勾股定理与直角三角形三角函数

数学· 6.1, 6.2, E6.3· 20 分钟阅读

1. 勾股定理★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

勾股定理

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

对于任意直角三角形，斜边（c，即与直角相对的最长边）的平方等于两条较短边（a、b）的平方和。

例:

3-4-5直角三角形： $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$

勾股定理适用于已知直角三角形两条边、需要求解第三条边且不涉及角度的场景。你可以对公式变形来求较短边： $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ 。

📐 例题

一个直角三角形的两条短边长分别为7厘米和24厘米，求斜边的长度。

1
将斜边标记为 $c$ ，短边标记为 $a = 7$ 厘米， $b = 24$ 厘米。
2
$c^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
3
对两边开平方求 $c$ ： $c = 625 = 25$ 厘米。

Exam tip:

务必验证你算出的斜边长度大于另外两条边，如果不满足，说明你对公式的变形出错了。

2. 直角三角形三角函数之SOHCAHTOA★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

SOHCAHTOA

直角三角形锐角的三个三角比助记符：SOH = $s in (θ) = \frac{对边}{斜边}$ ，CAH = $cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，TOA = $t an (θ) = \frac{对边}{邻边}$ 。

首先确定你要计算的锐角，然后相对于该角标记各边：对边是正对着该角的边，邻边是与该角相邻且不是斜边的边，斜边是最长的边。

📐 例题

一个直角三角形斜边长10厘米，其中一个锐角为35°，求35°角的对边长度，结果保留1位小数。

1
我们已知斜边长度，需要求对边，因此使用SOH三角比。
2
$sin(35°) = \frac{opposite}{10}$
3
变形求解对边： $o pp os i t e = 10 \times s in (35°) \approx 10 \times 0.5736 = 5.7$ 厘米（保留1位小数）。

Exam tip:

在做三角学题目之前，务必确认你的计算器处于角度模式（显示屏上显示'D'标识），弧度模式会给出错误结果。

3. 方位角★★★☆☆⏱ 5 min

方位角是从正北方向顺时针测量的三位角度，用于导航类问题。本考纲中的绝大多数方位角题目都可以通过画出直角三角形，应用勾股定理或SOHCAHTOA求解。

📐 例题

一艘船从A点向正东航行12千米到达B点，再向正北航行5千米到达C点。求C点相对于A点的方位角，结果保留1位小数。

1
画出直角三角形ABC，直角在B点，AB为向东的12千米，BC为向北的5千米。
2
首先计算AB（正东方向）与AC的夹角： $t an (θ) = \frac{5}{12} \approx 0.4167$ ，因此 $θ \approx 22.6°$ 。
3
方位角从正北方向顺时针测量： $90° - 22.6° = 67.4°$ ，写为067.4°。

Exam tip:

方位角必须写为三位数字，小于100°的角度前面补前导零（例如67°要写成067°）才能拿到全部分数。

4. 仅拓展级：仰角/俯角与垂直距离★★★★☆Extended 专属⏱ 4 min

拓展级学生需要求解涉及仰角和俯角的问题（根据平行线的内错角规则，二者大小相等），同时需要计算点到直线的垂直距离（即点到直线的最短距离，与该直线形成直角）。

📐 例题

从一栋15米高的建筑物顶部，观测到下方公园长椅的俯角为28°。求建筑物底部到长椅的水平距离，结果保留1位小数。

1
28°的俯角等于从长椅看向建筑物顶部的仰角。我们已知对边长度（15米），需要求邻边长度（水平距离），因此使用TOA三角比。
2
$tan(28°) = \frac{15}{x}$
3
变形求解x： $x = \frac{15}{t an ( 28° )} \approx \frac{15}{0.5317} = 28.2$ 米（保留1位小数）。

5. 仅拓展级：精确三角函数值★★★☆☆Extended 专属⏱ 3 min

在拓展级非计算器试卷2中，你必须识记0°、30°、45°、60°和90°的正弦、余弦、正切的精确值。这类题目通常难度低、分值高，经常被考察。

角度	sin θ	cos θ	tan θ
0°	0	1	0
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{3}$
45°	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	1
60°	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
90°	1	0	Undefined

📐 例题

不使用计算器，计算 $s in (30°) + cos (60°)$ 的精确值。

1
回忆精确值： $s in (30°) = \frac{1}{2}$ ， $cos (60°) = \frac{1}{2}$ 。
2
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Exam tip:

如果你在非计算器考试中忘记了精确值，可以通过记忆30-60-90和45-45-90特殊直角三角形来推导。

6. 常见陷阱

错误做法:

在勾股定理公式中，将斜边的平方与另一条边的平方相加。

原因:

斜边是最长边，因此它必须是等式中单独位于一侧的唯一项。

正确做法:

写出 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，其中c始终为斜边，求短边时变形为 $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ 。

错误做法:

相对于直角标记对边/邻边，而不是相对于给定的锐角。

原因:

三角比是相对于你正在计算的锐角定义的，而不是相对于90°直角。

正确做法:

首先确定锐角，然后相对于该角标记对边（正对着它）和邻边（与它相邻且不是斜边）。

错误做法:

将方位角写为1位或2位数字（例如写67°而不是067°）。

原因:

CIE评分标准明确要求三位方位角才能获得全部分数。

正确做法:

小于100°的方位角前面补前导零，使其成为三位数字。

错误做法:

计算器使用弧度模式而不是角度模式。

原因:

CIE IGCSE数学0580中的所有角度都以度为单位，弧度模式会产生错误结果。

正确做法:

在开始做三角学题目之前，检查计算器显示屏上的'D'标识，确认角度模式已激活。

错误做法:

混淆仰角和俯角，或者没有意识到二者大小相等。

原因:

这会导致你在三角形中标错角度，进而错误使用三角比。

正确做法:

在观测者和物体位置分别画出水平线，标记相等的内错角，正确构建三角形。

7. 速查表

概念	规则/数值	层级
勾股定理	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，c为斜边	核心
SOH三角比	$s in (θ) = \frac{对边}{斜边}$	核心
CAH三角比	$cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$	核心
TOA三角比	$t an (θ) = \frac{对边}{邻边}$	核心
方位角	三位数字，从正北方向顺时针测量	核心
仰角/俯角	根据内错角规则大小相等	拓展
sin 30°精确值	$\frac{1}{2}$	拓展
cos 45°精确值	$\frac{2}{2}$	拓展
tan 60°精确值	$3$	拓展

8. 常见问题

我怎么知道什么时候该用勾股定理，什么时候该用SOHCAHTOA？

如果只需要处理边长（没有给出角度，也不需要求解角度），就使用勾股定理。如果已知至少一个锐角，或者需要计算角度，就使用SOHCAHTOA。

核心层级的学生需要记忆精确三角函数值吗？

不需要，精确三角函数值仅为CIE IGCSE数学0580拓展层级的要求，出现在试卷2和试卷4中。

下一步

现在你已经掌握了CIE IGCSE数学0580要求的直角三角形三角学，下一个核心主题是使用正弦定理和余弦定理的非直角三角形三角学，核心和拓展层级都要求掌握。你还应该练习将这些技能应用于常见于计算器和非计算器试卷B部分的混合二维几何问题。拓展级学生应优先额外练习试卷2中的精确三角函数值题目，只要正确识记，这类题目难度低、得分高。