函数

Q: 计算复合函数gf(x)时应该按什么顺序运算？

始终先计算内层函数：对于，先将代入计算，再将得到的结果代入。

CIE IGCSE 数学· E2.13· 20 分钟阅读

1. 函数符号、映射图与函数求值★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

函数

f(x)

将每个输入值映射到唯一输出值的规则

函数通常使用 $f (x)$ 、 $g (x)$ 或 $h (x)$ 这类符号表示，括号内的字母为输入变量。映射图将输入列在左侧，用箭头指向右侧对应的输出，每个输入都有且仅有一个箭头从自身出发。

📐 例题

已知 $f (x) = 3 x - 7$ ，求 $f (4)$ 和 $f (- 2)$ 的值。

1
计算f(4)，将x=4代入函数：
$f(4) = 3(4) - 7 = 12 - 7 = 5$
2
计算f(-2)，将x=-2代入函数：
$f(-2) = 3(-2) -7 = -6 -7 = -13$

✓ 快速检测

若 $g (x) = 2 x^{2} + 1$ ，求 $g (3)$ 的值？
显示答案
19 —
代入x=3： $2 (3^{2}) + 1 = 18 + 1 = 19$

Exam tip:

务必仔细检查负数的代入运算，这类题目中符号错误出现的概率极高。

2. 函数的定义域和值域★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

定义域与值域

定义域是函数所有有效输入值的集合。值域是函数在给定定义域内可产生的所有有效输出值的集合。

对于绝大多数IGCSE考题，定义域要么会明确给出，要么你需要排除使函数无意义的取值（例如除零的情况）。值域可以通过将定义域的端点代入函数，或者识别输出的最小值/最大值来求得。

📐 例题

某函数定义为 $f (x) = 2 x + 3$ ，其中 $- 1 \leq x \leq 4$ 。写出f(x)的定义域和值域。

1
定义域已在题目中明确给出：
$Domain: -1 \leq x \leq 4$
2
代入定义域的最小值x=-1，得到最小输出值：
$f(-1) = 2(-1) +3 = 1$
3
代入定义域的最大值x=4，得到最大输出值：
$f(4) = 2(4) +3 = 11$
4
由于f(x)是线性递增函数，1到11之间的所有值都是有效输出：
$Range: 1 \leq f(x) \leq 11$

3. 求反函数f⁻¹(x)★★★☆☆⏱ 5 min

📘 定义

反函数

f^{-1}(x)

反函数 $f^{- 1} (x)$ 会逆转原函数f(x)的运算过程。如果 $f (a) = b$ ，那么 $f^{- 1} (b) = a$ 。

求反函数请遵循以下3个步骤：1. 将 $f (x)$ 替换为 $y$ ，2. 对方程变形，将x整理为表达式的主体，3. 将 $x$ 替换为 $f^{- 1} (x)$ ，将 $y$ 替换为 $x$ 。

📐 例题

求函数 $f (x) = \frac{2 x + 5}{3}$ 的反函数。

1
步骤1：将f(x)替换为y：
$y = \frac{2x +5}{3}$
2
步骤2：变形使x成为表达式主体：等号两边同时乘以3：
$3y = 2x + 5$
3
等号两边同时减去5：
$3y -5 = 2x$
4
等号两边同时除以2：
$x = \frac{3y -5}{2}$
5
步骤3：交换x和y，将y替换为f⁻¹(x)：
$f^{-1}(x) = \frac{3x -5}{2}$

Exam tip:

你可以代入一个数值验证反函数是否正确：先将该值代入f(x)，再将得到的结果代入f⁻¹(x)，看是否能得到最初的输入值。

4. 复合函数gf(x)★★★★☆⏱ 4 min

📘 定义

复合函数

gf(x)

复合函数是将一个函数的结果作为另一个函数的输入得到的新函数。 $g f (x)$ 的含义是'先应用f，再将f的输出代入g'。

绝对不要颠倒复合函数的运算顺序： $g f (x)$ 几乎总是和 $f g (x)$ 的结果不同。计算复合函数时，一定要先从内层函数开始运算。

📐 例题

已知 $f (x) = 4 x - 1$ 和 $g (x) = x^{2} + 2$ ，求 $g f (2)$ ，并写出以x为变量的gf(x)的表达式。

1
先求gf(2)：首先计算f(2)：
$f(2) = 4(2) -1 = 8 -1 =7$
2
将得到的结果代入g(x)：
$g(7) = 7^2 + 2 = 49 + 2 = 51$
3
现在求gf(x)的通式：将g(x)中所有的x替换为f(x)的完整表达式：
$gf(x) = g(f(x)) = (4x -1)^2 + 2$
4
展开并化简：
$gf(x) = 16x^2 - 8x +1 +2 = 16x^2 -8x +3$

5. 常见陷阱

错误做法:

计算复合函数 $g f (x)$ 时先代入g再代入f

原因:

复合函数的运算顺序是从右到左：离输入最近的函数最先运算

正确做法:

始终将括号内的内层函数作为第一步运算对象：对于 $g f (x)$ ，先计算f(x)，再将结果代入g(x)

错误做法:

用x来表示函数的值域，而不是用f(x)或y

原因:

值域指的是输出值，不是输入的x值

正确做法:

用f(x)标注值域，例如 $2 \leq f (x) \leq 10$ ，而不是 $2 \leq x \leq 10$

错误做法:

计算反函数时忘记交换x和y

原因:

反函数和原函数一样，都以x作为输入变量来表示

正确做法:

变形得到以x为主体的表达式后，交换x和y，再写出最终的 $f^{- 1} (x)$ 表达式

错误做法:

将多个输入指向同一个输出的映射判定为非函数

原因:

函数只要求每个输入对应唯一的输出，多个输入可以共享同一个输出

正确做法:

只有当一个输入对应多个输出时，该映射才不是函数，输出重复是允许的

错误做法:

尝试计算复合函数的定义域或值域

原因:

0580拓展大纲不要求掌握这项技能

正确做法:

按照要求，仅专注于计算复合函数的数值或化简后的表达式即可

6. 速查表

概念	规则	示例
函数符号	$f (x)$ = 函数f在输入x处的取值	$f (x) = 2 x + 1$ , $f (3) = 7$
定义域	所有有效输入x值的集合	对于 $f (x) = 1/ x$ ，定义域 $x \neq = 0$
值域	函数所有有效输出f(x)值的集合	对于 $f (x) = x^{2}$ ，值域 $f (x) \geq 0$
反函数 $f^{- 1} (x)$	将f(x)替换为y，2. 变形得到x的表达式，3. 交换x和y	$f (x) = 3 x - 2$ 的反函数是 $f^{- 1} (x) = (x + 2) /3$
复合函数 $g f (x)$	先应用f，再将结果代入g	$g f (x) = g (f (x))$

7. 常见问题

在0580拓展课程中，我需要计算复合函数的定义域和值域吗？

不需要，2025-2027年的0580大纲不要求你计算复合函数的定义域或值域，仅要求掌握基础单函数的定义域值域计算。

计算复合函数gf(x)时应该按什么顺序运算？

始终先计算内层函数：对于 $g f (x)$ ，先将 $x$ 代入 $f (x)$ 计算，再将得到的结果代入 $g (x)$ 。

深入阅读

下一步

在掌握CIE IGCSE 0580拓展课程的函数知识后，你可以将这些知识用于解决更复杂的代数和图像问题，包括函数与二次函数、线性函数图像结合的综合题。定期练习历年真题来提升解题速度和准确率，尤其要注意复合函数的运算顺序和计算反函数时常见的符号错误。这些知识也会为你后续学习A-Level数学打下坚实的基础。