综合问题求解

第四卷中本专题的大多数题目都会结合多个知识点：你可能需要先用余弦定理求出一条边，再将这条边代入正弦定理求角度，或者应用2D三角规则求解3D问题。

- 首先在图上标注出所有已知的边长和角度
- 使用正弦定理计算角度时，检查是否适用歧义多解情形
- 对于3D问题，在开始计算前先确认题目要求的是哪个角度

**例题:** 一个三棱锥的底面是边长为10 cm的等边三角形，垂直高度为12 cm。求其中一条侧棱与底面平面的夹角。

1. 1. 首先计算底面顶点到等边底面中心的距离（即侧棱在底面上的投影长度）：

   $$\text{Distance from vertex to center} = \frac{2}{3} \times \text{height of base triangle} = \frac{2}{3} \times 5\sqrt{3} = 5.77 cm$$
2. 2. 求角所用的直角三角形邻边 = 5.77 cm，对边 = 12 cm（垂直高度）

   $$\tan \theta = \frac{12}{5.77} = 2.08$$
3. 3. 求解θ：

   $$\theta = \tan^{-1}(2.08) = 64.3^\circ (1 dp)$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 使用正弦定理求角度时，仅给出锐角解，即使钝角解也符合条件。
  - 原因: x的正弦值等于180°-x的正弦值，因此当正弦值为小于1的正数时，存在两个可能的角度。
  - 正确做法: 始终检查你得到的锐角解的补角（180°减去该值）加上其他已知角度之和是否小于180°，如果是，则需要同时写出两个解。
- **错误做法:** 在½ab sin C面积公式中使用非夹角。
  - 原因: 该公式仅在角度是你选取的两条边之间的夹角时才成立。
  - 正确做法: 确认你使用的角度位于边a和边b之间，如果需要的话先整理公式求出夹角。
- **错误做法:** 计算时使用弧度而非角度。
  - 原因: CIE IGCSE 0580的三角学部分全部使用角度，若你的计算器处于弧度模式，会得到错误结果。
  - 正确做法: 在开始做三角学题目之前，务必将计算器设置为角度模式。
- **错误做法:** 在3D场景中计算两条直线的夹角，而非直线与平面的夹角。
  - 原因: 直线与平面的夹角是直线与其投影之间的最小夹角，不是直线和平面上任意一条随机直线的夹角。
  - 正确做法: 先找到直线在平面上的投影，再计算原直线与其投影之间的夹角。
- **错误做法:** 使用余弦定理时忘记钝角的余弦值为负。
  - 原因: 这会导致计算边长时错误地做减法而非加法，得到错误的边长结果。
  - 正确做法: 如果夹角是钝角，在余弦定理公式中将cos(角度)代入为负值。

## 速查表

| 公式 | 适用场景 | 关键注意点 |
| --- | --- | --- |
| \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) | 已知1组对边+对角 + 1个其他值 | 求角度时检查是否存在歧义双解情形 |
| \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\) | 已知2条边+夹角，或全部3条边 | 无歧义结果；钝角的余弦值为负 |
| \(\text{Area} = \frac{1}{2}ab \sin C\) | 已知2条边+夹角 | C必须是边a和边b之间的夹角 |
| Angle between line and plane | 3D三角学问题 | 使用SOHCAHTOA计算直线与其在平面上投影的夹角 |

## 下一步

现在你已经掌握了CIE IGCSE 0580拓展内容中的正弦定理、余弦定理、三角形面积和3D三角学知识，可以着手练习更进阶的三角学应用和完整的第四卷考试真题。本专题约占第四卷总分的8-10%，因此定期练习混合题型非常重要，可以避免常见错误，比如遗漏歧义多解情形的解，或者在3D几何体中认错角度。接下来你可以练习本专题相关的历年真题，或者学习常和三角学知识点结合的方位角问题，也可以复习圆定理——它经常和三角学一同出现在拓展难度的考题中。

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